UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề thức) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài1: (4 điểm) Chứng minh với n nguyên dương thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10 Bài2: (3điểm) 2009 2010 Cho đa thức : P  x  1  x  x  x  x   x  x 1 1 Q  x  1  x  x  x  x   x 2009  x 2010 Giá trị biểu thức P    Q   có dạng biểu  2 diễn hữu tỉ  2 a ; a,b  N ; a,b số nguyên tố Chứng minh a5 b Bài3: (3 điểm) 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d a b b c c d d a    Hãy tìm giá trị biểu thức: M= c d d a a b b c Cho dãy tỉ số nhau: Bài4: (4điểm) Cho M  a b c   với a, b, c > a b b c c a a) Chứng minh M > b) Chứng tỏ M số nguyên Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A, cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Gọi I trung điểm DE chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng Bài6: (2,5 điểm) Cho ABC cân A, có A 1000 , tia phân giác góc ABC cắt AC D Chứng minh: AD + BD = BC ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM m)điể1(4 Bài Đáp án – +3 – = (3 + ) – (2 + 2n ) = 10 3n – 2n Vì n nguyên dương nên 2n  => 2n  10 10 3n  10 Vậy: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n  10 n+2 n+2 n 1 n n+2 1 n  1  1  1  1 2009 Đặt A P    Q   2               2  2  2  2  2  2 (3điểm)  1 1  1 suy A 10            2  2  2 Từ ( 1) ( 2) suy A 8       2 ( điểm) Điểm 1,0đ 1,5đ 1,0đ 0,5đ n+2 ( 1) 2007 (2) 8 2009  A 2009  22012  a  3.22009 b 3,0đ Ta thấy: 22012  41006  13 ; 22012 – 22009 số nguyên tố nên 22012 – = 3a 3a = 22012 – = 16503 – Vì 16503 có chữ số tận nên 3a có chữ số tận suy số chia hết cho 3,5 số nguyên tố nên a5 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d  1  1=  1 1 => a b c d a b c  d a b c  d a b c  d a b c d    => a b c d  Nếu a+b+c+d a = b = c = d, đó: M = + + + = (3điểm) Từ Nếu a+b+c+d = a + b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c) Khi đó: M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - a a b b c c  ;  ;  a b a b  c b  c a b c c  a a b c a b c a b c    1 => M  a b b c c a a b c a) Vì a, b, c > nên: (4điểm) Vậy: M >  a 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ (1) b c   b c a      b) Mà:   +   a b b c c a   a b b c a c  b   b c   c a   a    =       =3  a b a b   b c b c   c a c a  c a   b   Vì   > (tương tự câu a)  a b b c a c  b c   a   Suy ra: M =  (2)  <  a b b c c a  Từ (1) (2) suy ra: 1< M < nên M số nguyên 1,0đ 0,5đ 0,5đ Học sinh vẽ hình (3,5 điểm) 0,5đ Kẻ DF//AC (F thuộc BC)  Góc DFB = Góc ACB (2 góc đồng vị) Mà: Góc ABC = Góc ACB (tam giác ABC cân)  Góc DFB = Góc ABC => Tam giác DBF cân D  DB = DF, mà DF = CE (gt)  DF = CE  IDF IEC (c-g-c)  Góc DIF = Góc EIC Vậy: điểm B, I, C thẳng hàng (vì điểm D, I, E thẳng hàng) HS vẽ hình A 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (2,5 điểm) D Trên cạnh BC lấy 2điểm E,F cho: BE = BA BF = BD HS chứng minh được: AD = DE HS chứng minh được: DFE cân D Suy ra: DE = DF HS chứng minh được: DFC cân F Suy ra: DF = FC Suy ra: DE = FC Suy ra: AD + BD = BC B Chú y: Mọi cách giải khác cho điểm tối đa E F C 0,5đ 0,5đ 1,0đ