UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề thức Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Bài (4 điểm): a) So sánh hai số: (– 5)39 (– 2)91 b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n  N Bài (4 điểm): 2x  a) Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn:  2012 y  7  x 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n  aaa Bài (4 điểm): Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa số học 1 sinh lớp 7A1, số học sinh lớp 7A2 số học sinh lớp 7A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K ˆ ˆ ˆ Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC có A 3B 6C a) Tính số đo góc tam giác ABC b) Kẻ AD vng góc với BC (D thuộc BC) Chứng minh: AD < BD < CD Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM + AN = 2AB a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN tia phân giác góc BAC cắt K Chứng minh rằng: KC  AC Ghi chú: Thí sinh khơng phép sử dụng loại máy tính HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Bài Đáp án a) So sánh hai số: (– 5) (– 2)91 Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 Ta thấy: 12513 < 12813  – 12513 > – 12813  (– 5)39 > (– 2)91 b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n N Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n = (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n = 133.11n + 12.(144n – 11n) Ta thấy: 133.11n  133 (144n – 11n)  (144 – 11) = 133  12.(144n – 11n)  133 Do suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133 Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n  N a) Tìm tất cặp số (x; y): Ta có: 2012 số tự nhiên chẵn  (2x – y + 7)2012  39 điể m điể m x  0  x  Do đó, từ 2013 2012 2013  2x  y  7  x  0 0 x 2012 2013 0 suy ra: (2x – y + 7) =  2x – y + = (1) x – = (2) Từ (2)  x = Từ (1)  y = 2x + = 2.3 + = 13 Vậy cặp số (x; y) cần tìm (3; 13) b) Tìm số tự nhiên n chữ số a Ta có: 1    n  n  n  1 aaa a.111 a.3.37 Do đó, từ     n  aaa  n  n  1  2.3.37.a  n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 Điểm 2,0đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 2,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ  n n + chia hết cho 37 (1) n  n  1 aaa  999  n(n + 1)  1998  n < 45 (2) Mặt khác: 0,5đ Từ (1) (2) suy n = 37, n + = 37 37.38 703 - Với n = 37 (khơng thỏa) 36.37 aaa  666 - Với n + = 37 (thỏa mãn) aaa  Vậy n = 36 a = Tính tổng số học sinh lớp trường K Gọi tổng số học sinh 7A1, 7A2, 7A3 a, b, c (a,b,c N*) điể m Theo ta có : 1 a  a b  b c  c 4,0đ 1,0đ (*) a + b + c =147 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c       Từ (*)   18 16 15  18 16 15 1,0đ Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có : a b c a b c 147    3 18 16 15 = 18  16  15 49 4 điể m 0,5đ Suy : a = 54, b = 48, c = 45 Vậy tổng số học sinh 7A1, 7A2, 7A3 54, 48 45 a) Tính số đo góc  ABC: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180      200 ˆ ˆ ˆ 6  1 Từ A 3B 6C 0  Aˆ 6.20 120 1,0đ 1,0đ 2,0đ Bˆ 2.200 400 Cˆ 1.200 200 1,0đ 1,0đ 0 ˆ ˆ ˆ Vậy: A 120 ; B 40 ; C 20 b) Chứng minh AD < BD < CD - Trong  ACD có ˆ 900 ; Cˆ 200  Aˆ 700 ADC  Aˆ 500 2,0đ 1,0đ 0 ˆ ˆ - Xét  ADB có B 40  A1 50  AD  BD (1) 0 2 ˆ ˆ - Xét  ABC có B 40  C 20  AB  AC  AB  AC (*) 1,0đ - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB ADC có: AB2 = AD2 + BD2 AC2 = AD2 + CD2 Do đó, từ (*)  AD2 + BD2 < AD2 + CD2  BD2 < CD2  BD < CD (2) Từ (1) (2)  AD < BD < CD a) Chứng minh rằng: BM = CN Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN  ABC cân A  AB = AC Do đó, từ AM + AN = 2AB  BM = CN điể m b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN Qua M kẽ ME // AC (E  BC)  ABC cân A   BME cân M  EM = BM = CN   MEI =  NCI (g-c-g)  IM = IN Vậy: BC qua trung điểm MN c) Chứng minh rằng: KC  AN + K thuộc đường trung trực MN  KM = KN (1) ˆ ˆ  ACK +  ABK =  ACK (c-g-c)  KB = KC (2); ABK (*) + Kết câu c/m câu a) BM = CN (3) ˆ ˆ  NCK + Từ (1), (2) (3)   BMK =  CNK (c-c-c)  ABK (**) 1800 ˆ ˆ ACK  NCK  900  KC  AN + Từ (*) (**)  1,0đ 1,5đ 0,75đ 0,75đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ