UBND HUYỆN PHÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn: Tốn Năm học: 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Thực phép tính (6 điểm) a  5 :    ;  9 1  45            b 19         c 1 ; 5.415.9  4.320.89 5.210.619  7.2 29.27 Bài 2: (6 điểm) a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; b Tìm x, biết: 21 : 2x  = 22 c Tìm x, y, z biết: 2x  y 3y  2z  x + z = 2y 15 Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c  b d Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA a Chứng minh: CD // AB b Gọi H trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c Chứng minh:  HMN cân Bài 5: (2 điểm): Chứng minh số có dạng abcabc ln chia hết cho 11 Hết Họ tên học sinh: ; SBD: Học sinh trường: UBND HUYỆN PHÚ THIỆN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Thực phép tính (6 điểm) Giải: a  5 :     9 0,75đ  5 9 :     :   9 4 9 36 9 =   4 b 1  45           19         1  45           19         = c 0,75đ 1 1  45  19  4 45 26 19   1 19 19 19 1,0đ 1,0đ 5.415.9  4.320.89 5.210.619  7.2 29.27 5.415.9  4.320.89 5.2 2.15.32.9  2.320.2 3.9 = 5.210.619  7.2 29.27 5.210.219.319  7.2 29.33.6 29.318 5.2  32  29 18      10   15  Bài 2: (6 điểm) = 01đ 01đ 0,5đ Giải: a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16 2x – – 6x – – 8x – 12 = 16 -12x – 20 = 16 -12x = 16 + 20 = 36 x = 36 : (-12) = -3 b Tìm x, biết: 21 : 2x  = 22 Ta có: (vì x = ½ 2x – = 0) 21 : 2x  = 22 21 : (2x – 1) = 22 Nếu x  0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 21 22 11  : = 22 21 11 14 2x = +1= 3 14 x= :2= > 3 Nếu x  Ta có: 21 : 2x  = 22 21 : (1 - 2x) = 22 11 -2x = -1= 3 x= : (-2) =   3 Vậy x = x =  3 2x – = c Tìm x, y, z biết : 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2x  y 3y  2z  x + z = 2y 15 Từ x + z = 2y ta có: x – 2y + z = hay 2x – 4y + 2z = hay 2x – y – 3y + 2z = hay 2x – y = 3y – 2z 2x  y 3y  2z  Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = (vì  15) 15 y Từ 2x – y = suy ra: x = y +y–z=0 Từ 3y – 2z = x + z = 2y  x + z + y – 2z = hay y - z = hay y = hay z suy ra: x = z 3 Vậy giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z  R } 3 {x = y; y  R; z = y} {x  R; y = 2x; z = 3x} 2 a c Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức  Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) b d Ta có: 0,25đ (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd a c cb = ad suy ra:  b d 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA a Chứng minh: CD // AB b Gọi H trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c Chứng minh:  HMN cân Giải: D B K N M C A H a/ Chứng minh CD song song với AB Xét tam giác: ABK DCK có: BK = CK (gt) ˆ A CK ˆ D (đối đỉnh) BK AK = DK (gt)  ABK = DCK (c-g-c) ˆ K DB ˆ B 90  AC ˆ D AC ˆ B  BC ˆ D 90 ˆ K ; mà AB ˆ C  AC  DC ˆ D 90 BA ˆ C  AB // CD (AB  AC CD  AC)  AC b Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét tam giác vuông: ABH CDH có: BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt)  ABH = CDH (c-g-c) c Chứng minh:  HMN cân Xét tam giác vuông: ABC CDA có: ˆ C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c) AB = CD; ACˆD 90 BA ˆ B CA ˆD  AC ˆ A  NH ˆ C (vì ABH = CDH) mà: AH = CH (gt) MH  AMH = CNH (g-c-g)  MH = NH Vậy HMN cân H 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ Bài 5: (2 điểm): Chứng minh số có dạng abcabc ln chia hết cho 11 Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) = 11.91( a.102 + b.10 + c) 11 Vậy abcabc 11 0,25đ 0,50đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ