PHÒNG GD & ĐT TÂN KỲ ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012 Đề thức Mơn : Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(4 điểm) Tính giá trị biểu thức cách hợp lý 1    1  1    1   1   1   1       1012  2 1 1      3 : 818181 B =162   5 5  797979   1 1   A= Câu 2: (5 điểm) Tìm x biÕt: x 3  ; b) x   5 ; a) c)     3 x1  256 ; 81 d) 3x2 - 133 : 338 = 0,25 ; e) (0,4x - 2) - (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6 Câu 3: (5 điểm) a) Cho số a,b,c thỏa mÃn điều kiện sau: 5a = 8b = 20c vµ a - b - c = Chøng minh r»ng: [( a - b )2 - c3 ] 45 b) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: A = x  2010  2012 x Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có A 900 , đờng cao AH Trên cạnh BC lÊy ®iĨm D cho BD = AB Đờng vuông góc với BC D cắt AC E a) So sánh AE DE b) Đờng phân giác góc đỉnh C tam giác ABC cắt đờng thẳng BE K Tính số đo góc BAK? c) Chøng minh AB + AC < BC + AH Hết Họ tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:………… HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN Câu Nội dung Điểm Câu a 2,0 A = điểm A= b 2đ Câu a (1 đ) 4,0 1  1  1     1   1   1   1         1012         1011                     1012  1 => A = 1012 2 1 1      3 : 818181  B = 162  5 5  797979   1 1   6  1 1 4 4       81.10101 B = 162   : 5 5 5  79.10101       3 6 79 B = 162 (  ) 5 81 79 = 162 = 158 81 1,0 1,0 0,5 0,75 0.75 5,0 x 3  => x +3 = 25 0,5 x   5 => x   5 (1) hc x    (2) => x = b (1 đ) Giải (1): x  9 => x - = x- = -9 x = 14 x = - Giải (2): x   (Vô lý) c (1 đ)  4    3 x1 256 =>      81  3 x1 256       81   3x2 - 133 : 338 = 0,25 => 3x2 => x2 = e (1 đ) => x =  0,25 0,5 0,5 2197 1 13 27 = => 3x2 =   338 4 (0,4x - 2) - (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6 => (0,4x-1,5x+4x) + (-2-1+0,8) = 3,6 => 2,9 x - 2,2 = 3,6 => 2,9 x = 5,8 => x = Câu Ta cã : a 0,25 0,5 => 3x + = => x = d (1 đ) 0,5 5a = 8b = 20c (1) vµ a - b - c = (2) 0,5 0,5 0,5 0,5 5,0 Tìm (3 đ) Tõ (1) => 5a 8b 20c a b c a b c =>    (¸p dơng   40 40 40 8 5 tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau) (3) Thay (2) vµo (3) ta cã: b (2 đ) a b c    3 => a = 24 , b = 15 c = Khi đó: ( a - b )2 - c3 = (24 - 15)2 - 63 = - 135  45 VËy [ ( a - b )2 - c3 ]  45 (®pcm) Ta cã: A = x  2010  2012  x = 2010  x  2012  x => A  2010  x  (2012  x) hay A 2 Dấu "=" xảy 2010 - x  2012 - x  2010 - x  2012 - x   x 2012 Vậy A đạt giá trị lớn  x 2012 b Vẽ hình ghi GT KL So sánh AE DE 900 , cnh BE chung Xét  ABE  DBE có A  D AB = BD (gt) =>  ABE =  DBE (c.huyền- cgv) (1) => AE = DE (hai cạnh tương ứng) 1,5 1,5 TÝnh sè ®o gãc BAK?  Từ (1) => ABE  EBD => BE đường phân giác tam giác ABC (*) Lại có: CK phân giác tam giác ABC đỉnh C (K BE) (**) Từ (*) (**) suy AK đường phân giác đỉnh A tam giác ABC  => A3 = 450 nên BAK = 1350 c 0,5 0,25 0,25 6,0 0,5 3,0 Câu a a,b,c 2,5 điểm c/m chia hết 0,5 đ Chøng minh AB + AC < BC + AH Kẻ DM  AC, ta có : DC > MC (cạnh huyền lớn cgv) (2)  Mặt khác theo câu a có AE = DE => A2  D 1 0,25 0,25 0,5 1,5 0,25  (so le trong) Mà AH // ED (cùng vuông góc với BC) => A1  D => A2  A1 =>  AHD =  AMD (c.huyền- góc nhọn) =>AM = AH (2) Từ (1) (2) => DC + AH > AM + MC => DC + AH > AC Và BD = AB (gt) => DC + AH + BD > AC + AB Hay BC + AH > AC + AB (đpcm) 0,5 0,25 0,25 0,25 Hình Vẽ B H D 1 A C E M K (Lưu ý học sinh giải cách khác cho điểm tối đa) Đáp án gồm 03trang