UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHỊNG GD&ĐT KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2014-2015 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,5 điểm) a) Tính giá trị A 1000   ( 5) ( 2)  11.  5.2  8(112  121) b) Tìm x biết 2    19  x2  :     1 3 10 10     c) Tìm x thỏa mãn x  10 10  x  11 11 1 Bài (3 điểm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết rằng: Tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 12 b) Cho a, b, c số thực khác Tìm số thực x, y, z khác thoả mãn: xy yz x2  y2  z2 zx    ay  bx bz  cy cx  az a  b  c Bài (2,5 điểm) a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – = x2 + 2y b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) ab, ad hai số nguyên tố; ii) db + c = b2+ d Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC có ˆ < 900 Bˆ  2Cˆ Trên tia đối tia BA lấy điểm E B cho BE = BH (với H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC D a) Chứng minh rằng: DA = DC b) Chứng minh rằng: AE = HC ……….HẾT……… Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT HDC THI GIAO LƯU HSG Năm học 2014-2015 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC (HDC gồm 03 trang) Bài (2,5 điểm) Câu a) (1đ) Nội dung trình bày Ta có A = 1000 - (-125).(-8) – 11.49 – 40 + (121 – 121) = 1000 - 1000 – 11 (9 + 8.0) = 1000 – (1000 – 11 9) = 99 Ta có 2    19  x 2  :     1 3 10 10      30   19 10     x 2  :    1  10 10 10 10 10      b) (0,75đ)     Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  21   x2 :    10  10 21  x2   10 10 10 21 x2   2 10 10 x   2; x  4; 0,25 Vậy x = 0; -4 0,25 c) (0,75đ) - Nếu x > 11 x < 10 x -10 > x – 11 < -1 Suy x  10  1; x  11  (loại) - Nếu 10 < x < 11 < x – 10 < 1, < 11 – x 0, y > x  y) Theo đề ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y Chia tích cho BCNN 35, 210, 12 420 ta được: 35.( x  y ) 210( x  y ) 12 xy   420 420 420 x  y x  y xy hay 12   35 (1) a) (1,5đ) Từ (1) (2) ta có: 0,25 0,25 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: x  y x  y  x  y   x  y  x  y   x  y    12 12  xy x y x y      2 12 Điểm 12  0,25 xy x y xy xy     35 7 y x 0,25 Vì x > 0; y > nên 7y = 35  y = 5; 5x = 35  x = Vậy hai số phải tìm 0,25 0,25 Do x, y, z khác nên xy yz zx zxy xyz yzx      ay  bx bz  cy cx  az ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy Suy ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy  az cx, bx ay b) (1,5đ) x z x y x y z  ,     t  x at , y bt , z ct , a c a b a b c 2 xy x  y  z2 at.bt a 2t  b 2t  c 2t    Ta có ay  bx a  b  c abt  bat a2  b2  c2 t Suy t  t  (do t ≠ 0) a b c Vậy x  , y  , z  Do 0,25 0,25 t≠0 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2,5 điểm) Câu a) (1đ) Nội dung trình bày Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 +  y(3x – 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên nên suy x2 + chia hết cho 3x –  9.(x2 + 5) chia hết cho 3x –  9.x2 + 45 chia hết cho 3x –  9.x2 - 6x + 6x – + 49 chia hết cho 3x – Điểm 0,25 0,25  3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x –  49 chia hết cho 3x –  3x –    49;  7;  1; 1; 7; 49  3x    47;  5; 1; 3; 9; 51  x   1; 3; 17 Thay x vào (1) ta y   6; 2; 6 Vậy cặp số (x, y) (1;6), (3;2), (17;6) Do ab; ad số nguyên tố nên b d lẻ khác (1) Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1) (2) Có 9d + c  nên từ (2) suy b >3 mà b lẻ  b = 7; + b =  9d + c = 42  < d  trái với (1) b) + b =  9d + c = 72  < d  mà d lẻ  d = (1,5đ) Thay vào điều kiện (2) c = Do a9; a số nguyên tố nên a nhận giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 1; 3; 4; 6; Suy a = abcd 1997 , thử lại thấy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2 điểm) Câu a) (1đ) Nội dung trình bày Điểm a) Ta có  BEH cân B  BEH = BHE Ta có ABC = BHE = DHC mà ABC = ACB  DHC = DCH (1) Suy  DCH cân D nên DH = DC Xét  ACH: CAH + DCH = 900, CHD + DHA = 900 (2) Từ (1), (2) suy DAH = DHA,  DAH cân D, suy DA = DC 0,25 0.25 0,25 0,25 b) (1đ) b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy  ABB’ cân A (AH trung trực BB’)  AB = AB’, B’H = BH, AB’H = ABC Ta có AB’H = ABC = C = C + CAB’ C = CAB’,  B’AC cân B’ nên B’A = B’C Vì AB < AC nên AB’ = AB < AC nghĩa B’ H C nên HC = HB’+B’C = HB + AB’ = BE + AB = AE 0,25 0,25 0,25 0,25