PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm)  2   1) Tính giá trị biểu thức: A  :     :     15   11 22  12   2) Tìm x, biết:    x  : 2   13 3) Tính giá trị biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 0 Câu 2: (4,5 điểm) x y y z  ;  x  y  z  14 2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 3 1  1  3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 15  x  :      7 2  3  1) Tìm số x, y, z biết: Câu 3: (5,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức M = 4x + 4y + 21xy(x + y) + 7(x3y2 + x2y3) + 2014, biết x + y = 2) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a, b, c, d hệ số nguyên Biết rằng, p(x) 5 với x nguyên Chứng minh a, b, c, d chia hết cho 3) Cho A 1      1 1 A 2013 , B 1      So sánh với 4026 4025 B 2014 Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C) Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Đường vng góc với BC kẻ từ D cắt BA M Đường vng góc với BC kẻ từ E cắt tia AC N MN cắt BC I 1) Chứng minh rằng: DM = EN 2) Chứng minh IM = IN; BC < MN 3) Gọi O giao đường phân giác góc A đường thẳng vng góc với MN I Chứng minh rằng: BMO CNO Từ suy điểm O cố định Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E    cho DAE ECB  ABD (E nằm B D) Chứng minh DAE Hết Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA Câu Câu 1: 4,5đ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2013-2014 MƠN THI: TỐN Hướng dẫn Điểm      22     1) (1,5đ) A  :  :   9 22  3  13 12 2) (1,5đ) Ta có:    x   x  13 2014   3) (1,5đ) Vì (x - 2) 0; (2y – 1) với x, y nên 2014  (x - 2) + (2y – 1) Mà (x - 2) + (2y – 1) 2014  Suy (x - 2)4 = (2y – 1) 2014 = suy x = 2, y = 1,5 Khi M = 44 0,25 0,5 x y y z x y z     1) (1,5đ) Từ  ; 12 16 x y z 2x y z 2x  y  z  14   Vậy:       12 16 18 12 16 18 12  16 14 Suy x = -9; y = -12; z = -16 2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x + Dễ thấy x – < x + Câu 2: 4,5đ 2 ) > suy x – x + dấu 3 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 nên ta có: dương  x – >  x > 2  x – x + âm  x + <  x < 3 Vậy x > x < 3 3  2 31 3)(1,5đ) Ta có 15    15   8 7  5 35 1  1   :      14 2  3   x – x + 31  x  14 , x nguyên nên x   9;10;11;12;13;14 35 Câu 3: 1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014 (5.0đ) (Vì x + y = 0) 2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với x nguyên nên p (0) = d  p (1) = a + b + c + d 5 (1) p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2) Từ (1) (2) suy : 2(b + d) 5 2(a + c) 5 Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = nên b+ d 5 suy b5 p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d  5; b5 nên 8a + 2c 5, kết hợp với 2(a + c) 5 suy 6a 5 suy a 5 (6,5) = từ c 5 Vậy a, b, c, d chia hết cho Do đó: 1,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 1,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 C  A  B      4026 1 1 1 1 Ta có B 1      4025      4026   C (1) 2013 1 1 1 1           C 4026 2  2 2    2 2013 sohang Lại có C   (2) 2013 C  C  2013B  2014C Từ (1) (2) suy B  2013 C 2013 CB 2013 A 2013  1  1 Do đó:  B 2014 B 2014 B 2014 3)(1,5đ) Đặt Câu 4: (4,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,5 A M B I C E D N O 1) (1,5đ) Tam giác ABC cân A nên ABC  ACB; Do đó: MDB NEC ( g c.g )  DM EN  NCE  ACB; (đối đỉnh) 2) (1,5đ)Ta có MDI NEI ( g c.g )  MI NI Vì BD = CE nên BC = DE Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy BC < MN 3)(1,5đ) Ta chứng minh được:  ABO ACO(c.g c)  OC OB, ABO  ACO MIO NIO (c.g c)  OM ON Lại có: BM = CN, BMO CNO(c.c.c)     , Mà: MBO  MBO  NCO  ACO suy NCO  ACO , mà hai góc kề bù nên CO  AN 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 Vì tam giác ABC cho trước, O giao phân giác góc A đường 0,25 vng góc với AC C nên O cố dịnh A F G D E H B C Câu 5: (1,5đ) Vẽ AF vng góc BD, CG vng góc BD, CH vng góc với AE Ta có ABF CAH (cạnh huỳen – góc nhon) Suy ra: AF = CH ADF CDG (ch  gn) suy AF = CG Từ ta có CH = CG 0,25   CEH CEG (ch  cgv)  CEH CEG ;       Mà CEG EBC  ECB ; CEH EAC  ECA ;     Do đó: EBC  ECB EAC  ECA ; (1) 0,5     Măth khác: EBA  EBC ECB  ECA ; (2) lấy (1) trừ (2) theo vế ta có:       ECB  EBA EAC  ECB EBA  ECB    EBA ECB    Mà DAE ECB  ABD nên DAE Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm 0,5 0,25