PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TỐN Thời gian làm 120 phút (khơng kể giao đề) Bài (3 điểm) a Tính giá trị biểu thức 5   18        13 9  13  13 b Cho a; b số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13 Chứng minh 10a +b chia hết cho 13 Bài (4 điểm) x2  Cho biểu thức A  x a Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A không xác định b Với giá trị x biểu thức A nhận giá trị số âm ? c Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài (2 điểm) Cho số x; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 5z  6y 6x  4z 4y  5x   3x  2y  5z 96 Tìm x; y; z Bài 4: (3 điểm) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 f(-1) = 2012 Tính a; b ; c b Chứng minh f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 đa thức f(x) vô nghiệm Bài (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Gọi M, N trung điểm BC BD a Tam giác BDC tam giác ? Vì ? So sánh DM CN b Từ M kẻ đường thẳng vng góc với CN cắt tia BA K Chứng minh BMK CMD c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN Nội dung Bài Bài (3đ) a Tính giá trị biểu thức Điểm 5   18        13 9  13  13 5   18        13 9  13  13  7   13   18       13  13    18      19  13 13 13   9 13   13 1.5đ b Cho a; b số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13 Chứng minh 10a +b chia hết cho 13 (a + 4b)  13  10(a + 4b)  13 0.5đ Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b  13 0.5đ 0.5đ Do 10(a + 4b)  13 nên (10a +b )  Bài2 (4đ ) x2  Cho biểu thức A  x a Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A không xác định Giá trị biểu thức A không xác định x-2 = Kết luận : Giá trị biểu thức A không xác định x = 0.5đ 0.5đ b Với giá trị x biểu thức A nhận giá trị số âm ? Nhận xét : x2   x  x2 +3 >  x A nhận giá trị số âm x-2 nhận giá trị số âm A nhận giá trị số âm x < c Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên x   x    ( x  2)  A x x x A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên x 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ nhận giá trị nguyên  (x-2) x x-2 nhận giá trị : -7 ; -1 ; 1; Giải ra, thử lại kết luận: x    5;1; 3; 9 Bài 3(2đ) 0.5đ Cho số x; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 5z  6y 6x  4z 4y  5x   3x  2y  5z 96 Tìm x; y; z Từ 5z  6y 6x  4z 4y  5x   0.5đ 20z  24y 30x  20z 24y  30x 20 z  24 y  30 x  20 z  24 y  30 x   0   10  25  36 16 25 36  20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x =  20z = 24y = 30x  10z = 12y = 15x  x y z    3x y z 3x  y  z 96     3 12 10 30 12  10  30 32 0.5đ 0.5đ 0.5đ Giải kết luận : x = 12 ; y = 15 z = 18 Bài (3đ) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 f(-1) = 2012 Tính a; b ; c Tính = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c 2012 = f(-1) = a-b+c Tính được: a + b = 2013 a - b = 2012 Tính được: 2a = 4025 tính a  Kết luận : a  4025 ; b 2 4025 ; b 2 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ c = b Chứng minh f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 đa thức f(x) vơ nghiệm Tính : 2012 = f(1) = a + b +c (1) 2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2) 2036 = f(3) = 9a +3b +c (3) Từ (1) (2) có a – b = (4) Từ (2) (3) có a + b = (5) 0.5đ 0.5đ Từ (4) (5) tìm a = ; b = -4 tìm c = 2012 Như f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = ……….= (2x – 1)2 + 2011 >  x Kết luận: Đa thức vô nghiệm Bài (8đ) 0.5đ Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Gọi M, N trung điểm BC BD B N M E D A K C 1.0đ a Tam giác BDC tam giác ? Vì ? So sánh DM CN * Chứng minh được:  BAD =  BAC (c.g.c) suy BD = BC 0.5đ    = 450 + 450 = 900 DBC DBA  ABC 0.5đ 1.0đ Kết luận  BDC vuông cân B * Chứng minh  BDM =  BCN  DM = CN b Từ M kẻ đường thẳng vng góc với CN cắt tia BA K Chứng minh BMK CMD   Vì  BDM =  BCN suy BNC BMD    BNC vuông B nên BNC  BCN 900    CME vuông E nên MCE  CME 900   Từ suy CME BMD     Vì CME BMD  BMK CMD Chứng minh  BMK =  CMD (g.c.g) c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK * AB = a, tính BC = a áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC a Và tính BD = BC = a ; BM = BC  2 * Vì  BMK =  CMD suy MD = MK Vậy chu vi  DMK 2MD + DK a Tính DM  áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM Chứng ming BDK = BCK  DK BC a Chu vi tam giác DMK 2DM  DK 2a  a a 10  a a 10  2  Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ)  0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ