PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,5 điểm) 1 : 2015x  a Tìm x biết: 2016 2015 b Tìm giá trị nguyên n để phân số M = 3n  n  có giá trị số nguyên c Tính giá trị biểu thức: N = xy z3  x y3z  x y z5   x 2014 y 2015z 2016 x -1; y -1; z -1 Câu (2,0 điểm) a Cho dãy tỉ số tại: 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z   Chứng minh:   a 2b 3c a 2b 3c b Tìm tất số tự nhiên m, n cho : 2m + 2015 = n  2016 + n - 2016 Câu 3.(1,5 điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x  2015  x  2016  x  2017 b Cho bốn số nguyên dương khác thỏa mãn tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho Tính giá trị nhỏ tổng bốn số ? Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc AC H Trên cạnh BC lấy điểm M ( khác B C) Gọi D, E, F chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC, BH a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD + ME có giá trị không đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK = EH Chứng minh BC qua trung điểm DK Câu (1,0 điểm) Có sáu túi chứa 18, 19, 21, 23, 25 34 bóng Một túi chứa bóng đỏ năm túi chứa bóng xanh Bạn Toán lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi Túi cịn lại chứa bóng đỏ Biết lúc bạn Tốn có số bóng xanh gấp đơi số bóng xanh bạn Học Tìm số bóng đỏ túi cịn lại -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên học sinh:…………………………………………SBD:…………… PHỊNG GD&ĐT SÔNG LÔ KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 HDC thi mơn: Tốn Ghi chú: - Hướng dẫn chấm trình bày ý cách giải, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo vận dụng thang điểm điểm không vượt thang điểm câu - Câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm - Tổng điểm tồn thi thí sinh tổng điểm câu khơng làm tròn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1a 1 : 2015x  1,0 0,25 2016 2015 điểm 1 x 2016.2015 2015 1 x :  2016 2015 2016.2015 Vậy x  2016 1b 1,0 điểm M= 3n  n  0,25 0,25 0,25 có giá trị số nguyên => 3n - Mn – => 3(n – 1) + Mn – => Mn – 1=> n -  Ư(2) =   1;1; 2;2 Ta có bảng n–1 -1 -2 n -1   ; ;  1;3 M nhận giá trị nguyên Thử lại ta có n 1c 0,5 điểm Ta có : N = xyz.yz  x y 2z yz  x y3z3 yz   x 2014 y 2014z 2014 yz Thay y = 1; z = -1 ta được: N =  xyz  x y z  x y3z   x 2014 y 2014 z 2014 = -(xyz) - (xyz)2 - (xyz)3 - - (xyz)2014 Thay xyz = -1 được: N = - + – 1+ +1- = Vậy N=0 2a 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx   a 2b 3c   2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx   a2 4b 9c 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx 0 a  4b  9c  2bz - 3cy =   3cx - az =  2b 1,0 0,25 z y  (1) 3c 2b x z x y z  (2); Từ (1) (2) suy ra:   a 3c a 2b 3c 0,5 0,25 0,25 điểm 3a 1điểm Nhận xét: -Với x ≥ x + x = 2x -Với x < x + x = Do x + x số chẵn với  xZ Áp dụng nhận xét n  2016 + n – 2016 số chẵn với n -2016  Z Suy 2m + 2015 số chẵn  2m lẻ  m = Khi n  2016 + n – 2016 = 2016 + Nếu n < 2016, ta có - (n– 2016) + n – 2016 = 2016  = 2016 (loại) + Nếu n ≥ 2016 , ta có 2(n– 2016) = 2016  n – 2016 = 1008  n = 3024 (thỏa mãn) Vậy (m; n) = (0; 3024) P= x  2015  2016  x  x  2017 = ( x  2015  2017  x )  x  2016 Ta có: x  2015  2017  x  x  2015  2017  x 2 Dấu “=” xảy khi: 2015  x 2017 (1) Lại có: x  2016 0 Dấu “=” xảy x = 2016 (2) 3b 0,5 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 Từ (1) (2) ta có minP = Dấu “=” xảy x = 2016 0,25 Nhận xét : Bốn số phải có số dư chia cho Để có tổng nhỏ nhất, hai số dư Từ ta có số 1, 7, 13 19 Tổng chúng : 1+7+13+19 = 40 0,25 A H D B P E F C Q M I K 4a 1,0 điểm Chứng minh ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1,0 4b 1,0 điểm Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) 0,25 0,25 4c 0,5 điểm 1,0 điểm Từ (1) (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm) Vẽ DPBC P, KQBC Q, gọi I giao điểm DK BC +) Chứng minh : BD = FM = EH = CK +) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ(cạnh tương ứng)   +) Chứng minh : IDP ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm) IKQ Tổng số bóng túi : 18+19+21+23+25+34=140 Vì số bóng Tốn gấp hai lần số bóng học nên tổng số bóng hai bạn bội Ta có : 140 chia 46 dư Do số bóng đỏ số chia dư Trong sáu số cho có 23 chia dư 2, số bóng đỏ túi cịn lại Từ ta tìm số bóng Tốn : 18+21=39.Số bóng học : 19+25+34=78 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5