UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn Tốn Câu (2,5 điểm) Tính: a/ 7,3 10,5 + 7,3 15 + 2,7 10,5 + 15 2,7 b/ (69.210 + 1210) : (219.273 + 15.49.94) Câu (5 điểm) So sánh A B trường hợp sau: a/ A =  2012 4025 ;B=  1999 3997 b/ A = 321 ; B = 231 c/ A = 2011 2011 2011 2011     ; 3.4 5.6 1999.2000 B= 2012 2012 2012 2012     1001 1002 1003 2000 Câu (5 điểm) a/ Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x  N) b/ Cho 3x  y z  x y  z x y z   Chứng minh rằng:   2 c/ Cho f(x) hàm số xác định với x thỏa mãn điều kiện f(x1.x2) = f(x1).f(x2) f(2) = 10 Tính f(32) Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AB Gọi I giao điểm đường trung trực BC AD a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b/ Chứng minh AI tia phân giác góc BAC c/ Kẻ IE vng góc với AB, chứng minh AE  AD Câu (2,5 điểm) Cho 100 số hữu tỉ tích ba số số âm Chứng minh tất 100 số số âm UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÂU Câu ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn Tốn ĐÁP ÁN a 7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15.2,7 1,5đ = 10,5.(7,3 + 2,7) + 15.(7,3 + 2,7) = 10,5 10 + 15 10 (2,5đ) = 105 + 150 = 255 b (69.210 + 1210) :(219.273 + 15.49.94) 1đ = ( 39.29.210 + 220.310) : (219.39 + 3.5.218.38) = [219.39(1+2.3)] : [218.39(2 +5)] = (2.7) : = Câu 2012 2012 1 1999 1999 a   ;   4025 4024 2 3998 3997 2đ (5đ)  => > 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 1,0 0,5 2012 1999  4025 3997  2012 4025 ĐIỂM  1999 3997 Vậy A > B b A = 321 = 3.(32)10 = 3.910 1,5đ B = 231 = 2.(23)10 = 2.810 Suy A > B 2011 2011 2011 2011 c A     1.2 3.4 5.6 1999.2000 1,5đ 1 1 1   2011.          1999 2000    1  1 1  2011.              1999   2000     1 1 1   1 1 2011.            2.      1999 2000  2000   2   1 1   1 1  2011.                 1999 2000   999 1000    1 1   2011.       1999 2000   1001 1002 1003 1   B 2012       2000   1001 1002 1003 Suy A < B 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x+1 Câu (5đ) x+2 x+3 x+100 a + + +…… + 2,5đ = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+ (3x+97 + 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96(3+32+33+34) = 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120 = 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) 120 (đpcm) 0,75 0,75 0,5 0,5 b 1,5đ c 1đ Câu (5đ) 3x  y z  x y  z   Suy ra: 4(3x  y ) 3(2 z  x) 2(4 y  3z )   16 12 x  y  z  12 x  y  z  0 29 3x  y x y 0  3x 2 y   (1) Vậy 2z  4x x z 0  z 4 x   (2) x y z Từ (1) (2) ta   0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì f(x1.x2) = f(x1).f(x2) nên f(4) = f(2.2) = f(2) f(2) = 10 10 = 100 f(16) = f(4.4) = f(4) f(4) = 100 100 = 10000 f(32) = f(16.2) = f(16) f(2) = 10000 10 = 100000 0,5 0,25 0,25 Hình vẽ 0,5 A P C B E D I a Vì I giao điểm đường trung trực BC AD 1,5đ nên IB = IC, IA = ID Lại có AB = CD (gt) Do ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,25 0,5 0,25 0,5 b ∆AID cân I, suy  DAI =  D 1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy  BAI =  D Do  DAI =  BAI Vậy AI tia phân giác góc BAC c Kẻ IP AD, ta có ∆AIE = ∆AIP ( cạnh huyền-góc nhọn) 1,5đ => AE = AP Mà AP = ½ AD (vì P trung điểm AD) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 Suy AE  AD Trong 100 số cho, phải có số âm (vì 100 số dương tích ba số khơng thể số âm) Ta tách riêng số âm Chia 99 số cịn lại thành 33 nhóm, nhóm thừa số (2,5đ) Theo đề bài, nhóm có tích số âm nên tích 33 nhóm tức 99 số số âm Nhân số âm với số âm tách riêng từ đầu ta tích 100 số số dương b Sắp xếp 100 số cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn 1,5đ a1≤a2≤a3≤ ≤a100 Các số khác (vì có thừa số tích với hai thừa số khác 0, trái với đề bài) Xét tích a98.a99.a100 <  a98 < (vì a98 > a99 >0, a100> 0, tích ba số khơng thể số âm) Vậy a1, a2, a3, , a98 số âm Xét tích a1.a2.a99 < mà a1a2 > nên a99 nên a100