Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: ( điểm) a)Tính A = ( 1 1 -1).( -1).( - ) ……( -1 ) ( -1) 16 100 121 b) S = 22010  22009  22008    Bµi : ( điểm) a) Tìm x , y nguyên biết xy + 3x – y = 1 + + ……+ 1.2 3.4 37.38 1 B= + +……….+ 20.38 21.37 38.20 A số nguyên B b) Cho A = CMR Bài ( điểm ): a) Cho S= 17 + 172+173+…… +1718 chøng tá r»ng S chia hÕt cho 307 b) Cho đa thức f (x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 Biết : f (1)  f ( 1); f (2)  f ( 2) Chứng minh : f ( x)  f ( x) với x Bµi (6 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đờng thẳng qua M vuông góc với tia phân giác góc A H cắt cạnh AB , AC lần lợt E F Chứng minh : a) 2BME = ACB - B b) FE  AH  AE c) BE = CF Bài ( điểm) Cho s không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ số S đạt giá trị lớn bao nhiêu? Phßng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hớng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán Bài  15  99  120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12  100 121 10 11 a) 16 1.2.3.4 10.3.4.5.6 11.12 1.2.11.12 12   2  22.32 .112 11 22 1 b) S = 2010  22009  2008    2S = 2011  2010  2009  2  2S - S = 2011  2010  2010  2009  2009  2  2    S = 2011  2.2 2010  2 2011  2011  1 Bµi a)xy + 3x – y = => (x – 1) (y+3) = => x y+3 Ư( 3) Tìm cặp (x, y ) thoả mÃn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6) 1 1 1 1 =          1.2 3.4 37.38 37 38  1 1 = ( + +   ) –      38  37 2   1 1 1 =              38  38  1 2 1 =    20 21 38 1 B= =>    20.38 21.37 38.20 1 1 1 1         2      58B= 20 38 21 37 38 20 38   20 21 2A A 58 B= A   29  Z 58 B 0.5® 0.5® 1đ 1 b)A = Bài : Mỗi ý ®óng cho ®iĨm a) S = 17( 1+17+172) + 174( 1+17+172) + .+1716( 1+17+172) = 17 307 + 174.307 + + 1716.307 = 307( 17+ 174+…………….+ 1716) V× 307 307 nªn 307( 17+ 174+…………….+ 1716) 307 Vậy S 307 f (1) a  a  a  a1  a f ( 1) a  a  a  a1  a Do f (1)  f ( 1) nªn a4 + 1 0,5 0, 0.25® b) a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a + a2 - a + a0  a3 + a1 = - a3 - a1 (1)  a3 + a1 = f (2) 16a  8a  4a  2a1  a f ( 2) 16a  8a  4a  2a1  a V× f (2)  f ( 2) nên 4a3 + a1 = 0.25đ Tơng tù: Tõ (1) vµ (2)  a1 = a3 = VËy f ( x) a x  a x  a (2) 0.25® 0.25® f (  x ) a (  x )  a ( x )  a a x  a x  a f ( x)  f (  x ) víi x víi x Bµi A E B M C H D F  F  a) AEH AFH (cgc) Suy E XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy  lµ gãc ngoµi suy BME cã E VËy hay b) 0.5®   CMF  ACB  F    B  BME E 0.25®    )  (E   B  ) CMF  BME ( ACB  F   (®pcm) 2BME ACB B áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 0.75đ ta có HF2 + HA2 = AF2 hay FE  AH  AE (®pcm) 0.75®  F  c) C/m AHE AHF ( g  c  g ) Suy AE = AF vµ E Tõ C vÏ CD // AB ( D  EF ) C/m ®ỵc BME CMD( g  c  g )  BE CD (1) có E CDF (cặp góc đồng vị) CDF F  CDF c©n  CF = CD ( 2) Tõ (1) vµ (2) suy BE = CF Bµi Cho số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ số S đạt giá trị lớn bao nhiêu? Giả sử a b c d S a b  a c  a d  b c  b d  c d  ( a  b)  (a  c)  (a  d )  (b  c)  (b  d )  (c  d ) (3a  b)  (c  3d ) Do c  3d 0  S 3a  b; S 3a  b c = d = 0, lúc a + b = Do a 1 ta có S = 2a + (a + b) = 2a +  2.1 + hay S  Kết luận 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ