PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề ) Câu 1: ( điểm ) a) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:   b  a  a b  c b c  a c a  b   Hãy tính giá c a b c trị biểu thức: B          a c b    a c b) Cho tỉ lệ thức  với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d b d  a b Chứng minh:    c d  2013  a 2013  b 2013 c 2013  d 2013 Câu 2: ( điểm ) a) Cho x y z t    y  z t z t  x t  x  y x  y  z Chứng minh rằng: Biểu thức sau có giá trị nguyên A x  y y  z z t t  x    z t t  x x  y y  z b) Tìm x biết: x  x  0 c) Số A chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A Câu 3: ( điểm ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  2013  x  3014  x  2015 Câu 4: ( điểm ) Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ nghịch với ba số 20; 120; 16 Câu 5: ( điểm ) Cho tam giác ABC vng A, có góc C 300 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD HB Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD tam giác b) AH CE c) HE song song với AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLIMPIC Năm học 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Lớp Câu Câu (5 điểm) Nội dung a) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: Điểm a b  c b c  a c a  b   c a b   b  a  c    Hãy tính giá trị biểu thức: B          a c b Vì a, b,c số dương nên a  b  c 0 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b  c b c  a c  a  b a b  c b c  a c  a  b    1 c a b a b c 1đ a b  c b c  a c a  b 1  1   2 Nên: c a b  a b b c c a   2 c a b   b  a  c    1đ Mà: B          a c b  a b   c a   b c   B     8  a  c  b  Vậy: B 8 b) Cho tỉ lệ thức a c  với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d b d  a b Chứng minh:    c d  2013 a 2013  b 2013  2013 c  d 2013 a c a c a   Ta có:   b d b d b a Mà:   b 2013 c   d 2013  2013 c   d 2013  a c    b d  a 2013 c 2013 a 2013  c 2013   b 2013 d 2013 b 2013  d 2013  a b Từ (1) (2)     c d  1đ 2013  a 2013  b 2013 c 2013  d 2013 2013 (1) (2) (đpcm) 0,75 đ 0,75 đ 0, đ Câu (6 điểm) a) Cho x y z t    y  z t z t  x t  x  y x  y  z Chứng minh rằng: Biểu thức sau có giá trị nguyên A x  y y  z z t t  x    z t t  x x  y y  z x y z t x  y  z t Ta có: y  z  t  z  t  x t  x  y  x  y  z  x  y  z  t     3x  y  z  t ; 3y z  t  x ; 3z t  x  y ; 3t x  y  z  x  y z  t ; y  z t  x ; z  t  x  y ; t  x  y  z  A x  y y  z z t t  x    1    4  Z z t t  x x  y y  z 0, đ 0, đ (1đ) Vậy biểu thức A có giá trị nguyên (đpcm) b) Tìm x biết: x  x  0 Ta có: x  x  x  0 0, đ   x  3x    x    x  x  3   x  3  x  0   x  3  x      x  0  x 3    x 2 0, đ Vậy: x 2 x 3 c) Số A chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : Biết tổng 1đ bình phương ba số 24309 Tìm số A Gọi ba phần chia là: a, b, c 0, đ a  b  c 24309 Theo ta có: a : b : c  : : Ta có: a : b : c  : : 24 : 45  10  a b c   24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a2 b2 c2 a2  b2  c2 24309        9 24 45 10 576 2025 100 576  2025 100 2701  a 576.9 5184  a 72 b 2025.9 18225  b 135 c 100.9 900  c 30 0, đ Vì: a b c    a, b, c dấu 24 45 10  A  72    135     30   237 1đ A 72  135  30 235 Vậy: A  135 A 135 0, đ 0, đ Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  2013  x  3014  x  2015 Ta có: x  2015  2015  x  A  x  2013  2015  x   x  3014  A  x  2013  2015  x  x  2014  A 2  x  2014 0, đ Mà: x  3014 0  A 0 2013  x 2014  x  2013  2015  x    x 2014  x 2014 Dấu sảy    x 2014 Vậy GTNN A x 2014 Câu (2 điểm) 0, đ 0, đ 0, đ Tìm hai số dương biết tổng hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16 Gọi hai số dương cần tìm x , y Theo ta có: 30  x  y  120  x  y  16 xy  x  y x  y xy   k 15 0, đ 0, đ  x  y 8k ; x  y 2k ; xy 15k  x 5k ; y 3k  xy 5k 3k 15k 15k 15k  k 1 0, đ  x  y 8; x  y 2  x 5; y 3 0, đ Vậy hai số dương cần tìm Câu (5 điểm) Vẽ hình ghi GT – KL a) ABD có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ABD cân A  C  900 (Hai góc nhọn tam giác vng) Ta có: B 0, đ  900  300 600  B Nên ABD tam giác (đpcm)   b) Ta có: EAC BAC  ABD 900  600 300  AHC CEA (cạnh huyền –góc nhọn) Do AH = CE (đpcm) 1đ c) (2,5 điểm) AHC CEA (cmt) nên HC = EA (1) 2đ  ADC cân D có ADC DCA 30  DAC cân D Suy : DA = DC (2) 0, đ Từ (1) (2)  DH DE  DHE cân D Hai tam giác cân ADC DEH có: Hai tam giác cân: ACD cân D DHE cân D có: ADC HDE   (đđ)  DHE  ADC vị trí so le  EH / / AC (đpcm) 1đ