UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS MƠN TỐN NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) 2 1    0,25   0,4   11  : 2017    7  1,4    0,875  0,7  2018 11  a) Tính M =  b) Tìm x, biết: 2017  x  2018  x  2019  x 2 Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c bc a ca  b   c a b c  b  a  B           a  c  b  Hãy tính giá trị biểu thức: b) Cho hai đa thức: f (x) (x  1)(x  3) g(x) x  ax  bx  Xác định hệ số a;b đa thức g(x) biết nghiệm đa thức f (x) nghiệm đa thức g(x) c) Tìm số nguyên dương x,y, z thỏa mãn: x  y  z xyz Câu (3,0điểm) Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc AC H Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B C) Gọi D, E, F chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC, BH a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD + ME có giá trị khơng đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK = EH Chứng minh BC qua trung điểm đoạn thẳng DK Câu (1,0 điểm)  Cho tam giác ABC (AB< AC, B= 60 ) Hai tia phân giác AD ( D  BC ) CE ( E  AB ) ABC cắt I Chứng minh  IDE cân Câu (1,0 điểm) 12  2  32  n2  Sn      2 n (với n  N n >1) Cho Chứng minh Sn không số nguyên - Hết - UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN: MƠN TỐN Câu Nội dung   0,  M   1,4   a) Ta có:      Câu   2  11  7  11  1  2     7   5   Điể m 2 1    0,25  11   : 2017  7   0,875  0,7  2018 11  1     : 2017 7  2018    10  1   1 1        11     2017 :  1   1   2018       11     0.25 0.5 0.25  2  2017    : 0  7  2018 b) Có 2018  x 0 2017  x  2019  x  x  2017  2019  x  x  2017  2019  x 2 => 2017  x  2018  x  2019  x 2 Dấu “=” xảy (x – 2017)(2019 – x) ≥ 2018  x = , suy ra:2017 ≤ x ≤ 2019và x = 2018  x 2018 Câu 0,25 0,25 0,25 0,25 x = 2018 Vậy 0,25 a) Vì a, b,c số dương nên a  b  c 0 Nên theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b  c b c  a ca  b a b  c b c a c a  b    1 c a b a b c a b c bc a c a  b 0,25  1  1   2 c a b 0,25 a b b c ca    2 c a b  b  a  c  B           a  c  b  Mà:  a  b  c  a  b c   B     8  a  c  b  Vậy: B 8 b) HS biết tìm nghiệm f (x) (x  1)(x  3) =  x 1; x  3 Nghiệm f (x) nghiệm g(x) x  ax  bx  nên: Thay x 1 vào g(x) ta có:  a  b  0 Thay x  vào g(x) ta có:  27  9a  3b  0 Từ HS biến đổi tính được: a  3; b  0,25 0,25 0,25 0,5  c) Vì x, y,z  Z nên giả sử x y z 1 Theo ra: 1 1 1    2 2 2 yz yx zx x x x x Suy ra: x 3  x 1 0,25 Thay vào đầu ta có:  y  z yz  y  yz   z 0  y   z     z   0 0,25   y  1  z  1 2  y  1   z    TH1:  y 2  z 3  y  2   z   TH2:   y 3  z 2 (loại) Vậy (x; y; z) = (1;2;3) hoán vị 0,25 0,25 A H E F D C Q B P Câu M I K a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) C/m: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm) c) Vẽ DPBC P, KQBC Q, gọi I giao điểm DK BC +) Chứng minh: BD = FM = EH = CK +) Chứng minh:∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ(cạnh tương ứng)   +) Chứng minh: IDP IKQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A Câu F E I B D C 0    Ta có ABC 60  BAC  BCA 120 BAC IAC BAC  AD phân giác suy =    CE phân giác ACB suy ICA = BCA IAC  ICA   Suy = 1200 = 600  AIC = 1200 0,25 Câu   Do AIE DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF = AE Xét  EAI  FAI có: AE = AF   EAI FAI AI chung Vậy  EAI =  FAI (c-g-c) suy IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1)      AIE AIF = 600  FIC AIC  AIF = 600 Chứng minh  DIC =  FIC(g-c-g) Suy ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy  IDE cân 1 1 Sn 1         2 n Có 1 (n  1)  (    ) n 1 A     2 n Đặt Do A > nên Sn  n  A Mặt khác 1 1    1  1.2 2.3 (n  1).n n 1 ) n    n  0 n n (do n )  n   Sn  n  nên Sn không số nguyên  Sn  (n  1)  (1  Chú ý:- Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Hình vẽ sai khơng chấm điểm hình 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25