PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN VIỆT YÊN Thời gian làm bài:120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm)   0,  1) M =   1,   2 1    0, 25  11   : 2012  7   0,875  0,  2013 11  2) Tìm x, biết: x  x  x  Câu (5,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:   b  a  a  c  a b c bc  a c a  b   c a b c b Hãy tính giá trị biểu thức B          2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x   x  2013 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x  y  z  xyz Câu (6,0 điểm)  Cho xAy =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b )  KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh  AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c 1 chứng minh rằng: a b c   2 bc  ac  ab  Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN VIỆT N Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung 2 1    0, 25   0,   11  : 2012  1) Ta có: M    1,   1  0,875  0,  2013 11   1  2 2    11    2012   : 7 7 7       2013  11 10    1  1 1      11       2012    : Câu             2013 (4 điểm)   11           2  2012    : 0  7  2013 KL:…… 2 2) x  x   nên (1) => x  x  x  hay x  2 +) Nếu x 1 (*) = > x -1 = => x = +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 KL:………… Câu 1) (5 điểm) +Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a  b a b  c b c  a c  a  b   = =1 a b c c a b mà => a b  c b c  a ca  b 1  1  1 c a b a b b c c a   =2 c a b  b  a  c =2 => a b  c b c  a ca b 1  1  1 c a b a b b c c a   =1 c a b  b  a  c 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b a c a b c )( )( ) =8 Vậy B =          ( a c b  a  c  b  +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a  b a b  c b c  a c a  b   = =0 a b c c a b mà Điểm =1 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b a c a b c )( )( ) =1 Vậy B =          ( a c b  a  c  b  2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c 0,5 đ Ta có: a b c a b c x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  18 18 18 18 18 (1) Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b , c , a ,  b,  c , x 4x 5x x 6x      a ,  ; b,   ; c,  15 15 15 15 15 0,5đ 0,25đ (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu 6x x x  4  4  x 360 Vây: c’ – c = hay 15 18 90 0,5đ 0,5đ Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 0,5đ 0,25đ 1) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x 0,5đ  x   2013  x 2011 2013 Dấu “=” xảy (2 x  2)(2013  x) 0   x  KL:…… 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử  x y z Câu Theo = + +  + + = yz yx zx x2 x2 x2 x2 (4 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ => x  => x = Thay vào đầu ta có  y  z  yz => y – yz + + z = => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Câu (6 điểm) Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) V ẽ h ình , GT _ KL 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ   a,  ABC cân B CAB  ACB (MAC ) BK đường cao  BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b,  ABH =  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )  BH = AK ( hai cạnh t ) mà AK = AC  BH = AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC  CM = CK   MKC tam giác cân ( )  Mặt khác : MCB = 900 ACB = 300 1đ 1đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ   MCK = 600 (2) Từ (1) (2)   MKC tam giác c) Vì  ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì  ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK = AB  BK  16   12 Mà KC = AC => KC = AK = 12  KCM => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Câu (1 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Vì a b c 1 nên: 1 c c    (1) ab  a  b ab  a  b a a b b   Tương tự: (2) ; (3) bc  b  c ac  a  c a b c a b c      Do đó: (4) bc  ac  ab  b  c a  c a  b a b c 2a 2b 2c 2(a  b  c )       2 (5) Mà b c a  c a b a b  c a b c a b  c a b c a b c   2 (đpcm) Từ (4) (5) suy ra: bc  ac  ab  ( a  1)(b  1) 0  ab 1 a  b  Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ