PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Đề thức Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày 14 tháng năm 2015 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Năm học 2014 - 2015 Số báo danh Câu 1: (4,0 điểm) 3  2  9        :   Thực phép tính: 16 A    2     512 x  16 y  25 z    Cho x  15 Tính B  x  y  z 16 25 Câu 2: (4,0 điểm) 10 Tìm x, y biết: x x  y   y  x  y   50 1  Tìm x biết:  x  3 x      Câu 3: (5,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 7n  2n  có giá trị lớn Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Biết rằng, p(x) 5 với x nguyên Chứng minh a, b, c, d chia hết cho Gọi a, b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c    b c c a a b Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C) Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Đường vng góc với BC kẻ từ D cắt AB M Đường vng góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC N, MN cắt BC I Chứng minh DM = EN Chứng minh IM = IN, BC < MN Gọi O giao đường phân giác góc A đường thẳng vng góc với MN I Chứng minh BMO CNO Từ suy điểm O cố định Câu 5: (2,0 điểm) Cho số thực dương a b thỏa mãn: a100  b100 a101  b101 a102  b102 Hãy tính giá trị biểu thức: P a 2014  b 2015 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN Hướng dẫn chấm KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014 - 2015 Mơn: Tốn Ngày 14 tháng năm 2015 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Câu Điểm Nội dung 3  2  9   2  9       :       :   33 16          16    12 A    7 7 7 2 2  512  2  2 2     0,5 Ta có: x  15  x 16  x 8  x 2  x 2 (4,0đ) Suy ra: Do đó, Vậy 2,0 18 y  25 z    16 25 18 y  25  y  25 32  y 57 ta có:  16 18 z    z  50  z 41 25 0,25 0,5 0,5 0,25 B  x  y  z 2  57  41 100 Trừ vế hai đẳng thức cho ta được:    3 x x  y   y x  y        x  y        x  y  x  y   10  50  25  5 Suy ra: x  y  0,25 10 1 x  ; y  10 Thay x  y  vào hai đẳng thức cho ta x  ; y  Thay (4,0đ) 3 x  y  vào hai đẳng thức cho ta 1  Từ  x  3 x    suy x – x + dấu   Dễ thấy x – < x + nên ta có:  x – x + dương  x – >  x > 1  x – x + âm  x + x < - 7n  2 n  8 0,75 7 2n  3  0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Ta có: 2n   2 2n  3  2 2n  3   2 2n  3 (5,0đ) 0,75 Phân số cho có giá trị lớn 2 2n  3 lớn Từ suy ra: n 2 Vậy giá trị lớn phân số cho n 2 Vì p(x) 5 với x nguyên nên p(0) = d  p(1) = a + b + c + d 5 (1) p(- 1) = - a + b - c + d 5 (2) Từ (1) (2) suy 2(b + d) 5 2(a + c) 5 Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = nên b + d 5 suy b 5 p(2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b 5 nên 8a + 2c 5 Kết hợp với 2(a + c) 5  6a 5  a 5 (6, 5) = Từ suy c 5 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy a, b, c, d chia hết cho a a aa 1  (1) b c bc b c a b b b b 1  Tương tự, ta có: (2) ca c  a c a b c c c c 1   (3) a b a b a b c a b c 2a  2b  2c    2 Từ (1), (2) (3) suy ra: b c c a a b a b c Vì a  b  c nên 0,25 0,25 0,25 0,25 A M B I C E D N (5,0đ) O Tam giác ABC cân A nên ABC  ACB; Do đó: MDB NEC ( g c.g )  DM EN  NCE  ACB; (đối đỉnh) Ta có MDI NEI ( g c.g )  MI  NI Vì BD = CE nên BC = DE Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy BC < MN 0,75 0,75 0,5 0,75 0,25 3) Ta chứng minh được:  ABO ACO(c.g.c)  OC OB, ABO  ACO MIO NIO (c.g c)  OM ON Ta lại có: BM = CN Do BMO CNO (c.c.c)     , Mà: MBO  MBO  NCO  ACO suy NCO  ACO , mà hai góc kề bù nên CO  AN (2,0đ) Vì tam giác ABC cho trước, O giao phân giác góc A đường vng góc với AC C nên O cố dịnh Ta có đẳng thức: a 102  b102 a 101  b101  a  b   ab a100  b100  với a, b Kết hợp với: a100  b100 a101  b101 a102  b102 Suy ra:  a  b   ab   a  1 b  1 0  a 1   b100 1  b101 1  b102  b 1   100 1  a 101 1  a 102  a 1  b 1   a Do P a 2014  b 2015 12014  12015 2 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa 0,75 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình