PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn; Lớp: Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/5/2014 (Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu) Số báo danh Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 16  x  x  2x  3x x     : A = x  2 x x   x3  x  x  x 4 a) Rút gọn A b) Tìm x để A  Câu 2: (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x - 7) - 36x b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n chia hết cho 210 với n  Z Câu : (4 điểm) a) Giải phương trình sau :    x  x  x  10 x  24 x  x  18 b) Cho ba số x,y,z≠ thỏa mãn + + = 0.Tính giá trị biểu thức: P=  xy yz zx       x y z  2013 Câu : (4 điểm) Cho ABC đều,H trực tâm, đường cao AD M điểm bất kì cạnh BC Gọi E,F hình chiếu M AB, AC Gọi I trung điểm AM; ID cắt EF K a)Chứng minh: DEIF hình thoi b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AN = CM.Gọi K giao điểm AN CM CMR: KD tia phân giác góc AKC Câu (3 điểm) a) Cho x > ;y> 0.CMR: +  b) Cho số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= + + + Hết Cán coi thi khơng giải thich thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Toán Câu ý a (2đ) Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x≠  2; x≠ ;x ≠  16 x  x    x  x  2    3x  x  2  x x  A=  :  x  2 x  2   x x  2 x x x  2 = x  x  2 x  2 x  x x   = x x  3x 3x = x  1  x 3x Vậy A =  x Điểm 0.25đ 0.5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ A 0     Kết hợp với đk x ≠ thì với < x < thì A  Có thể xét dấu b (2đ) 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x  x    36 x   x x  x    36   x x  x x   x  . x  x x  x    x x    a (2đ) 3 0.5đ    x  6  x  x   x  x  x    x  x  1 x x  1  6  x  1 x x  1  6  x  x  1  x  x   x  1  x  x    x  x  1 ( x  2)( x  3)( x  1)( x  2)( x  3) b (1đ) Ta có: B= n - 14n + 49n - 36n = n(n - 7) - 36n Theo câu a ta có: B = n3  n  2  36n  n  3 n  2 n  1 n n  1 n  2 n  3 Do đó: B tích số nguyên liên tiếp  B 2; B 3 ; B 5 ;B 7 Mà số 2;3;5;7 đôi nguyên tố  B (2.3.5.7) hay B  210 Với n  Z 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3  a (2đ)   x  1 x  4  x  4 x  6 0,25đ    x  3 x     1   1              x 1 x    x  x    x  x      x 1 x  3 x  3 4 x  1 x  3 3 x  1    3 x  1 x  3 3 x  1 x  3 3 x  1 x  3  x  x 0  x x   0  x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = 1 1 1   0    x y z x y z b (2đ)  yz xz xy   3 x2 y z  P    2013 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.25đ 1 1  1         z  x y 1 1 1         x y xy  x y  z 1  1        x y xy  z  z 1  3 3  x y z xyz 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ 12013 1 Ta có:  xy yz zx  P      z x y   2013    1 1   xyz      2 y z  x       xyz  2 xyz   2013 1 1 a (2đ) 0.5đ 2013 2013 EMA vng E có EI đường trung tuyến  EI=IM=IA= AM  IAE cân I  = (Góc ngồi tam giác) Tương tự: = DI = AM 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ A N I E B Suy ra: CMTT ta có: F H K M C D 0.25đ EI = DI = 600  IED  EI=ED=ID IDF  ID=DF=IF  DEIF hình thoi 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0.25đ Vì DEIF hình thoi  K trung điểm EF ID Gọi N trung điểm AH b (2đ) Do ABC có H trực tâm  H trọng tâm  AN=NH=HD MH  KH 0,25đ 0.25đ CM : NI //MH  theo tiên đề Ơclit NI // KH hay: M,H,K thẳng hàng 0.5đ 0.5đ 0,25đ (2đ) A M l B K J D N C Kẻ DI AK ; DJ  CK Ta có: SAND = AN.DI = SABCD (1) (do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N ) SCDM = CM.DJ = SABCD (2) (do chung đáy CD,cùng đườngcao hạ từ M ) Từ (1) (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ  DI = DJ (do AN = CM) CM: DIK = DJK  =  KD tia phân giác 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ Ta có: a (1đ) +  Vậy   (*)  (x+y)  4xy (vì x > ; y > 0)  (x-y)  (Đúng) +  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Từ (*)   0,5đ Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: 1 1    2 ab a  ab b  ab a  b   1          2ab a  b   a  ab b  ab  2ab 4 10     10 2  a  b  a  b  a  b  a  b Dấu xảy  a b  Vậy Min M = 10  a b  M  b (2đ) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Chú ý:- HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Bài hình học mà học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm hinh đó