PHÒNGD-ĐT VŨ THƯ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008 MƠN: TỐN LỚP THỜI GIAN LM BI : 120 PHT Bài 1: (5điểm) 1) Thực phép tính (theo cách hợp lí có thể) 2009    a)2008    2009     2007 1004   2007 2  9   10      b)   412  169   3 :   16   2  10 2) Chứng tỏ rằng: + + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 Bài 2: (4điểm) 1) Tìm x biết: : x   0, 25  12 y z 2) Tìm ba số x,y,z biết rằng: 2x   x  y  z  20 Bài 3: (4điểm) Cho hai đa thức : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x Đặt H(x) = P(x) - Q(x) 1) Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm 2) Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x  Z Bài 4: (5điểm) Cho tam giác ABC, cạnh AB AC theo thứ tự lấy điểm M,N cho AM = AN (M nằm A B, N nằm A C) 1) Chứng minh : Nếu AB = AC BN = CM 2) Cho biết AB > AC: a) Chứng minh : BN > CM b) Gọi giao điểm BN CM K, so sánh BK CK Bài 5: (2điểm) Chứng minh rằng: 1 1      với n  N, n 4 2 n HƯỚNG DẪN GIẢI-VŨ THƯ Bài 1: Câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ; Câu 2: 1,5 đ 1) Thực phép tính (theo cách hợp lí có thể) 2009    a)2008    2009     2007 1004   2007  2008 2008.2009 2009 2     2.2009 1004 2007  2007 2008 2009  2.2009   2.2009 2007 2007 2008 2009 1    2007 2007 2007 (0,5đ)   2  9   10      b)   12  16 218  230  24 (0,5đ)  236 10 (0,5đ) 10   3   9   3    210 : 40   224  236 218 (1  212 ) 1  24   (0,5đ) 12 (1  ) 64   3 :   16  (0,5đ) 10 (0,5đ) 2) Chứng tỏ + + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 + + 52 + 53 + + 529 =(1 + + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25đ) = (1 + + 52) + 53 (1+ + 52) + + 527 (1 + + 52) (0,5đ) 27 = 31 + 31 + + 31 (0,25đ) 27 = 31.(1 + + + ) chia hết cho 31 (0,25đ) 29 Vậy + + + + + chia hết cho 31 (0,25đ) Bài Mỗi câu cho đ Bài Làm câu cho 2điểm 1.Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm +Tính H(x) = x2 + 2x + (1đ) = ( x + 1) + (0,25đ) Do  x  1 0x (0,25đ)  x  1  1  0x => H(x) khơng có nghiệm 2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x  Z H(x) = x2 + 2x + = x(x + 2) + Giả sử tồn x  Z để H(x)= 2008 => x(x + 2) + = 2008 => x(x + 2) = 2006 => x x+ chia hết cho => x x+ chia hết cho => x(x + 2) chia hết cho tức 2006 không chia hết cho Mâu thuẫn, 2006 khơng chia hết cho 4, điều giả sử sai (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Vậy H(x) 2008 với x  Z Bài Câu 1: 1đ: Câu 2: 4đ A VABN VACM(cgc)  BN CM 1) M N B 2) ý a cho 2điểm, ý b cho điểm a) Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC Khi D nằm B M Nối D với N +.c/m: VADN VACM(c.g.c)  DN CM · · +.Trong VADC có ADN  ACM  180 · => ADN  90 · · · Mà BDN  NDA 180  BDN  90 => Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM => BN > CM b) Gọi giao điểm DN CM I Ta c/m : VDNM VCMN C A M I D K B · ·  INM IMN Do D nằm B M nên tia ND nằm tia NB NM · · · · BNM  DNM  KNM  INM => · · KNM  KMN  KM  KN Mặt khác theo c/m ta có : BN > CM => BK > CK Bài 1 1      với n  N, n 4 2 n 1669   BĐT +.Với n = dễ dành tính giá trị biểu thức 3600 Chứng minh rằng: +.Với n > 1 1 1     có k  N; k 2   k k(k  1) n 1 1 1 1669 1 A (    )        n 3600 5.6 6.7 n(n  1) 1669 1 1 A      3600 n n 1669 1 1669 2389 A (  ) (  )  3600 n 3600 3600 Đặt A  N C