PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 120 phút I.Trắc nghiệm: (2đ) Hãy chọn chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1: Rút gọn biểu thức A 2100  299  298  297   22  ta kết là: 2101  A) 2101  B) 2100  C) 2100  22 D) Câu 2: Cho hai số x; y 0 biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ với 5;1;12 ta có x; y bằng: A) x 6; y 4 B) x 4; y 6 C) x 15; y 3 D) x 4; y 48 Câu 3: Cho ABC vuông C có AB 29cm; AC 21cm Độ dài cạnh BC là: B) 20 cm A) 1282cm C) cm D) 50 cm Câu 4: Đồ thị hàm số y   m  x qua điểm A( 2;  6) m bằng: A) - II Tự luận: B) C) D) - Câu 5: (1,5đ) Tìm x biết: a) x 1  7.3x  405 b) 5   x 3x  c) x   x  x2 Câu 6: (2đ) a) Tìm giá trị lớn biểu thức C  x với x số nguyên x y 4 z    b) Tìm số x; y; z biết: 3x  y  z  48 4 Câu 7: (2đ) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM  AN 2 AB a) Chứng minh rằng: BM CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực đoạn thẳng MN tia phân giác góc BAC cắt K Chứng minh KC  AN Câu 8: (2,5đ) a) Điểm M nằm bên tam giác ABC cho MA : MB : MC 3 : : Tính số đo góc AMB b) Tìm số phương có bốn chữ số, biết hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống c) Tìm số tự nhiên có hai chữ số mà số chia hết cho tích chữ số PHỊNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán lớp I.Trắc nghiệm: (2 điểm câu cho 0,5 đ) Câu A Đáp án B II Tự luận: (8 điểm) Câu Phần a (1,5đ) b c (2đ) a (1đ) B Nội dung cần trình bày x=4 x=-1 x  C Điểm 0,5 0,5 0,5 Xét trường hợp: -Nếu x  C 1 -Nếu x = C = -Nếu x 1 A 1  2 ta thấy C lớn x x lớn (vì x số nguyên dương) suy x = C = So sánh trường hợp ta thấy GTLN C x = x  y  z  (3x  y  z )  52  48  52 b      20 Ta có 4 5 5 (1đ) suy x = - 77; y = 136; z = 65 (2đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 A 0,5 M I B E C K N Vẽ hình – GT - KL a Ta có AM + AN = AC + (AM + CN) (1) 0,25 (0,5) AB = AC (gt) AM + AN = 2AB (2) Từ (1) (2) suy BM = CN 0,25 b Gọi I giao điểm MN BC, qua M kẻ đường thẳng 0,25 (0,5) song song với AC cắt BC E ta chứng minh MEI NCI ( g c.g )  MI  NI c Chứng minh MIK NIK  KM KN (0,5) ABK ACK (c.g.c)  KB KC Từ suy BKM CKN (c.c.c)  MBK KCN Mà MBK ACK  ACK KCN 900  KC  AN (2,5đ) a 0,25 0,25 0,25 A (1đ) 3a K M 4a B 0,25 5a C Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng MB, không chứa điểm C Vẽ tam giác MBK 0,25     Khi ñoù: ABK MBK  ABM 60  ABM   Vaø CBM  ABC  ABM 600  ABM => ABK CBM ABK CBM có: AB = CB (ABC ñeàu) ABK CBM  0,25 => ABK = CBM (c.g.c) BK = BM (MBK đều) => KA = MC = 5a AMK coù: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2 Theo định lí Pitago đảo, ta có AMK vuông M  0,25 Vậy AMB  AMK  BMK 900  600 1500 b Gọi số phương phải tìm A m aabb (0,75) a; b   0;1 9 ; a 0 Ta có A m aa00  bb 11a.100  11b 11  99a   a  b   (1) 0,25 để A số phương 99a   a  b  11 Mà a  b 18  a  b 11 thay vào (1) m 11(99a  11) 112 (9a  1)  9a  số phương 0,25 Thử chọn giá trị a theo ĐK nêu ta có a = thỏa mãn b = 4; Số phương cần tìm 7744 0,25 c Gọi số cần tìm xy với x; y số tự nhiên từ đến (0,75) Theo đề ta có xy kxy với k  Z   kx  1 y 10 x  y 10 x với kx 1  10 x  kx  1 kx  0,25 ta có x; kx – hai số nguyên tố 10 kx  1 kx – số dương nên  kx  1   2;5;10 Xét trường hợp tìm số thỏa mãn đề là: 11; 12; 0,5 15; 24; 36