PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài (5 điểm ) 1.Thực phép tính:   193 33    11  1008 1007  A      :      2016    193 386  17 34    1008 2016  25   B (  11) 77   :  3.116   77 7  a  b c c a b a  cb   Cho số a, b, c khác thỏa mãn: 2b 2a 2c   Tính giá trị biểu thức: P   c  b  a        b  a  c Bài (5 điểm )  x    3x  b) Tìm hình chữ nhật có kích thước cạnh số ngun cho số đo diện tích số đo chu vi c) Tìm số nguyên dương x; y; z thỏa mãn:  x  y    y  z   2015 x  z 2017 a) Tìm x biết: Bài (3 điểm) Cho hàm số: y f  x  x  a) Vẽ đồ thị hàm số (1) x (1) b) Gọi E F hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ (-4) , xác định tọa độ hai điểm E, F Tìm trục tung điểm M để EM+MF nhỏ Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân A tam giác ABD tam giác ACE a) Chứng minh DC = BE DC  BE b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến ED M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh A, M, H thẳng hàng Cho tam giác ABC vng A có AB= 3cm; AC= 4cm Điểm I nằm tam giác cách ba cạnh tam giác ABC Gọi M chân đường vng góc kẻ từ điểm I đến BC Tính MB Bài (1 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n 2 tổng: 15 n2  S      số nguyên 16 n Họ tên :………………………………………… Số báo danh :………… -Hết - Câu (3 im) Đáp án biểu điểm chấm HSG môn to¸n năm học 2015-2016 Bài 1(5điểm ) Nội dung  193 33    11  1008 1007     :      2016    193 386  17 34    1008 2016  25 33    11  1007   A    :        17 34 34    25 50  2016    a)Tính A   0,75 0,5  1007  A 1 :    2016   2015  A 1 :    2016  2016 A 2015 2016 Vậy A  2015 0,25 0,25 0,25   ( 11) 77 5.  : 7 3\ 116  b ) Tính B   77 7  1 B  2 4.112.7 5.115  11 7 11 7 11 B  11 B  11 Vậy B  11 1,5® c  b  a  b c a b c a b c a b c a  P            với a,b,c 0 a  c b a c a c b  b  a  b   c   a c b Khi a+b+c =0  b  c  a  P   a c b c  a  b  0,25 2 (1,5®iểm ) Điểm 2® 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Khi a+b+c 0 , áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a  b c c  a b a  c b a  b c c  a b a  c b     2b 2a 2c 2(c  a  b) a c c b a b a c c b a b   1    2 2b 2a 2c b a c  P 8 Với a,b,c 0 P =-1 a+b+c =0; P = a+b+c 0  Câu a) Nội dung a) Tìm x biết : x     3x  0,25 0,25 0,25 Điểm (2 điểm)  x   x  1 0,5  x   3 x   0,25 0,25  x  4 4   x  3    x    10  x     x 2  10  Vậy x  ;   3  x  0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,5điểm) Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm x,y (đơn vị độ dài ) (x,y N * ; x  y ) Ta có diện tích chu vi hình chữ nhật : x.y 2(x+y) Theo ta có : x.y= 2(x+y) với x,y  N * ; x  y  xy  x  y 0  x( y  2)  2( y  2) 4  ( y  2)( x  2) 4 Với x,y  N * ta có ( y  2); ( x  2)  Z  y  2; x   Ư  1;2;4 (4)= Ta có trường hợp sau :  x  4  x 6    y  1  y 3 x-2 ; y-2 > -2 x  y  x  2  x 4   y  2  y 4  c) (1,5điểm) Chứng minh:  x  y    x  y  chia hết cho 2   y  z  chia hết cho z  x   z  x  chia hết cho 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  x  y    y  z   2015 x  z   x  y   x  y   y  z   y  z  z  Chia hết cho 0,25 0,25 Có hai hình chữ nhật thỏa mãn tốn : Hình chữ nhật có kích thước 3;  y  z 0,25 x   z  x   2014 z  x 0,5 Mà 2017 không chia hết không tồn số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề Bài 3(3 điểm ) Câu Nội dung a) x  x (1) Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)= (1,5điểm) x với x 0 1 x với x  y= Từ hàm số (1) ,ta có : 0,25 Điểm y= Cho x=  y 5 , ta có điểm A(2 ;5) thuộc đồ thị hàm số(1) Cho x= -2  y 1 , ta có điểm B(-2 ;1) thuộc đồ thị hàm số (1) Đồ thị hàm số (1) hai tia OAvà OB 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b) (1,5điểm) Từ hàm số (1) ,ta có : x với x 0 1 x với x  y= y= Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ x= -4 0 5 nên tung đô điểm F y= 2  F (1;2) Điểm M thuộc trục tung nên hoành độ điểm M x = 0,25 0,25 0,25 Ta có E,F thuộc đường thẳng y=2 Để EM+FM nhỏ M nằm E F nên M thuộc đường thẳng y=2, nên tung độ M y=2 Vậy điểm M (0;2) Câu (4,5điểm) Nội dung 0,25 0,25 0,25 Điểm a)Chứng minh DC= BE Ta có  DAC =  DAB+  BAC =90 +  BAC tương tự  BAE = 900+  BAC   DAC =  BAE Xét  DAC  BAE có AD =AB (  ABD vng cân A) AC=AE (  AC E vuông cân A)  DAC =  BAE (cmt)   DAC =  BAE(c-g-c)  DC =BE ( định nghĩa tam giác nhau) Chứng minh DC  BE Gọi K , N giao điểm DC với BE AB  AND  KNB có  AND=  KNB( đối đỉnh );  ADN=  KBN (  DAC =  BAE) 1,5®   DAN=  BKN định lí tổng góc tam giác ) Mà  DAN=900((  ABD vuông cân A)   BKN=900 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5®  DC  BE K b) Chứng minh A,H,M thẳng hàng Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI=MA Chứng minh  AMB=  IMC(cgc)  CI=AB CI //AB 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5® 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh  ACI=  DAE( bù  BAC) Chứng minh  ACI=  EAD (c-g-c)   CAI=  AED mà  AED +  EAH =900(  AHE vuông H)   CAI+  EAH=900   MAH=1800  M,A,H thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì điểm I nằm tam giác cách cạnh tam giác ABC nên I giao điểm dường phân giác tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên AB2+AC2=BC2( định lý Pitago) Tính BC=5cm Chứng minh  CEI=  CMI (cạnh huyền- góc nhọn )  CE =CM Tương tự AE =AD; BD =BM 0,25 (1,5điểm) Chứng minh BM   BM  BC  BA  AC 0,25 0,5 0,25 53 2 cm  Bài 5(1điểm ) Nội dung Câu 0,25 S Có (n-1) số hạng: 15 n2     1     S                      16 n        n  1   S n          n  n  2 1 1 1 1 Mặt khác 2     n  1.2  2.3  3.4   (n  1)n 1  n 1 S  n    n    n  n n Từ (1) (2) ta có n   S  n  Vậy S khơng có giá trị ngun với số tự nhiên n 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25