PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (ĐỀ CHÍNH THỨC) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN Câu 1: (6,0 điểm) Thực phép tính a) A= 15 + 14 25 - 12 + + 11 25 b) B = 212.35  46.92 510.73  255.492  (22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143 Tìm x, y, z biết a) 2    19  x2  :     1 3 10 5    10 b) x y  , y z  x  y  z 6 Câu 2: (3,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – = x2 + 2y b) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n 2  2n2  3n  2n chia hết cho 10 Câu 3: (3,0 điểm) Cho ®a thøc A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100 a) Chøng minh r»ng x= -1 lµ nghiƯm cđa A(x) b) Tính giá trị đa thức A(x) x = Câu 4: (6,0 điểm) Cho ABC ( AB > AC), M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng  góc với tia phân giác góc BAC cắt cạnh AB, AC E F (giao điểm đường thẳng với tia phân giác goch BAC H) Chứng minh rằng: a) EH = HF   b) 2BME  ACB  B FE c)  AH  AE d) BE = CF Câu 5: (2,0 điểm) Giải máy tính cầm tay a) Tính giá trị đa thức P(x) = + x + x + x + + x10 x = 2,13 (kết ghi dạng số thập phân lấy hình) b)Tìm chữ số cuối của: A= 22010 + 22011 + 22012 + 22013 + 22014 + 22015+ 22016 -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015- 2016 PHÒNG GD&ĐT MƠN: TỐN Câu Câu (6đ) ý A= 1a 1,0 đ 15 + 14 25  25 =   25 =0+ = - 12 + =    1 + + Tóm tắt lời giải Điểm 11 25 0,5 0,5 10 212.35  212.34 510.7  A  12 12  9 3   1b 1,5đ  212.34   1 510.73     212.35   1 59.73   23  10 212.34.2     212.35.4 59.73.9  10     0,5 0,5 0,5 Ta có 2    19  x 2  :     1 3 10 5    10  30   19 10     x 2  :    1   10 10   10 10 10  2.a 1,5 đ       21   x2 :   10   10 21  x2   10 10 10 21 x2   2 10 10 x   2; x  4; Vậy x = 0; -4 2.b 2,0 đ x y x y Từ giả thiết:   12 (1) y z y z    (2) 12 20 x y z Từ (1) (2) suy ra: 12  20 (*) x y z 2x 3y z 2x  3y  z Ta có: 12  20  18  36  20 18  36  20  3 x Do đó: 3  x 27 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 y 3  y 36 12 z 3  z 60 20 KL: a (1,0đ ) Câu (3,0đ) b (2,0đ ) 1.a (1,0đ ) Câu (3đ) 1.b (2,0đ ) 0,5 x 27 , y 36 , z 60 Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 +  y(3x – 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên nên suy x2 + chia hết cho 3x –  9.(x2 + 5) chia hết cho 3x –  9.x2 + 45 chia hết cho 3x –  9.x2 - 6x + 6x – + 49 chia hết cho 3x –  3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x –  49 chia hết cho 3x –  3x –    49;  7;  1; 1; 7; 49  3x    47;  5; 1; 3; 9; 51  x   1; 3; 17 Thay x vào (1) ta y   6; 2; 6 Vậy cặp số (x, y) (1;6), (3;2), (17;6) 3n 2  2n 2  3n  2n = 3n 2  3n  2n 2  2n = 3n (32  1)  2n (22  1) = 3n 10  2n 5 3n 10  2n 10 = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n 2  2n2  3n  2n  10 với n số nguyên dương A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 = - + + (-1) +1 +(-1) + (-1) + = ( v× cã 50 sè -1 vµ 50 sè 1) Suy x = -1 nghiệm đa thức A(x) 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 1 1 1  A 2 (     98  99  100 ) =      98  99 2 2 2 2 2 1 1 1 1  A =(     98  99  100 ) +1 - 100  A  A   100 2 2 2 2 0,5 0,5 0,5 0,5 2100 Vẽ hình viết gt+ Kl Câu (6đ) 0,25 0,5 1 1 1 + Víi x= giá trị đa thức A =    98  99  100 2 2 2  A 1  0,25 A E (0,5đ) B M C H cho 0,5 0,5 D F a (1,0) C/m đợc AEH AFH (g-c-g) Suy EH = HF (®pcm) 1,0 b (1,5đ)  F  Tõ AEH AFH Suy E   XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy CMF  ACB  F  lµ gãc ngoµi suy BME    B  BME cã E E 1    )  (E   B  ) vËy CMF  BME ( ACB  F   (®pcm) hay 2BME ACB B áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : c FE 2 + HA2 = AF2 ta cã HF hay  AH  AE (®pcm) (1,5đ)  F  C/m AHE AHF ( g  c  g ) Suy AE = AF vµ E Tõ C vÏ CD // AB ( D EF ) C/m đợc BME CMD ( g  c  g )  BE CD (1) d  CDF  vµ cã E (cặp góc đồng vị) (1,5) do ®ã CDF F  CDF c©n  CF = CD ( 2) Tõ (1) vµ (2) suy BE = CF Cách 1: Ta có thức P(x) = + x + x + x + + x a (1,0đ) 1,5 10 1,5 0,25 0,5 0,25 0, x11 - = x-1 2,1311 -  3622,355813 Thay x = 2,13 ta kết P(2,13) = 2,13 - 10 Cách 2: Nhập vào máy:   2,13  X  ta kết P(2,13)  x=0 Câu (2đ) 3622,355813 HD: A = 22000(210 + 211 + 212 + 213 + 214 + 215+ 216) = (220)100 x 130048 mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576 b Ta nhận thấy số có 76 lũy thừa ln ln có (1,0đ) đuôi 76 (dùng máy để kiểm tra) Do đó: A = 130048 x (…76) = … 48 Vậy số cuối A có giá trị 48 Ghi chú: - Bài hình học học sinh khơng vẽ hình hình sai khơng chấm - Mọi cách giải khác, cho điểm tối đa tương ứng -Hết 0,5 0,5