PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THẮNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 MƠN THI: TỐN Ngày thi: /03/2018 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm)   2   3   :   : a) Tính giá trị biểu thức A   5  5 b) Tính giá trị biểu thức B = 2x2 – 3x + với x  x y y z c) Tìm số x, y, z biết rằng:  ;  x + y + z = - 110 Câu 2: (4,5 điểm) a) Tìm tập hợp số nguyên x, biết rằng: 5 31   1  :   x   : 3,2  4,5.1  :   21  18 45   2  b) Tìm x, biết: x 1 1  x  x  x   x  11x 12 20 110 c) Tính giá trị biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 x, y thỏa mãn: x  + (y + 2)20 = Câu 3: (3,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: 2: b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho : 2a + 37 = b  45 + b - 45 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh rằng: ADC = ABE  b) Chứng minh rằng: góc DIB = 600 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác góc DIE Câu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác : a1, a2, a3, … , a20 có tính chất sau: * a1 số dương * Tổng ba số viết liền số dương * Tổng 20 số số âm Chứng minh : a1.a14 + a14a12 < a1.a12 Hết Giám thị xem thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 MƠN : TỐN Nội dung   2   3 A    :   :  5  5    3    : = a 7 5  (1,5)        2          : 0 : 0   5  3  Điểm 0,75 đ 0,5đ 0,25đ Vậy : A = Vì x  CÂU (4,5đ) Với 1 nên x = x = 2 x= b (1,5) Với x = - 0,75 đ 1 thì: A = 2.( )2 – +1=0 2 0,25đ 1 thì: A = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 0,25đ 1 A=3 với x = 2 x y x y y z y z x y z  ;    Suy   Từ   14 14 35 14 35 0,25đ Vậy : A=0 với x = c (1,5) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x yz  110 = -2     14 35  14  35 55 Suy x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70 Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70 CÂU (4,5đ) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 41 18    2   18 41 0,5đ 31     16 76   43   38   43    :3,2  4,5.1   :   21     :         45     16 45      43 43  2 Do đó: - < x < mà x  Z nên x {-4; -3; -2; -1} a) Nhận xét: Vế trái đẳng thức nên vế phải b (2,0) suy 11x  hay x  víi x  ta cã: 0,5đ 2) Ta có: : a (1,5) Lạicó: 0,5đ 0,75đ 0,75đ 1 1  x  x  x   x  11x 12 20 110 1 1  x x x x   x  11x 12 20 110 = 10 (TM) suy x = 111 11 10 Vậy:x = 11 0,25đ 1) Do x  ≥ 0; (y + 2)20 ≥  x  + (y + 2)20 ≥ với x, y 0,25 đ Kết hợp x  + (y + 2)20 = suy x  = (y + 2)20 =  x = 1; y = - Giá trị biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 x = 1; y = - là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = + 40 + 2015 = 2057 Vậy C=2057 Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c 9 Ta có  a + b + c  27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội 9, a + b + c = a + b + c = 18 a + b + c = 27 0,25đ x c (1,0) a (1,5) CÂU (3,5đ) Theo đề ta có: a b c a b c    ; Như a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18 Từ suy a = 3, b = 6, c = Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, hai số cần tìm là: 396; 936 Nhận xét: Với x ≥ x + x = 2x Với x < x + x = Do x + x số chẵn với  xZ b (2,0) CÂU (6,0đ) a (1,0) Áp dụng nhận xét b  45 + b – 45 số chẵn với b  Z Suy 2a + 37 số chẵn  2a lẻ  a = Khi b  45 + b – 45 = 38 + Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38  = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19  b = 64 (TM) (a; b) = (0; 64) 0,25đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ E 0,75 đ 0,25 đ A D K I C B   Ta có: AD = AB; DAC AC = AE BAE Suy ADC = ABE (c.g.c) b (1,5)   Từ ADC = ABE (câu a)  ABE , ADC   mà BKI (đối đỉnh) AKD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ   Khi xét BIK DAK suy BIK = 600 (đpcm) DAK E A D N J c (1,5) K M I B C   Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN ACM AEN   ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN CAM EAN 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ   = 600 Do AMN MAN CAE d (2,0) CÂU (1,5đ) (1,5)  DBA  Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB  BIJ  BJ = BI JBI   = 600 suy IBA , kết hợp BA = BD JBD    IBA = JBD (c.g.c)  AIB = 1200 mà BID = 600 DJB  = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE  DIA Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < ; a1 > ; a2 + a3 + a4 > ; … ; a11 + a12 + a13 > ; a15 + a16 + a17 > ; a18 + a19 + a20 > => a14 < Cũng : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < => a13 + a14 < Mặt khác, a12 + a13 + a14 > => a12 > Từ điều kiện a1 > ; a12 > ; a14 < => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm) Chú ý: +)Nếu HS làm theo cách khác cho điểm tối đa +)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm +)Câu 2a);3a) Nếu thiếu giá trị trừ 0,1 điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ +)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm