PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP HUYỆN VĨNH LỘC NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 11/04/2017 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm)    1 a) Tính giá trị biểu thức A   3,5  :      7,5 7    b) Rút gọn biểu thức: B 2.84.272  4.69 27.67  27.40.94 2 c) Tìm đa thức M biết : M   x  xy  6 x  xy  y Tính giá trị M x, y thỏa mãn  x   2012   y  4 2014 0 Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x : 1  x  b) Tìm x, y, z biết: x 3 y; y 5 z x  y  z 11 c) Tìm x, biết :  x   n 1  x   n 11 (Với n số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm độ dài cạnh tam giác có chu vi 13cm Biết độ dài đường cao tương ứng 2cm, 3cm, 4cm b) Tìm x, y nguyên biết : xy – x – y 2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 60 ) Hai phân giác AD CE ABC cắt I, từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AI H, cắt AB P, cắt AC K  a) Tính AIC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK 6cm, AH 4cm c) Chứng minh  IDE cân Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh 10 số vô tỉ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN : TỐN Nội dung Câu a: (1 điểm) 1     7    25 22  15  + A =   3,5  :     +7,5 =    :   =   7 3 2   15 35  43  245 15  490 645 155 : + = + = + = 42 43 86 86 86 Câu b: ( điểm) B= 8 27  6 213 36  211 39 = 6  40 9 214 37  210 38 5   211 36  2  33 = 10 3   5   = Câu c: (2 điểm) Bài (4,0đ) M   x  xy  6 x  xy  y  M 6 x  xy  y   x  xy  => M 6 x  xy  y  x  xy  x  11xy  y Ta có  x   2012   y  4 2014 0  x   2012 0 2012 2014   x     y  4 0 Ta có :  2014 0  y   Mà  x   2012   y  4 2014 0 =>  x    x   x   2012 0    =>  Vậy  2014 0  y  1  y    Vậy M = (1,0đ)  5    2 1  x  2012   3y  4 2014 0  x     y  1      2 25 110 16  1159 11     -  + =  =  3   36  x 1    x = TH1: x+ 1 = => x = 30 TH2: x+ 1 1 11 ==> x = - ==5 6 30 Vậy x= - 11 ;x=30 30 x y x y  hay  15 10 Ta có : 2x = 3y suy 4y = 5z suy b (1,5đ) Vậy y z y z  hay  10 x y z   15 10 Theo tính chất dãy tỉ số x y z x yz 11   = = = 15 10 15  10  33 Suy x = 5, y = 10 ,z= 3 ( x +2)n+1 = ( x +2)n+11 ( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0 (x+2) c 1,5 điểm n+1    x   10    =0 TH 1: (x+2)n+1 = suy x = -2 TH2: - (x +2)10 = (x +2)10 = x + = suy x = -1 x + = -1 suy x = -3 Vậy x = -2; x=-1; x=-3 Gọi độ dài ba cạnh tam giác x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) Theo ta có : x +y + z = 13 2x= 3y =4z = SABC Bài (4.0đ) a Suy x y z   (2.0đ) Áp dụng tính chất dãy tỷ số x y z x  y  z 13   =  1 6   13 suy x = 6, y = ; z = KL: b (2,0đ) 2xy – x – y = 4xy - 2x -2y =4 2x(2y-1) - 2y + = (2y -1) ( 2x -1) =5 HS xét trường hợp tìm ( x,y) =   1;3 ;  3;1 ;   2;0  ;  0;    ( Mỗi trường hợp cho 0.25 đ) Vậy ( x,y) =   1;3 ;  3;1 ;   2;0  ;  0;    Bài A (6.0đ) F E I B K D H C M P a/ Ta có  ABC = 600 suy  BAC +  BCA = 1200 (2.0đ) AD phân giác  BAC suy  IAC =  BAC CE phân giác  ACB suy  ICA =  BCA Suy  IAC +  ICA = 1200 = 600 Vây  AIC = 1200 b/ Xét  AHP  AHK có  PAH =  KAH ( AH phân giác  BAC) AH chung (2đ)  PHA =  KHA = 900 Suy  AHP =  AHK (g-c-g) suy PH = KH ( cạnh tương ứng) Vậy HK= 3cm Vì  AHK vng H theo định lý Pitago ta có AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25 c Suy AK = cm Vì  AIC = 1200 (2.0đ) Do  AIE =  DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF = AE Xét  EAI  FAI có AE = AF  EAI =  FAI AI chung Vậy  EAI =  FAI (c-g-c) suy IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1)  AIE =  AIF = 600 suy  FIC =  AIC -  AIF = 600 Xét  DIC  FIC có  DIC =  FIC = 600 Cạnh IC chung  DIC =  FCI Suy  DIC =  FIC( g-c-g) Suy ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Bài (2,0đ) Từ (1) (2) suy  IDE cân I Giả sử 10 số hữu tỷ 10 = a ( a,b số tự nhiên , b khác ; (a;b) = ) b a2 = 10 b2 Suy a2 = 10b2 a   a2   10b2   b2   b  Vậy ( a;b)  Nên 10 số vô tỷ