PHÒNG GD VÀ ĐT PHÙ YÊN TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7- NĂM HỌC 2010- 2011 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= (a  b)( x  y )  (a  y )(b  x) a  ; b  2; x  ; y 1 Với abxy ( xy  ay  ab  by ) Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu  a1  a2    a9 thì: a1  a2   a9  a3  a6  a9 Bài 3: Có mảnh đất hình chữ nhật: A; B C Các diện tích A B tỉ lệ với 5, diện tích B C tỉ lệ với 8; A B có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27m B C có chiều rộng Chiều dài mảnh đất C 24m Hãy tính diện tích mảnh đất Bài 4: Cho biểu thức: 4x  3x  x  A= ; B= x x a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị ngun b) Tìm giá trị ngun x để hai biểu thức có giá trị nguyên Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối tia BC CB lấy theo thứ tự hai điểm D E cho BD = CE a) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia phân giác góc DAE c) Từ B C vẽ BH CK theo thứ tự vng góc với AD AE Chứng minh BH = CK d) Chứng minh đường thẳng AM; BH; CK gặp điểm ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM A= = = Điểm TP Cách giải Bài = = = (a  b)( x  y )  (a  y )(b  x) abxy ( xy  ay  ab  by ) a(  x  y )  b( x  y )  a(b  x )  y (b  x ) abxy ( xy  ay  ab  by )  ax  ay  bx  by  ab  ax  by  xy abxy ( xy  ay  ab  by )  ay  bx  ab  xy abxy ( xy  ay  ab  by )  ( xy  ay  ab  by ) abxy ( xy  ay  ab  by ) 1 abxy 1 1 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = ta được: A = ( 2) 3 1 3 2 Ta có: < a1 < a2 < … < a9 nên suy ra: a1 + a2 + a3 < 3a3 (1) a4 + a5 + a6 < 3a6 (2) a7 + a8 + a9 < 3a9 (3) Cộng vế với vế (1) (2) (3) ta được: a1 + a2 + … + a9 < 3(a3 + a6 + a9) Vì a1 + a2 + … + a9 > nên ta được: a1  a2   a9  a3  a6  a9 Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng mảnh đất A, B, C theo thứ tự SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC Theo ta có: SA S  ; B  ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m) SB SC Điểm toàn 0,5 0,5 0,5 2,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,5 Hai hình chữ nhật A B có chiều dài nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều rộng Ta có: S A rA r r r r 27    A  B  A B  3 S B rB 45  rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC Hai hình chữ nhật B C có chiều rộng nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều dài Ta có: SB d B dC 7.24    dB =  21 (m) = dA SC d C 8 0,25 Do đó: SA = dA.rA = 21 12 = 252 (m2) 0,5 SB = dB rB = 21 15 = 315 (m2) SC = dC rC = 24 15 = 360 (m2) 0,5 0,5 4,5 x  4( x  2)  1 4  = x x x   Với x Z x - Z Để A nguyên nguyên  x - ước x a) Ta có: A = Ta có: x - = x - = -1 Do đó: x = x = Vậy để A nguyên x = x = x( x  3)  2 3x  x  3x  = x x x   Với x Z x - Z Để B nguyên nguyên  x - ước x Ta có: x - =  x - = 1 +) B = Do x = ; x = ; x = ; x = Vậy để B nguyên x = x = x = x = b) Từ câu a) suy ra: Để A B ngun x = A ABC có AB = AC GT DB = CE (D tia đối CB; E tia đối BC) H K a) ADE cân M b) MB = MC, chứng minh AM D B C E KL tia phân giác góc DAE O c) BH AD = H; CKAE = K chứng minh: BH = CK d) AMBHCK điểm Chứng minh:  C   C  a)  ABC cân có AB = AC nên:   D   CE Suy ra:  Xét  ABD  ACE có: AB = AC (gt)  D   CE (CM trên)  DB = CE (gt) Do  ABD =  ACE (c - g - c)  AD = AE (2 cạnh tương ứng) Vậy  ADE cân A b) Xét AMD AME có: MD = ME (Do DB = CE MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trên) Do AMD = AME (c - c - c)    MAD MAE  Vậy AM tia phân giác DAE c) Vì  ADE cân A (CM câu a)) Nên ADE AED Xét BHD CKE có:   (Do ADE AED ) BDH CEK 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 DB = CE (gt)  BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn) Do đó: BH = CK d) Gọi giao điểm BH CK O Xét AHO AKO có: OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì BHD = CKE ))  AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vng)    Do OAH nên AO tia phân giác KAH hay AO OAK  tia phân giác DAE  Mặt khác theo câu b) AM tia phân giác DAE Do AO  AM, suy đường thẳng AM; BH; CK cắt O 0,5 0,25 0,25 0,75