Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân §¹o Phát huy trí lực học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện lực tư tốn học Phát huy trí lực học sinh điều vô quan trọng, sở vững để em học tập tốn học tốt Trong chương trình tốn học phổ thơng phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề dặc biệt quan tâm Vì sử dụng nhiều giải toán đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình xuyên suốt trình học tập sau học sinh Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc tìm phương pháp thích hợp cho lời giải tốn ngắn gọn, xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác toán tất phụ thuộc vào việc tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh Khi lựa chọn phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư tốn học, óc tìm tịi sáng tạo, kỹ vận dụng kiến thức học giải toán cụ thể Khơng phân tích đa thức thành nhân tử học sinh ôn lại hay sử dụng kiến thức liên quan : Hằng đẳng thức, kỹ thêm bớt tách hạng tử, tính nhẩm nghiệm đa thức Nói chung, thủ thuật tốn học để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư nhiều nắm kiến thức vận dụng linh hoạt, sáng to cỏc kin thc ú Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo giỳp em học sinh tiếp cận khai thác lời giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trình giải, nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp em học tốt mơn tốn đồng thời phát huy trí tuệ học sinh Qua q trình giảng dạy mơn Tốn tơi mạnh dạn đưa sáng kiến giải pháp thực việc “ Phát huy trí lực học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp em nắm vững số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, số tập nâng cao, số tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy cơng cụ đắc lực giải số loại toán Và qua nhằm phát huy trí lực học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học II/ MỤC TIÊU CỦA SÁNG KIẾN 1/ Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ giải toán loại nhằm phát tiển lực tư duy, lực sáng tạo học sinh 2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo người nghiên cứu khoa học c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức phân tích đa thức học sinh thấy tác dụng nhiều kiến thức giải số dạng tập, đồng thời qua phát triển trí tuệ học sinh, kĩ vận dụng kiến thức học kiến thức tiếp theo, tư logic toán học, tính sáng tạo III PHẠM VI, GIỚI HẠN Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân §¹o Một số phương pháp, số tốn phân tích đa thức thành nhân tử Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử mơn tốn lớp IV TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Đaị số - Sách giáo viên Đại số - Sách tập đại số - Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp - Các dạng toán đại s Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo Phng Phng phỏp dựng phỏp dựng đẳng đẳng thức thức Phương Phương pháp đặt pháp đặt nhân tử nhân tử chung chung CÁC PHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHÁP PHÂN TÍCH ĐA TÍCH ĐA THỨC THÀNH THỨC THÀNH NHÂN TỬ NHÂN TỬ Các phương Các phương pháp đặc pháp đặc biệt hoá biệt hoá Phối hợp Phối hợp nhiều nhiều phương phương pháp pháp Phương Phương pháp nhóm pháp nhóm nhiều hạng nhiều hạng t t Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo CHNG II:II: CHNG CC PHNG CC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT PHÁP ĐẶC BIỆT PHẦN II: PHẦN II: NỘI DUNG NỘI DUNG CỤ THỂ CỤ THỂ CHƯƠNG III: CHƯƠNG III: PHÁT HUY TRÁ PHÁT HUY TRÁ LỰC HỌC SINH LỰC HỌC SINH QUA VIỆC PHÁN QUA VIỆC PHÁN TÁCH ĐA THỨC TÁCH ĐA THỨC THÁNH NHÁN TỬ THÁNH NHÁN TỬ CHƯƠNG I: I: CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÁP CƠ BẢN PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chương I: Các phương pháp I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Khi phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thường làm sau: - Tìm nhân tử chung Gi¸o viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung, nhân tử khác - Viết nhân tư chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử dấu ngoặc với dấu chúng Khi phân tích phương pháp ta dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức: A.B + A.C =A.(B +C) II PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức : Bình phương tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2 Bình phương hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2 Hiệu hai bình phương: A2- B2 =( A + B ).( A - B ) Lập phương tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3 Lập phương hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3 Tổng hai lập phương : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 ) Hiệu hai lập phương : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13 Giải 8x3y6 - =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - ).(4x2y4 + 2xy2 + 1) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Gi¸o viên : Nguyễn Thị Hải Lý Gii Trờng THCS Tuân §¹o 25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 y + y2 = ( 5x2 + y)2 III PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ Khi sử dụng phương pháp ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử kết hợp hạng tử thích hợp nhằm làm xuất dạng dẳng thức xuất nhân tử chung nhóm dùng phương phap biết để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y Giải 4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3) Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2 Giải x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z) IV PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP Thường tiến hành theo trình tự sau : + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức cịn lại đơn giản dễ nhận xét + Nhóm hng t + Dựng hng ng thc Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo Vớ dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz Giải x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy Giải 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1) = 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)] = 3xy[(x-1)2-( y+a)2] = 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a) Chương II : Các phương pháp đặc biệt I PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Trong số trường hợp phương pháp học giải mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng phương pháp biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + Giải Cách : x2- 6x + = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4) Cách : x2- 6x + = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4) Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo Cỏch : x2- 6x + = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4) Cách : x2- 6x + = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4) Có nhiều cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong có cách thông dụng : Cách : Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 Giải 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) Hoặc: =9x2-6x+1 – =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử ta dựa vào đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) Như tam thức bậc hai :a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau : - Tìm tích a.c - Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số mà tổng b Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = -8 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý + Tớch a.c =9.(-8) =-72 Trờng THCS Tuân §¹o + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng 6, -6 12 Từ ta phân tích 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) Ví dụ : Khi phân tích đa thức x –x -6 thành nhân tử Ta có : a = ; b = -1 ; c = -6 + Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn b=-1 < (để tổng hai thừa số -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chọn hai thừa số có tổng -1, : -3 Từ ta phân tích x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b số lẻ, khơng bình phương số nguyên nên giải theo cách gọn so với cách hai II PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ 10 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân §¹o Khi đa thức cho mà hạng tử đa thức khơng chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức khơng thể nhóm số hạng ta phải biến đổi hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết Ví dụ : Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Ta thấy x4 =(x2)2 ; = 22 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 4x2 x4 + = (x4 + + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) Ví dụ : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 16a2b2 64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) III PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ( ĐẶT ẨN PHỤ) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy đặt x2 + x = y có đa thức đơn giản y2 + 4y -12 tam thức bậc hai biến y Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2) =(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ] 11 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo =(x2 + x+6)(x+2)(x-1) *Chỳ ý : x2 + x+6 khơng phân tích phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = = 1.6 =2.3 khơng có hai thừa số có tổng - cách phần I) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- thành nhân tử Giải Đặt (x2+ 3x + 1) = y Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- =y(y + ) - = y2 + y - = y2 + 3y - 2y - = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + +3)( x2+ 3x + -2) = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1) IV PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC ( PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC ĐA THỨC ) Tổng quát : cho đa thức f(x); a nghiệm f(x) f(a) = f(x) chứa nhân tử x - a a phải nghiệm đa thức - Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm ngun có phải ước hạng tử khơng đổi - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức chứa nhân tử x-1 Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức chứa nhân tử x + Ví dụ : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân Nếu đa thức có nghiệm a nhân tử cịn lại có dạng x2 + bx +c 12 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo Suy ra: a.c = -4, tc l a phải ước -4 ( ± 1; ± 2; ± 4) Kiểm tra thấy nghiện đa thức Như đa thức chứa nhân tử x – Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1) =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 Ở ví dụ ta nhận thấy tổng hệ số đa thức 1+3-4 = nên đa thức chứa nhân tử x-1 Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x-3 thành nhân tử Các ước -3 : ± ; ± mà ± 1; ± không nghiệm đa thức Như đa thức khơng có nghiệm nguyên Nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ p *Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q với p ước hạng tử không đổi, q ước dương hạng tử cao Như đa thức nghiệm hữu tỉ có : -1 ; - Kiểm tra thấy x= ;-3;2 nghiệm đa thức nên đa thức chứa nhân tử x- hay 2x-1 13 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo Do ú ta tỡm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung 2x-1 Ta có: 2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3) V PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử Giải : Nếu đa thức tiện phân tích thành nhân tử phải có dạng (ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Đồng đa thức với đa thức cho 2x3-5x2+8x-3 , ta được: 2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Suy : a.c = ; ad+bc =-5 ; am+bd = ; b.m = -3 Có thể giả thiết a>0 (vì a b ± ± Xét b=-1 m=3 => d=-2 thoả mãn điều kiện => a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3 2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3) Vậy VI PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử Giải 14 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo S dng phng phỏp xột giỏ tr riờng ta có Nếu ta thay a b P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0, nên p chia hết cho a-b vai trò a,b,c đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc tập hợp biến đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) có bậc tập hợp biến số nên thương số k ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a) Trong đẳng thức cho ta biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2) = -2k => k=-1 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a) Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử Giải Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a -b Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 Vậy Q chia hết cho (a+b) vai trò a,b,c đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc tập hợp biến đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) có bậc tập hợp biến số nên thương số k (a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a) Cho biến nhận giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có : (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0) 15 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân §¹o 18 = k => k=3 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) *Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số vai trò biến đa thức ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng Chương III Phát huy trí lực học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử I BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ CHIA HẾT Ví dụ : Chứng minh : x3 - x chia hết cho3 với số nguyên x Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1) Vì x nguyên nên x+1,x-1 số nguyên Do đó: P = (x+1) x (x-1) tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Vậy P 3 ∀ x ∈ Z Ví dụ : Chứng minh : x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với số nguyên x Giải : Ta có M = x5 -5x3 + 4x = x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4) =x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) M Là tích số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5 16 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo Vỡ M v M 4 nên M 8 ( BCNN 2và 4) Vậy M 8.3.5 =120 ( 3;8;5nguyên tố đơi ) Ví dụ : Chứng minh đa thức x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1 Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1) Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P  (x-1) Để giải tốn tơi phân tích đa thức bị chia thành nhân tử (sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử) để biến đa thức chia thành tích sau tiếp tục sử dụng kiến thức tính chia hết suy điều phải chứng minh Khi chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác ta có nhiều cách chứng minh ví dụ ta chứng minh cách thực phép chia, số dư dùng lược đồ Hoocme tìm số dư ( dư ) Hoặc chứng minh nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Nhưng cách làm dài, đơn điệu phức tạp so với cách làm (áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử) biến đổi đa thức thành tích biểu thức cho chia hết cho nhân tử cho tích làm cho phép giải tốn nhanh lời giải thơng minh II BÀI TỐN CHỨNG MINH BIỂU THỨC LN DƯƠNG, LN ÂM, HOẶC KHƠNG ÂM Bài tốn kích thích tư học sinh phải tìm đường lối giải giải phải nắm kiến thức: - Biểu thức dương (lớn 0) tử thức mẫu thức dấu - Biểu thức không âm (lớn 0) biểu thức cho luỹ thừa bc chn ca biu thc khỏc 17 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo - Bờn cạnh cần ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét luôn dương âm biểu thức dựa vào dấu nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu dấu nguyên Ví dụ : Cho biểu thức P = 4x - 12x + Chứng minh P khơng âm với x Giải : Ta có P = 4x -12x + = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 ≥ Vậy P ≥ với ∀ x Hay biểu thức P không âm với ∀ x Ví dụ : Chứng minh biểu thức M = x4 − x3 − x + x + x + 3x + x + không âm với x Giải x4 − x3 − x + x ( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1)( x − 1) Ta có : M = = = x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) = = ( x + 2)( x + x + 1) ( x + 2) Vì x2 +x +1 = x2 +x + 3 + =(x+ )2 + >0 ∀ x 4 Mặt khác (x-1)2 ≥ ∀ x x2 +2 > ∀ x Vậy M ≥ ∀ x Hay M không âm ∀ x Với toán em phải phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn biểu thức Qua kỹ phân tích em rèn luyện phát triển với kỹ giải tốn khác III BÀI TỐN RÚT GỌN VÀ VÀ TÍNH SỐ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 18 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân §¹o Đây tốn áp dụng gần gũi việc phân tích đa thức thành nhân tử Đường lối giải vận dụng tính chất phân thức đại số để thu thành nhân tử sau rút gọn thành nhân tử chung rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh sử dụng số tính chất tốn học khác để giải Sự kết hợp có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp em thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức tốn học phát triển trí tuệ thơng minh tư logickhoa học em Ví dụ : Cho P = 5x + x + 8x + a/ Rút gọn P Giải P = 5( x − 1) 5( x − 1) 5x + 5 = ( x + x) + (7 x + 7) = x( x + 1) + 7( x + 1) = x+7 x + 8x + ( với x ≠ -1; x ≠ -7) b/ Tính giá trị P với x=2001 Giải IV P= 5 = = x + 2001 + 2008 BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Loại tốn đường lối giải ta phải bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp vế đến kết biểu thức đơn giản vế có ta phải biến đổi rút gọn hai vế để đến kết giống Thực chất toán tốn rút gọn biểu thức Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau : Giải Biến đổi VT ta có : VT = 5x + 5 = x + 8x + x + 5( x + 1) 5x + 5 = ( x + 1)( x + 7) = =VP x+7 x + 8x + 19 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Vậy đẳng thức chứng minh Ví dụ 2: Chng minh ng thc sau Trờng THCS Tuân Đạo x3 + −2−x = x − (1 − x)( x − x + 4) Biến đổi VP ta có : VP = x3 + ( x + 2)( x − x + 4) x + = = (1 − x)( x − x + 4) (1 − x)( x − x + 4) − x Biến đổi VT ta có : VT = Giải − − x − ( x + 2) x + = = x −1 x −1 1− x VT =VP Vậy đẳng thức chứng minh Với học sinh em thích thú với dạng tập em cho dạng toán cho sẵn kết V BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Để giải toán đường lối chung tách phần nguyên để xét phần phân thức dạng đơn giản (Phần lớn toán sau rút gọn kết phân thức đơn giản hơn) Tiếp thea ta dùng giá trị tử biến số để phân thức có giá trị nguyên Muốn đạt giá trị nguyên tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải ước tử thức Từ ta tìm giá trị biến Ví dụ : Cho P = 5x + x + 8x + Tìm giá trị xđể biểu thức có giá trị nguyên Giải: Theo VD1 IV -3 ta có: P= 5x + 5 = x + 8x + x + P đạt giá trị nguyên ⇔ x+7 ước ( ± 1; ± 5) 20 Gi¸o viên : Nguyễn Thị Hải Lý Do ú x+7 =-1 x=-8 Trờng THCS Tuân Đạo x+7 = x=-6 x+7 =-5 ⇒ x=-12 x+7 = ⇒ x=-2 Vậy biến số nhận giá trị { -12;-8;-6;-2} P đạt giá trị nguyên PHẦN III KẾT LUẬN Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung chủ yếu chương trình tốn 8, muốn phát huy trí lực học sinh ta cần sử dụng nhiều phương pháp khác Trong trình giảng dạy, vận dụng phương pháp để phát huy trí tuệ học sinh thơng qua việc phân tích đa thức thành nhân tử, tơi thấy kết học sinh có tiến rõ rệt, nhiều em say mê học toán Trên vài sáng kiến mà áp dụng năm học này, mong đóng góp đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Tuân Đạo, ngày 12 tháng 05 năm 2009 Người thực Nguyễn Thị Hải Lý 21 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo 22 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo 23 Giáo viên : Nguyễn Thị Hải Lý Trờng THCS Tuân Đạo 24 ... duy, lực sáng tạo học sinh 2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử b/ Bài tập phân tích đa thức. .. gần gũi việc phân tích đa thức thành nhân tử Đường lối giải vận dụng tính chất phân thức đại số để thu thành nhân tử sau rút gọn thành nhân tử chung rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử bên... tốn đồng thời phát huy trí tuệ học sinh Qua q trình giảng dạy mơn Tốn tơi mạnh dạn đưa sáng kiến giải pháp thực việc “ Phát huy trí lực học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp