Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit có đáp án hay
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 1 Email: caotua5lg3@gmail.com Phần A. Kiến thức cơ bản I. Định nghĩa luỹ thừa và căn . Với n nguyên d-ơng, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho b n = a. . Với n nguyên d-ơng lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là n a . Với n nguyên d-ơng chẵn và a là số thực d-ơng, có đúng hai căn bậc n của a là hai số đối nhau; căn có giá trị d-ơng kí hiệu là n a , căn có giá trị âm kí hiệu là - n a . . Số âm không có căn bậc chẵn. Số mũ Cơ số a Luỹ thừa a * Nn a R nthuaso n aaaaa 0 0a a = a 0 =1 *)( Nnn 0a n n a aa 1 ),( * NnZm n m a > 0 n m n m aaa ),(lim * NnQrr nn a > 0 n r aa lim II. Tính chất của luỹ thừa .Giả thiết rằng mỗi biểu thức đ-ợc xét đều có nghĩa. a m .a n = a m+n ; nm n m a a a ; (a m ) n = a mn (a.b) n = a n .b n ; n n n b a b a III. Tính chất của lôgarit Giả thiết mỗi biểu thức đ-ợc xét đều có nghĩa. . log a 1 = 0; log a a = 1; ba b a log ; log a a b = b. . log a (bc) = log a b + log a c; cb c b aaa logloglog ; log a b n = nlog a b. . b c c a a b log log log hay log a b.log b c=log a c. IV. Hàm số mũ y=a x (a>0,a1) a>1 0<a<1 Chuyªn §Ò PT - HPT - BPT - HBPT mò vµ L«garÝt Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú 2 Email: caotua5lg3@gmail.com V. Hµm sè logarit y = log a x (a > 0 vµ a ≠ 1) a>1 0<a<1 . y ’ >0 víi mäi x R . Hµm sè ®ång biÕn trªn R . x x alim ; 0lim x x a . B¶ng biÕn thiªn . §å thÞ . y ’ >0 víi mäi x R . Hµm sè nghÞch biÕn trªn R . 0lim x x a ; x x alim . B¶ng biÕn thiªn y=a x + x - x 0 - 1 y 1 y x 0 + y=a x + x 0 0 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 3 Email: caotua5lg3@gmail.com . y >0 với mọi ;0x . Hs đồng biến trên ;0 . x x a x a x loglim loglim 0 . Bảng biến thiên . Đồ thị . y <0 với mọi ;0x . Hs nghịch biến trên ;0 . x x a x a x loglim loglim 0 . Bảng biến thiên . Đồ thị Phần B. Ph-ơng trình mũ và lôgarit I. Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình mũ và pt logarit . Ph-ơng trình mũ cơ bản a x = m (0 < a 1) . Nếu 0m thì ph-ơng trình a x = m vô nghiệm . Nếu m > 0 thì ph-ơng trình a x = m có một nghiệm duy nhất Nếu m mx a log 1. Ph-ơng pháp đ-a về cùng cơ số Ta có tính chất: aa ; Các tính chất đó cho phép ta giải một số dạng ph-ơng trình mũ bằng cách đ-a các luỹ thừa trong ph-ơng trình về luỹ thừa với cùng một cơ số. Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình (0,75) 2x-3 = x 5 3 1 1 (1) Lời giải. Ph-ơng trình (1) xx 532 3 4 4 3 532 4 3 4 3 xx 2x-3=x-5 x =-2. Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = -2 Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3 x+1 + 3 x+2 + 3 x+3 = 9.5 x + 5 x+1 + 5 x+2 (2). Lời giải: x 0 + y=log a x - + x 0 + y=log a x + - x y 0 1 x y 0 1 Formatted: Indent: Left: 0,25" Formatted: Indent: Left: 0,01" Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 14 pt Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 4 Email: caotua5lg3@gmail.com Ph-ơng trình (2) 3 x .39 = 5 x .39 1 5 3 x x = 0. Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 0. Bài tập t-ơng tự: 1) 2 x .3 x-1 .5 x-2 =12; 2) 5 x +5 x+1 +5 x+3 =3 x +3 x+3 -3 x+1 . 2. Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Mục đích của ph-ơng pháp đặt ẩn phụ là chuyển các bài toán đã cho về PT hữu tỉ đã biết cách giải. Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 16738738 tantan xx (1) Lời giải. Điều kiện cosx 0. Nhận xét 1738738 . Đặt t = )0(738 tan t x thì ph-ơng trình (1) có dạng 16 1 t t 0116 2 tt t = 738 và t = 738 . . Với t = 738 thì 738738 tan x tanx =1 kx 4 (t/mđk). . Với t = 738 thì kxx x 4 1tan738738 tan (t/mđk). Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm kx 4 và kx 4 ( Zk ) Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3.49 x + 2.14 x - 4 x = 0 (4) Lời giải: Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 4 x > 0, ta đ-ợc (4) .01 2 7 .2 2 7 .3 2 xx (*) Đặt )0( 2 7 tt x , ph-ơng trình (*) có dạng 3.t 2 + 2.t 1 = 0 t = -1(loại) và t = 1/3. Với t = 1/3 thì 3log 3 1 2 7 2 7 x x . Vậy ph-ơng trình có nghiệm 3log 2 7 x Ví dụ 3: Tìm nghiệm x < 1 của ph-ơng trình 3 2x-2 + 3 x-1 (3x - 7) x + 2 = 0 Lời giải. Đặt t = 3 x-1 (t > 0), ph-ơng trình có dạng 3t 2 + (3x - 7).t + 2 x = 0. Coi ph-ơng trình trên là ph-ơng trình ẩn t và tham số x. Khi đó biệt số 2 )53( x . Ph-ơng trình có hai nghiệm t = 1/3 và t = -x + 2 Với t = 1/3 thì 3 x-1 = 1/3 11 x x = 0 Với t = -x + 2 thì 3 x-1 = 2 - x. Ta thấy x < 1 thì 3 x-1 < 1, còn 2 x > 1 suy ra ph-ơng trình vô nghiệm. Vậy ph-ơng trình có một nghiệm x = 0. Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Numbered + Level: 1 + Numbering Style: 1, 2, 3, + Start at: 2 + Alignment: Left + Aligned at: 0,01" + Tab after: 0,26" + Indent at: 0,26" Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 4 pt Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 5 Email: caotua5lg3@gmail.com Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình 12.222 56165 22 xxxx Lời giải. Đặt u = 65 2 2 xx , v = 2 1 2 x (u > 0, v > 0). Khi đó u.v = 2 7-5x = 2.2 6-5x Ph-ơng trình trở thành u + v = u.v + 1 (u - 1)(v - 1) = 0 u =1 hoặc v = 1. . Với u =1 thì 65 2 2 xx =1 x 2 - 5x + 6 = 0 x = 2 hoặc x = 3 . Với v =1 thì 2 1 2 x =1 1 x 2 = 0 x = 1 hoặc x = -1. Vậy ph-ơng trình có 4 nghiệm x = -1, x = 1, x = 2, x = 3. L-u ý: 1. PT có dạng cbaba xfxf )()( với 1 baba , ta th-ờng đặt )(xf bat (xem ví dụ 1). 2. PT có dạng 0 )(2 )( )(2 xf xf xf vcuvbua , ta th-ờng chia cả hai vế cho v 2.f(x) Rồi đặt )(xf v u t (xem ví dụ 2). 3.Những PT sau khi đặt ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn đ-ợc triệt để hoặc biểu diễn quá phức tạp. Khi đó ta th-ờng đ-ợc một ph-ơng trình bậc hai theo ẩn phụ có biệt số chính ph-ơng (xem ví dụ 3). 4. Đối với một số bài toán ta lựa chọn ẩn phụ và đ-a về ph-ơng trình tích (xem ví dụ 4) Bài tập t-ơng tự: 1) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x ; 2) 02)73(33 112 xx xx ; 3) 2625625. sinsin xx ; 4) 1444 7325623 222 xxxxxx 5) 02)73(33 112 xx xx ; 6) 05 15 1 3 1cos2sin2 8logsincos 1cos2sin2 15 xx xx xx 3. Ph-ơng pháp logarit hoá Ph-ơng pháp lôgarit hoá rất có hiệu lực khi hai vế của ph-ơng trình có dạng tích các luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ. Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình xx 57 75 Lời giải. Hai vế của ph-ơng trình đều d-ơng, lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế ta đ-ợc ph-ơng trình 7 x = 5 x .log 5 7 7log 5 7 5 x 7loglog 5 5 7 x Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 68.3 2 x x x Lời giải. ĐK x - 2. Lôgarit cả hai vế của ph-ơng trình theo cơ số 3, ta đ-ợc 0 2 2log2 1)1(2log12log 2 3 3 33 x x x x x x = 1 hoặc x = 2(1 + log 3 2). L-u ý: Khi lấy lôgarit hoá hai vế, ta th-ờng lôgarit theo cơ số đã có sẵn trong bài Bài tập t-ơng tự: 1) 5log 34 55. x x ; 2) 9 1 4 )2cossin5(sinlog 2 5,0 xxx ; Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Formatted: Indent: Left: 0" Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 6 Email: caotua5lg3@gmail.com 3) 5008.5 1 x x x ; 4) 11 1 11 1 2 7log5log 3 2 3 xx x xx 4. Ph-ơng pháp hàm số Các bài toán dạng này th-ờng đ-ợc sử dụng một trong ba tính chất sau( chú ý hàm số f(x) liên tục trong tập các định) Tính chất 1: Nếu hàm y = f(x) tăng hoặc giảm trong khoảng (a; b) thì ph-ơng trình f(x) = k ( Rk ) có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b). Tính chất 2: Nếu hàm y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm giảm trên (a;b). Do đó nếu tồn tại bax ; 0 để f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình. Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục, tăng hoặc giảm trên (a;b) thì vuvfuf )()( với mọi u,v (a; b). Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 3 x+1 = 3 - x Lời giải. ĐK x < 3. Nhận xét: . Vế trái f(x) = 3 x+1 là hàm đồng biến trên R. Vế phải g(x) = 3 - x là hàm nghịch biến trên R. . x = 0 là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình Thật vậy: Với x > 0 thì 3 x+1 > 3; 3 x < 3 Với x < 0 thì 3 x+1 < 3; 3 x > 3. Vậy x = 0 là nghiệm của ph-ơng trình Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình x x 381 2 . Lời giải. Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 3 x , ta đ-ợc 1 3 8 3 1 x x Nhận xét vế trái f(x) = x x 3 8 3 1 là hàm nghịch biến trên R. x = 2 là nghiệm của ph-ơng trình Với x > 2 thì x x 3 8 3 1 <1 Với x < 2 thì x x 3 8 3 1 >1. Vậy x = 2 là nghiệm của ph-ơng trình Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình 2 1 122 2 x xxx Lời giải. Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với )(2)1(2 21 2 xxx xxx Đặt u = x - 1; v = x 2 - x. Ph-ơng trình có dạng 2 u + u = 2 v + v (2) Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 7 Email: caotua5lg3@gmail.com Xét hàm số f(t) = 2 t + t đồng biến và liên tục trên R. Ph-ơng trình (2) f(u) = f(v) u = v x 2 x = x 1 x 2 - 2x + 1 = 0 x = 1. Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1. Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình 3loglog 2 9log 222 3. xxx x (1) Lời giải. Đk x > 0. áp dụng công thức ac bb ca loglog . Khi đó (1) xxx x 222 loglog 2 log.2 33.3 (2). Đặt t = log 2 x suy ra x = 2 t . Khi đó ph-ơng trình (2) 3 2t = 4 t .3 t - 3 t 9 t + 3 t = 12 t . Chia cả hai vế cho 12 t và áp dụng cách giải của ví dụ 2. Bài tập t-ơng tự: Giải các ph-ơng trình 1) 2 2x-1 + 3 2x + 5 2x+1 = 2 x + 3 x+1 + 5 x+2 ; 2) x xx 10625625 5. Một số ph-ơng pháp khác Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình x x 2cos2 2 Lời giải. Ta có x 2 0 suy ra x x 2cos13 2 Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với hệ 0 12cos 0 12cos 13 2 2 x x x x x Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 0. L-u ý: Ngoài ph-ơng pháp nhận xét đánh giá nh- trên, ta có thể sử dụng Định lí Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng (a;b) thì PT f(x) = 0 có không quá hai nghiệm thuộc (a;b). Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3 x + 5 x = 6x + 2 Lời giải. Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với 3 x + 5 x - 6x 2 = 0. Xét hàm số f(x) = 3 x + 5 x - 6x - 2, với x R. Ta có f (x) = 3 x .ln3 + 5 x .ln5 - 6, f (x) = 3 x .ln 2 3 + 5 x .ln 2 5 > 0 với mọi x R. Nh- vậy, hàm số y = f(x) liên tục và có đồ thị lõm trên R nên theo Định lí Rôn ph-ơng trình có tối đa 2 nghiệm trên R. Nhận thấy f(0) = f(1) = 0. Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 0, x = 1. Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình 2003 x + 2005 x = 2.2004 x Lời giải. Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với 2003 x - 2004 x = 2004 x - 2005 x . Gọi a là một nghiệm của ph-ơng trình, khi đó ta có 2003 a - 2004 a = 2004 a - 2005 a (2). Xét hàm số f(t) = t a - (t + 1) a , với t > 0. Dễ thấy hàm số f(t) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (2003; 2005). Do đó, theo Định lí Lagrange tồn tại c (2003; 2005) sao cho f (c) = 0 20032005 )2003()2005( )( ' ff cf Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Indent: Left: 0" Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Indent: Left: 0" Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Indent: Left: 0" Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 2 pt Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 8 Email: caotua5lg3@gmail.com a[c a-1 - (c + 1) a-1 ] = 0 1 0 a a Thử lại ta thấy x = 0, x =1 đều thoả mãn. L-u ý: Bài toán trên ta sử dụng Định lí Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm bac ; sao cho ab afbf cf )()( )( ' Bài tập t-ơng tự: 1) x x 2cos3 2 ; 2) 6 x + 2 x = 5 x + 3 x ; 3) 9 x +3 x =10x+2; II. Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình Logarit Ph-ơng trình logarit cơ bản có dạng log a x = m. Với mỗi giá trị tuỳ ý của m, ph-ơng trình có một nghiệm duy nhất x = a m . 1. Ph-ơng pháp đ-a về cùng cơ số Nếu 0,0 thì aa loglog Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 2 1 )123(log 2 )3( xx x (1) Lời giải. Ph-ơng trình (1) 3123 1)3(0 2 xxx x 313 23 xx x (2) Nếu x 1 thì hệ (2) 34 23 xx x 3)4( 4 23 2 xx x x 0139 2;43 2 xx xx . Giải hệ tìm đ-ợc nghiệm 2 299 x Nếu x < 1 thì hệ (2) t-ơng đ-ơng với 32 23 xx x 3)2( 2 23 2 xx x x 013 2 2 xx x . Giải hệ tìm đ-ợc nghiệm 2 53 x . Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm 2 299 x và 2 53 x . Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình log 3 [1 + log 3 (2 x - 7)] = 1 (1) Lời giải. (1) 1 + log 3 (2 x - 7) = 3 log 3 (2 x - 7) = 2 2 x -7 = 9 2 x = 16 x = 4. Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x. Lời giải. Đk: x > 0. Dùng công thức đổi cơ số, ta đ-ợc log 2 x + log 2 x.log 3 2 + log 2 x.log 4 2 = log 2 x.log 20 2. Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 9 Email: caotua5lg3@gmail.com (1 +log 3 2 + log 4 2 - log 20 2).log 2 x = 0 log 2 x = 0 x = 1(t/mđk). L-u ý:1. PT log f(x) g(x)=b b xfxg xf )()( 1)(0 (xem ví dụ 1) 2. Nếu PT có dạng log a x + log b x + log c x + log d x = 0, các cơ số a, b, c, d không biểu diễn luỹ thừa qua nhau. Khi đó ta dùng công thức đổi cơ số để đ-a chúng về cùng một cơ số và áp dụng các phép toán trên logarit (xem ví dụ 3) Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình 3 8 2 2 4 4log4log21log xxx Lời giải. Đk: 1 44 x x Với điều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với )4(log)4(log21log 222 xxx )16(log4.1log 2 22 xx 2 164.1 xx (2). . Nếu x -1 thì (2) x 2 + 4x 12 = 0 x = 2 hoặc x = -6. Kết hợp đk ta đ-ợc x = 2. . Nếu x < -1 thì (2) x 2 - 4x 20 = 0 622 x . Kết hợp điều kiện ta đ-ợc 622x . Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x =2 và 622x . L-u ý: Điều kiện của PT ch-a đảm bảo x > 0 thì log a x 2 = 2. x a log Bài tập t-ơng tự: 1) 3log 2 1 log 2 1 65log 3 3 2 2 9 x x xx 2) x x )52(log 1 2 ; 3) log 3 x + log 4 x = log 12 x 2. Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình log 2 (2 x - 1).log 1/2 (2 x+1 - 2) = -2. Lời giải. Đk: x > 0. Với đều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với log 2 (2 x - 1).[- log 2 2.(2 x - 1)] = -2 log 2 (2 x - 1).[- 1 - log 2 (2 x - 1)] = -2 (1) Đặt t = log 2 (2 x - 1). Ph-ơng trình (1) trở thành t 2 + t 2 = 0 t = 1 hoặc t = -2. . Với t = 1 thì log 2 (2 x - 1) = 1 2 x 1 = 2 2 x = 3 x = log 2 3(tmđk) . Với t = -2 thì log 2 (2 x - 1) = -2 2 x 1 = 1/4 2 x = 5/4 x = log 2 5/4(tmđk). Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = log 2 3 và x = log 2 5/4. Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 051loglog 2 3 2 3 xx Lời giải. Đk:x > 0. Đặt t = 1log 2 3 x , t 1. Ph-ơng trình trở thành t 2 + t 6 = 0 t = 2 hoặc t = 3 < 0 (loại). . Với t = 2 thì 1log 2 3 x =2 log 3 2 x = 3 3log 3log 3 3 x x 3 3 3 3 x x (tmđk). Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 10 Email: caotua5lg3@gmail.com Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm 3 3x và 3 3 x Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình log 2x-1 (2x 2 + x - 1) + log x+1 (2x - 1) 2 = 4 Lời giải. Ph-ơng trình đã cho viết đ-ợc thành log 2x-1 (2x - 1).(x + 1) + log x+1 (2x -1) 2 = 4 (1) Đk: 0 2 1 1120 110 x x x (*) . Với điều kiện (*), ph-ơng trình (1) log 2x-1 (x + 1) + 2log x+1 (2x - 1) 3 = 0. Đặt t = log 2x-1 (x + 1), do điều kiện (*) nên t 0. Ph-ơng trình trở thành 03 2 t t t 2 - 3t + 2 = 0 t = 1 hoặc t = 2. . Với t = 1 thì log 2x-1 (x + 1) = 1 x + 1 = 2x - 1 x = 2 (tmđk). . Với t = 2 thì log 2x-1 (x + 1) = 2 x + 1 = (2x - 1) 2 4x 2 - 5x = 0 x = 0(loại) hoặcx = 5/4(tmđk). Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 2 và x =5/4. L-u ý: 1. Trong ph-ơng trình có chứa căn thì cách đặt ẩn phụ cần khéo léo đặt để pt của ẩn phụ không còn chứa căn. Đối với ví dụ 2 nếu ta đặt t=log 3 x thì pt vẫn chứa căn, nh-ng nếu đặt t= 1log 2 3 x ,thì PT của ẩn phụ rất đơn giản. 2. Nếu PT có chứa log a b và log b a thì ta đặt log a b=t thì log b a =1/t. (xem ví dụ 3). Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình 2 loglog 122.22 22 xx xx (1) Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log 2 x suy ra x = 2 t . Ph-ơng trình (1) trở thành t t t t 2 2122.222 (2) Nhận xét: t tt 22222 , nên pt (2) t-ơng đ-ơng với 021 22 2 .222 2 t t t t t 0 22 122 2122 2 t t t t 0 22 4 1122 t t 0 1 22 4 122 t t t Với t = 0 thì x = 1. Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1. Ví dụ 5: Giải ph-ơng trình 0log.40log14log 4 3 16 2 2 xxx xxx (1) Lời giải. Đk: x > 0, x 1/4, x 1/16, x 2(*) Với điều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với 0log.20log.42log.2 416 2 xxx xxx (2) Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của pt. Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 [...]... log 2a 2 3 x 1 3 Phần C Bất ph-ơng trình mũ và logarit I Một số ph-ơng pháp giải bất ph-ơng trình mũ và lôgarit Cũng giống nh- ph-ơng trình mũ và PT lôgarit, bất PT mũ và lôgarit cũng có cách giải t-ơng tự Chúng ta có l-u ý sau: Bất ph-ơng trình mũ Nếu a >1 thì a f ( x) a g ( x) f ( x) g ( x) Nếu 0 < a < 1 thì a f ( x) a g ( x) f ( x) g ( x) Bất ph-ơng trình lôgarit f ( x) 0 log a f (... trong hệ có nghĩa +) Sử dụng các phép thế để nhận đ-ợc từ hệ một ph-ơng trình theo ẩn x hoặc y(đôi khi là theo cả hai ẩn x và y) +) Giải và biện luận theo tham số ph-ơng trình nhận đ-ợc bằng các ph-ơng pháp đã biết đối với ph-ơng trình đã biết 1 log 1 ( y x) log 4 1 y Ví dụ 1: Giải hệ ph-ơng trình 4 x 2 y 2 25 ST&BS: Cao Vn Tỳ 30 Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và. .. Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com 4 x 5 x (1 1).(4 x x 5) 3 2 log 3 2 4 x 5 x 1 4 x 1 Do đó ph-ơng trình có nghiệm khi và chỉ khi x5 1 x 1 2 Vậy x = -1/2 là nghiệm của ph-ơng trình Bài tập t-ơng tự: 1) log2[3log2(3x - 1) - 1] = x; 2) 7x-1 = 6log7(6x - 5) + 1 III Ph-ơng trình mũ và ph-ơng trình logarit có chứa tham số... với mọi a (0 < a < 1) hệ (3) đều có nghiệm x = 0 và x = 1/2 thoả mãn Suy ra (3) không thể có nghiệm duy nhất Kết luận: Không tồn tại a để bất ph-ơng trình có nghiệm duy nhất 2 ST&BS: Cao Vn Tỳ 28 Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com log a (35 x 3 ) 3 với 0 < a 1 Ví dụ 6: Cho các bất ph-ơng trình log a (5 x) và 1 + log5(x2 + 1) -... ph-ơng trình log 1 ( x 2 2 x m) 3 có nghiệm, và mọi 2 nghiệm của nó không phải là nghiệm của bất pt log x ( x3 1) log x1 x 2 0 2.Tìm m để bất ph-ơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn: x 92 x 2 x 2(m 1)6 2 x 2 x (m 1)4 2 x 2 x 1 2 0 1 5 3.Tìm các giá trị x ; nghiệm đúng bất ph-ơng trình 2 2 log 3xx2 (3a ã) 1 với mọi a mà 0 < a < 2 Phần D Hệ ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ và logarit. .. 2 1 log 1 ( x 1) 3 3 II Bất ph-ơng trình mũ và logarit có chứa tham số Ví dụ 1: Cho bất ph-ơng trình 4x - 3.2x + m 0 (1) a) Tìm m để bất ph-ơng trình có nghiệm với mọi x 1 b) Tìm m để bất ph-ơng trình có nghiệm x 1 Lời giải Đặt t = 2x (t > 0) Bất ph-ơng trình có dạng t2 - 3t + m 0 t2 - 3t - m (2) a) Bất ph-ơng trình (1) có nghiệm với mọi x 1 bất ph-ơng trình (2) có nghiệm với mọi t 2 thoả... (3x 2 y) log 3 (3x 2 y) , suy ra t 1 3x 2 y 3 Thay vào ph-ơng trình (1) trong hệ ta đ-ợc 5t.3t-1 = 5 15t 15 t =1 3x 2 y 5 x 1 Do đó ta có hệ (tmđk) 3x 2 y 1 y 1 ST&BS: Cao Vn Tỳ 32 Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com f ( x ) 2 g ( x) 2 k L-u ý: Với hệ ph-ơng trình dạng , thông th-ờng ta giải log a [ f ( x) g (... 0, y > 0 2 log 3 y log 2 x 1 Hệ ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với log 2 y log x 1 2 log 2 3 log x 3 2 log 3 y log 2 x 1 x 9 2 log 3 y log 2 x 1 log 3 y 2 y 8 Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm (x; y) = (9,8) Ví dụ 4: Tìm k để hệ bất ph-ơng trình sau có nghiệm ST&BS: Cao Vn Tỳ 31 Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com... Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com Từ bảng biến thiên suy ra -9/4 -m m 9/4 b) Bất ph-ơng trình (1) có nghiệm x 1 bất ph-ơng trình (2) có nghiệm 2 t 0;2 Max(t 3t ) m Từ bảng biến thiên suy ra 0 > -m m > 0 t0; 2 L-u ý: Cho bất ph-ơng trình f(x) > m Hàm số f(x) liên tục và xác định trênD 1) Bất ph-ơng trình có nghiệm với mọi... định số nghiệm của hệ ph-ơng trình (ẩn x, y) sau: x 3 y 3 29(1) (I) log 3 x log 2 y 1(2) Lời giải Dễ thấy, nếu (x; y) là nghiệm của hệ trên thì x > 1, y > 1 (*) 1 Đặt log3x = t, t > 0 (do (*) Khi đó, x = 3t và từ ph-ơng trình (2) có y 2 t Vì thế, từ ph-ơng trình (1) ta có ph-ơng trình ẩn t sau: 1 9t 8 t 29 (3) Dễ thấy số nghiệm của hệ (I) bằng số nghiệm d-ơng của ph-ơng trình (3) 1 1 t 8 t . 1, Lowered by 3 pt Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít. color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3 pt Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 4 pt Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS:. Font color: Text 1 Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Vn Tỳ 11 Email: caotua5lg3@gmail.com Với 0 < x 1, pt (2) 0 4log 20 16log 42 2 log 2 xx x xx x