Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn định lý cơ bản của đại số
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ KIM LIÊN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Đa thức trên một trờng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Lịch sử Định lí cơ bản của Đại số 11 2.1 Một số đóng góp ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Đóng góp của Jean le Rond DAlembert . . . . . . . . . 14 2.3 Đóng góp của Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Joseph-Louis Lagrange và Pierre Simon Laplace . . . . . 20 2.5 Đóng góp của Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . 21 3 Một số chứng minh Định lí cơ bản của Đại số 26 3.1 Chứng minh dùng công cụ đại số . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Chứng minh dùng công cụ giải tích phức . . . . . . . . . 31 3.3 Chứng minh dùng công cụ tôpô . . . . . . . . . . . . . . 35 Phần phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lời cảm ơn Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dới sự hớng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn Định lí cơ bản của Đại số của tôi đã đợc hoàn thành. Có đợc kết quả này, đó là nhờ sự dạy bảo hết sức tận tình và nghiêm khắc của Cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô và gia đình! Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo-Khoa học-Quan hệ quốc tế và Khoa Toán-Tin của Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập tại trờng cũng nh thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán-Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tợng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Thủy Nguyên - thành phố Hải Phòng và Trờng trung học cơ sở Dơng Quan - nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K4B (Khóa 2010-2012) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lời nói đầu Định lí cơ bản của Đại số phát biểu rằng mỗi đa thức một biến khác hằng với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Đôi khi, Định lí cơ bản của Đại số đợc phát biểu dới dạng: Mỗi đa thức một biến khác 0 với hệ số phức có số nghiệm phức (mỗi nghiệm tính với số bội của nó) đúng bằng bậc của đa thức đó. Mặc dù tên của định lí là Định lí cơ bản của Đại số nhng không có một chứng minh thuần túy đại số nào cho định lí này. Tất cả các chứng minh cho Định lí đều cần đến tính đầy đủ của tập các số thực, hoặc một dạng tơng đơng về tính đầy đủ, mà tính đầy đủ lại không là khái niệm đại số. Hơn nữa, Định lí cơ bản của Đại số không phải là nền tảng của Đại số hiện đại. Tên của định lí này đợc đặt ra vào thời điểm khi mà việc nghiên cứu đại số chủ yếu là để giải phơng trình đa thức. Peter Roth là ngời đầu tiên phát biểu gợi mở Định lí cơ bản của Đại số trong cuốn sách Arithmetica Phylosophica công bố năm 1608: Một đa thức bậc n với hệ số thực có không quá n nghiệm. Tiếp đến là khẳng định của Albert Giard (1595-1632) trong cuốn sách Linvention nouvelle en lAlg ` ebre xuất bản năm 1629: Phơng trình đa thức bậc n có n nghiệm, trừ khi phơng trình bị khuyết. Nhiều nhà toán học đã tin Định lí là đúng, và do đó họ tin rằng mọi đa thức với hệ số thực khác hằng đều viết dới dạng tích của các đa thức với hệ số thực bậc một hoặc hai. Bên cạnh đó lại có những ngời (Gottfried Wilhelm Leibniz, Nikolaus II Bernoulli) cố tìm ra những đa thức bậc 4 với hệ số thực không là tích của các đa thức bậc 1 hoặc 2. Tuy nhiên, các phản ví dụ của họ đều đợc Leonhard Euler phản bác, điều này càng làm cho các nhà toán học thời đó tin tởng tính đúng đắn của Định lí. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chứng minh đầu tiên cho Định lí thuộc về DAlembert vào năm 1746, nhng chứng minh này không hoàn chỉnh. Euler 1749 có một chứng minh đúng cho Định lí trong trờng hợp bậc của đa thức 6. Các chứng minh khác đợc thực hiện bởi Euler 1749, De Foncenex 1759, Lagrange 1772 và Laplace 1795 đều có ít nhiều chỗ cha chặt chẽ. Kể cả chứng minh đầu tiên của Gauss năm 1799 cũng không đầy đủ. Mãi đến năm 1816, Gauss mới đa ra một chứng minh chính xác cho Định lí. Mục tiêu của luận văn là giới thiệu lịch sử Định lí cơ bản của Đại số, trong đó nhấn mạnh những đóng góp quan trọng của DAlembert, Euler và Gauss, đồng thời trình bày một số chứng minh sau này cho Định lí bằng cách sử dụng các công cụ đại số, giải tích phức và tôpô. Các kết quả và thông tin trong luận văn đợc viết dựa vào bài báo [Ba] của Baltus trên Historia Mathematica 2004, bài báo [Ca] của J. Carrera trên Publicions Matematiques 1992, cuốn sách [MF] của Miller-File 2003, và đặc biệt là bài báo [Du] của Dunham 1991. Dunham đã đợc Hội Toán học Mỹ trao giải thởng Polya năm 1992 vì bài báo này. Luận văn gồm 3 chơng. Chơng 1 trình bày kiến thức chuẩn bị về đa thức. Chơng 2 giới thiệu lịch sử Định lí cơ bản của Đại số với những đóng góp tiêu biểu của một số nhà toán học. Chơng 3 đa ra một số chứng minh cho Định lí bằng cách sử dụng các công cụ Đại số, Giải tích phức và Tôpô. Ngoài ra, luận văn còn có Phần phụ lục trình bày kiến thức về số phức, mở rộng trờng, trờng phân rã cũng nh hình ảnh của một số nhà toán học có đóng góp quan trọng cho Định lí. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chơng này là nhắc lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến đa thức trên một trờng nh phép chia với d, nghiệm của đa thức để phục vụ việc trình bày các kết quả của các chơng sau. 1.1 Đa thức trên một trờng 1.1.1. Định nghĩa. Một tập K cùng với hai phép toán cộng và nhân đợc gọi là trờng nếu: (a) Kết hợp: a+(b+c) = (a+b)+c và (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c K. (b) Giao hoán: a + b = b + a và ab = ba với mọi a, b K. (c) Phân phối: a(b + c) = ab + ac với mọi a, b, c K. (d) Tồn tại đơn vị 1 K sao cho a1 = 1a = a với mọi a K. (e) Tồn tại phần tử 0 K sao cho a + 0 = 0 + a = a với mọi a K. (g) Mỗi a K, tồn tại phần tử đối a K sao cho a + (a) = 0. (h) Mỗi 0 = a K, tồn tại phần tử khả nghịch a 1 K sao cho aa 1 = 1 = a 1 a. Chẳng hạn, Q, R, C là các trờng. Tập Q[ 7] = {a+b 7 | a, b Q} là một trờng. Q[ p] = {a + b p | a, b Q} là một trờng nếu p là số nguyên tố. 5 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Từ nay cho đến hết chơng này, luôn giả thiết K là một trờng. 1.1.2. Định nghĩa. Một biểu thức dạng f(x) = a n x n + . . . + a 0 trong đó a i K với mọi i đợc gọi là một đa thức của ẩn x (hay biến x) với hệ số trong K. Nếu a n = 0 thì a n đợc gọi là hệ số cao nhất của f(x) và số tự nhiên n đợc gọi là bậc của f(x), kí hiệu là deg f(x). Chú ý rằng hai đa thức f(x) = a i x i và g(x) = b i x i là bằng nhau nếu và chỉ nếu a i = b i với mọi i. Ta chỉ định nghĩa bậc cho những đa thức khác 0, còn ta quy ớc đa thức 0 là không có bậc. Kí hiệu K[x] là tập các đa thức ẩn x với hệ số trong K. Với f(x) = a i x i và g(x) = b i x i , định nghĩa f(x) + g(x) = (a i b i )x i và f(x)g(x) = c k x k , trong đó c k = i+j=k a i b j . Ta dễ dàng kiểm tra đợc tính chất sau đối với bậc của các đa thức. 1.1.3. Bổ đề. Với f(x), g(x) K[x] ta luôn có deg(f(x) + g(x)) max{deg f(x), deg g(x)} deg(f(x).g(x)) = deg f(x) + deg g(x). Định lí sau đây, gọi là Định lí phép chia với d, đóng một vai trò rất quan trọng trong lí thuyết đa thức. 1.1.4. Định lý. Cho f(x), g(x) K[x], trong đó g(x) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) K[x] sao cho f(x) = g(x)q(x) + r(x), với r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x). Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử f(x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q 1 (x) + r 1 (x), trong đó r(x), r 1 (x) bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). Khi đó g(x)(q(x) q 1 (x)) = r 1 (x) r(x). S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Nếu r(x) = r 1 (x) thì deg(r r 1 ) = deg g(q q 1 ) = deg g + deg(q q 1 ). Điều này mâu thuẫn vì deg(r r 1 ) max{deg r, deg r 1 } < deg g deg g + deg(q q 1 ). Do vậy, r 1 (x) = r(x). Suy ra g(x)(q(x) q 1 (x)) = 0. Vì g(x) = 0 nên q(x) q 1 (x) = 0, tức là q(x) = q 1 (x). Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại. Nếu deg f(x) < deg g(x) thì ta chọn q(x) = 0 và r(x) = f(x). Giả sử deg f(x) deg g(x). Viết f(x) = a m x m + . . . + a 0 và g(x) = b n x n + . . . + b 0 với a m , b n = 0 và n m. Chọn h(x) = a m b n x mn . Đặt f 1 (x) = f(x) g(x)h(x). Khi đó f 1 (x) = 0 hoặc f 1 (x) có bậc thực sự bé hơn bậc của f(x). Trong trờng hợp f 1 (x) = 0, ta tìm đợc d của phép chia f(x) cho g(x) là r(x) = 0 và thơng là q(x) = h(x). Nếu f 1 (x) = 0 thì ta tiếp tục làm tơng tự với f 1 (x) và ta đợc đa thức f 2 (x). Cứ tiếp tục quá trình trên ta đợc dãy đa thức f 1 (x), f 2 (x), . . . , nếu chúng đều khác 0 thì chúng có bậc giảm dần. Vì thế sau hữu hạn bớc ta đợc một đa thức có bậc bé hơn bậc của g(x) và đó chính là đa thức d r(x). Nếu một đa thức của dãy bằng 0 thì d r(x) = 0. Thế vào rồi nhóm lại ta tìm đợc q(x). Trong định lý trên, q(x) đợc gọi là thơng và r(x) đợc gọi là d của phép chia f(x) cho g(x). Nếu d của phép chia f(x) cho g(x) là 0 thì tồn tại q(x) K[x] sao cho f(x) = g(x)q(x). Trong trờng hợp này ta nói rằng f(x) chia hết cho g(x) hay g(x) là ớc của f(x). S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 1.2 Nghiệm của đa thức 1.2.1. Định nghĩa. Với mỗi f(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 K[x] và là phần tử trong một trờng chứa K, ta đặt f() = a n n +. . . +a 1 + a 0 . Nếu f() = 0 thì ta nói là nghiệm của f(x). Chẳng hạn, số 2 R là nghiệm của đa thức x 2 2 Q[x]. 1.2.2. Hệ quả. Phần tử a K là nghiệm của đa thức f(x) K[x] nếu và chỉ nếu tồn tại đa thức g(x) K[x] sao cho f(x) = (x a)g(x). Chứng minh. Chia f(x) cho x a, d hoặc bằng 0 hoặc là một đa thức bậc 0 vì bậc của (x a) bằng 1. Vì vậy, d là một phần tử r K. Ta có f(x) = (xa)q(x)+r. Thay x = a vào đẳng thức ta đợc r = f(a). Cho k > 0 là một số nguyên. Một phần tử a K đợc gọi là một nghiệm bội k của đa thức f(x) K[x] nếu f(x) chia hết cho (x a) k nhng không chia hết cho (xa) k+1 . Nếu k = 1 thì a đợc gọi là nghiệm đơn. Nếu k = 2 thì a đợc gọi là nghiệm kép. 1.2.3. Hệ quả. Phần tử a K là nghiệm bội k của f(x) K[x] nếu và chỉ nếu f(x) = (x a) k g(x) với g(x) K[x] và g(a) = 0. Chứng minh. Giả sử a là nghiệm bội k của f(x). Vì f(x) chia hết cho (x a) k nên f(x) = (x a) k g(x) với g(x) K[x]. Nếu g(a) = 0 thì theo Hệ quả 1.2.2 ta có g(x) = (x a)h(x) với h(x) K[x] và do đó f(x) chia hết cho (x a) k+1 , vô lí. Vậy g(a) = 0. Ngợc lại, vì f(x) = (x a) k g(x) nên f(x) chia hết cho (x a) k . Nếu f(x) chia hết cho (x a) k+1 thì f(x) = (x a) k+1 h(x) với h(x) K[x]. Do đó (x a) k g(x) = (x a) k+1 h(x). Do K là trờng nên g(x) = (x a)h(x). Suy ra g(a) = 0, mâu thuẫn. Vậy f(x) không chia hết cho (x a) k+1 . S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 1.2.4. Hệ quả. Cho a 1 , a 2 , . . . , a r K là những nghiệm phân biệt của f(x) K[x]. Giả sử a i là nghiệm bội k i của f(x) với i = 1, 2, . . . , r. Khi đó f(x) = (x a 1 ) k 1 (x a 2 ) k 2 . . . (x a r ) k r u(x), trong đó u(x) K[x] và u(a i ) = 0 với mọi i = 1, . . . , r. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Trờng hợp r = 1 đợc suy ra từ Hệ quả 1.2.3. Cho r > 1. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại h(x) K[x] sao cho f(x) = (x a 1 ) k 1 (x a 2 ) k 2 . . . (x a r1 ) k r1 h(x), trong đó h(x) K[x] và h(a i ) = 0 với mọi i = 1, . . . , r 1. Vì a r là nghiệm của f(x) nên ta có 0 = f(a r ) = (a r a 1 ) k 1 (a r a 2 ) k 2 . . . (a r a r1 ) k r1 h(a r ). Do a r = a i với mọi i = 1, . . . , r 1 nên h(a r ) = 0. Giả sử h(x) = (x a r ) t u(x) trong đó u(x) K[x], u(a r ) = 0 và t > 0 là một số nguyên. Vì h(a i ) = 0 nên u(a i ) = 0 với mọi i = 1, . . . , r 1. Do a r là nghiệm bội k r của f(x) nên t k r . Hơn nữa, f(x) có sự phân tích f(x) = (x a r ) k r v(x), trong đó v(x) K[x] và v(a r ) = 0. Vì thế ta có f(x) = (x a r ) k r v(x) = (x a 1 ) k 1 . . . (x a r1 ) k r1 (x a r ) t u(x). Chú ý rằng K là trờng, vì thế giản ớc cả hai vế cho (x a r ) t ta đợc (x a r ) k r t v(x) = (x a 1 ) k 1 . . . (x a r1 ) k r1 u(x). Nếu t < k r thì khi thay x = a r vào đẳng thức trên ta có vế trái bằng 0, còn vế phải khác 0, điều này là vô lý. Vậy t = k r . Vì thế f có phân tích f(x) = (x a 1 ) k 1 . . . (x a r1 ) k r1 (x a r ) k r u(x) trong đó u(a i ) = 0 với mọi i = 1, . . . , r. 1.2.5. Hệ quả. Cho 0 = f(x) K[x] là đa thức. Khi đó số nghiệm của f(x), mỗi nghiệm tính với số bội của nó, không vợt quá bậc của f(x). S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Một số chứng minh Định lí cơ bản của Đại số Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số chứng minh Định lí cơ bản của Đại số 3.1 Chứng minh dùng công cụ đại số Để chứng minh Định lí, ta cần có các kết quả sau: 3.1.1 Bổ đề Các phát biểu sau l đúng (i) Mỗi đa thức bậc lẻ với hệ số thực đều có một nghiệm thực (ii) Mỗi đa thức bậc hai với hệ số phức đều có hai nghiệm phức (iii) Nếu p(x) l đa thức với hệ số. .. là cha đẻ của Triết học hiện đại Thời của Descartes về cơ bản đã nhận biết đợc Định lí cơ bản của Đại số, nhng cha chứng minh đợc Descartes khẳng S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 định rằng một phơng trình đa thức bậc n có n nghiệm, trong đó một số nghiệm nằm trong tập số thực, còn một số nghiệm khác chỉ tồn tại trong sự hình dung của chúng ta Trong số những nghiệm... nghiệm của f (x) với số bội lần lợt là k1 , , kr Theo Hệ quả 1.2.4, tồn tại g(x) K[x] sao cho f (x) = (x a1)k1 (x a2 )k2 (x ar )kr g(x) Vì thế deg f (x) = deg g(x) + r r ki i=1 ki , điều cần chứng minh i=1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chơng 2 Lịch sử Định lí cơ bản của Đại số Mục tiêu của chơng này là trình bày sơ lợc lịch sử Định lí cơ bản của Đại số, ... số thực Pierre-Simon Laplace (1749-1827) là một nhà toán học, thiên văn học ngời Pháp Vào năm 1795, Laplace [La] đã đa ra một chứng minh cho Định lí cơ bản của Đại số Mỗi đa thức với hệ số thực có bậc dơng đều chứa nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai với hệ số thực Đây là một chứng minh hoàn toàn đại số, khác hẳn với cách tiếp cận của Euler - Lagrange đã nêu trong tiết trớc, nhng vẫn còn chứa nhiều lập luận. .. túc đầu tiên về Định lí cơ bản của Đại số thuộc về Jean le Rond DAlembert (1717-1783), một nhà Toán học, Cơ học, Vật lí học, Thiên văn học ngời Pháp DAlembert là ngời đầu tiên công bố chứng minh Định lí cơ bản của Đại số trong bài báo [DA] Recherches sur le calcul integral đăng trên Histoire de lAcad Royale Berlin 1746, và kết quả này thực sự đợc công bố năm 1748 Nhng chứng minh của Ông là một chứng minh... nh các nhân tử tuyến tính với hệ số trong E 3.1.2 Chú ý (i) Nhờ tính liên tục của hàm đa thức, ta có tính chất (i) trong bổ đề trên Vì thế chứng minh Định lí cơ bản của Đại số mà chúng ta trình bày sau đây chủ yếu dùng công cụ đại số, nhng không phải là một chứng minh thuần túy đại số (ii) Trờng E cực tiểu có tính chất (iii) của bổ đề trên đợc gọi là trờng phân rã của đa thức p(x) Sự tồn tại duy nhất... thức để lập luận về tính com pắc nhằm chỉ ra tính hội tụ ở phần cuối của chứng minh Mặc dù vậy, các ý tởng trong chứng minh của Ông cho Định lí cơ bản của Đại số vẫn rất quan trọng Cũng trong bài báo của DAlembert năm 1746 (xem [DA]), Ông đã phát hiện ra hai điều quan trọng Thứ nhất, Ông chỉ ra rằng rằng nếu z = c + d 1 là một nghiệm của p(x) thì số phức z = c d 1 cũng là một nghiệm của p(x), và... công bố một chứng minh hoàn chỉnh cho Định lí) 2.1 Một số đóng góp ban đầu Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số mốc ban đầu trong việc phát biểu Định lí cơ bản của Đại số 2.1.1 Đóng góp của Peter Roth Cho đến nay, khó có thể biết đợc chính xác Định lí cơ bản bắt đầu từ đâu Ngời ta cho rằng Peter Roth (1580-1617) là ngời đầu tiên phát biểu gợi mở Định lí, đợc viết trong cuốn sách Arithmetica Phylosophica... (xem [MF, Trang 3) Trớc hết ta nhắc lại Định lí của Rouche 3.2.2.1 Định lí (Rouche) Cho miền M C với biên của M l B(M) Nếu f (z) v h(z) l các h m giải tích trong v trên miền M sao cho |h(z)| < |f (z)| trên biên B(M) thì f (z) v f (z) + h(z) có cùng số nghiệm trên miền M Bây giờ ta chứng minh Định lí cơ bản của Đại số 3.2.2.2 Định lí Cho p(z) l một đa thức với hệ số phức có bậc n > 0 Khi đó p(z) có n... bậc hai với hệ số thực Do đó p(x) có nhân tử bậc hai với hệ số thực 2.5 Đóng góp của Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss (1777-1855) là một nhà Toán học, nhà Vật lí học, Địa cầu học ngời Đức Gauss đợc xem là nhà toán học thiên tài nhất trong thời đại của Ông Ngời đầu tiên chứng minh Định lí Cơ bản của Đại số thuộc về DAlembert, nhng chứng minh hợp lí và hoàn chỉnh đầu tiên cho định lí này lại . không là khái niệm đại số. Hơn nữa, Định lí cơ bản của Đại số không phải là nền tảng của Đại số hiện đại. Tên của định lí này đợc đặt ra vào thời điểm khi mà việc nghiên cứu đại số chủ yếu là để. http://www.lrc-tnu.edu.vn Chơng 2 Lịch sử Định lí cơ bản của Đại số Mục tiêu của chơng này là trình bày sơ lợc lịch sử Định lí cơ bản của Đại số, trong đó nhấn mạnh những đóng góp tiêu biểu của một số nhà toán học, đó. thời là Định lí cơ bản của Đại số có một tầm quan trọng vợt ra ngoài lĩnh vực đại số. Trong bài báo năm 1746 (xem [DA]), để làm cho mọi ngời nhìn thấy tầm quan trọng của Định lí Cơ bản của Đại số,