Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn lý thuyết về số đại số
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————— NGUYỄN MẠNH HÙNG LÝ THUYẾT VỀ SỐ ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 1 Số đại số và số nguyên đại số 5 1.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Đa thức nguyên bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Số đại số và số nguyên đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Các trường số 14 2.1 Trường số đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Chuẩn và vết của một phần tử của trường số đại số . . . . . 16 2.3 Biệt thức của một hệ các phần tử của trường số . . . . . . . 18 2.4 Vành các số nguyên đại số O K . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Nhân tử hóa 24 3.1 Phần tử khả nghịch, quan hệ chia hết, phần tử bất khả quy trong vành O K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Sự phân tích thành các nhân tử bất khả quy trong vành O K . 25 3.3 Trường số chuẩn Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Iđêan 31 4.1 Iđêan của vành giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Iđêan của vành O K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Chuẩn của một Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 4.4 Sự phân tích một Iđêan không tầm thường thành tích các Iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.5 Iđêan nguyên tố cùng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6 Các lớp Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nông Quốc Chinh. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và trang bị đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm, và trường Cao Đẳng Dược Phú Thọ tỉnh Phú Thọ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mở đầu Số đại số và số nguyên đại số là lĩnh vực đã được nhiều nhà toán học dành nhiều thời gian nghiên cứu. Trong nước ta lý thuyết số được đưa vào chương trình học tập của học sinh phổ thông ở tất cả các cấp học. Có thể nói rằng đây là một lĩnh vực lý thú của toán học - và hiện nay vẫn được nhiều giáo viên và học sinh, sinh viên yêu thích. Vì những lý do như vậy nên tôi chọn “lý thuyết về số đại số” làm đối tượng nghiên cứu trong luận văn của mình. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 4 chương như sau. Chương 1: Số đại số và số nguyên đại số Trong chương này trình bày lại một số kết quả về các đa thức, đa thức đối xứng, đa thức nguyên bản, số đại số, số nguyên đại số. Chương 2: Các trường số Nội dung của chương 2 là các kết quả về trường số đại số, chuẩn và vết của một phần tử của trường số đại số, trường bậc hai, vành các số nguyên đại số O K , về biệt thức của một hệ các phần tử của một trường số. Chương 3: Nhân tử hóa Chương này trình bày các khái niệm: Phần tử khả nghịch, quan hệ chia hết, phần tử bất khả quy, sự phân tích một một phần tử khác không không khả nghịch thành tích các nhân tử bất khả quy trong O K . Chương 4: Iđêan Nội dung chính của chương này là nghiên cứu về sự phân tích một Iđêan không tầm thường thành tích các Iđêan nguyên tố của O K và đề cập đến khái niệm nhóm lớp và một số tính chất của nó. Vì khả năng và thời gian có hạn nên luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến sửa đổi, bổ sung để luận văn được hoàn thiện hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Số đại số và số nguyên đại số Trong toàn bộ luận văn này ta luôn coi vành là giao hoán có đơn vị nếu không giả thiết gì thêm. 1.1 Đa thức Mục này chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất của vành các đa thức. Cho R là một vành, R[x] là vành các đa thức một biến x lấy hệ tử trong R. Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho đa thức f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ···+ a n x n ∈ R[x], với a n = 0. Ta nói n là bậc của f(x) và a n được gọi là hệ số cao nhất của f(x). Bậc của f(x) ký hiệu là degf(x) hoặc deg(f). (ii) Đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 gọi là đa thức monic. Nhận xét 1.1.2. Nếu R là miền nguyên thì ta có (i) R[x] cũng là miền nguyên (ii) deg(f(x)g(x)) = degf(x)+degg(x) với f, g là các phần tử khác 0 trong R[x]. Mệnh đề 1.1.3. Cho K là một trường số (i) Giả sử f, g ∈ K[x] g = 0. Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức q, r ∈ K[x] sao cho f = qg + r trong đó r = 0 hoặc r = 0 và deg(r) < deg(g) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 (ii) Nếu f = gh với h ∈ K[x] thì ta nói rằng f chia hết cho g hoặc g chia hết f, và ký hiệu là f . . .g hoặc g | f . Mệnh đề 1.1.4. (Ước chung lớn nhất) Cho K là một trường, f, g là các phần tử khác không của K[x]. Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức monic h sao cho (i) h | f và h | g (ii) nếu có q ∈ K[x] và q | f, q | g thì q | h. Khi đó ∃ u, v ∈ K[x] sao cho h = uf + vg. Định nghĩa 1.1.5. Cho K là một trường số, f ∈ K[x] có bậc dương, f được gọi là đa thức bất khả quy trên K nếu không tồn tại g, h ∈ K[x] với deg(g) < deg(f) và deg(h) < deg(f) sao cho f = gh. Ngược lại f được gọi là khả quy trên K. Định lý 1.1.6. (Sự phân tích duy nhất) Cho K là một trường số, f ∈ K[x] là đa thức monic có bậc dương. Thế thì có các đa thức monic bất khả quy trên K là p 1 , p 2 , . . . , p k sao cho f = p 1 p 2 ···p k . Ngoài ra các p j là xác định duy nhất, nếu không kể đến thứ tự các nhân tử. 1.2 Đa thức đối xứng Trong mục này ta luôn xét R là miền nguyên và R[x 1 , . . . , x n ] là vành đa thức n biến với hệ số trên R. Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức f ∈ R[x 1 , . . . , x n ] gọi là đa thức đối xứng nếu f(x 1 , . . . , x n ) = f(x σ(1) , . . . , x σ(n) ) với mọi σ ∈ S n , ở đây S n là tập các phép thế bậc n. Ta hiểu f(x σ(1) , . . . , x σ(n) ) là đa thức có được từ đa thức f(x 1 , . . . , x n ) bằng cách thay x j bởi x σ(j) , với mọi j = 1, 2, . . . , n. Ví dụ 1.2.2. Các đa thức sau được gọi là đa thức đối xứng sơ cấp hay đa thức đối xứng cơ bản e 1 (x 1 , . . . , x n )= x 1 + x 2 + ···+ x n e 2 (x 1 , . . . , x n )= x 1 x 2 + x 1 x 3 + ···+ x 1 x n + x 2 x 3 + ···+ x n−1 x n ··· e n (x 1 , . . . , x n )= x 1 x 2 . . . x n . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Định lý 1.2.3. (Newton) Cho f ∈ R[x 1 , . . . , x n ] là một đa thức đối xứng, khi đó tồn tại duy nhất đa thức g ∈ R[x 1 , . . . , x n ] sao cho f(x 1 , . . . , x n ) = g(E 1 , . . . , E n ) với E r :=e r (x 1 , . . . , x n ) là đa thức đối xứng cơ bản với mọi r=1, 2, . . . , n. 1.3 Đa thức nguyên bản Định nghĩa 1.3.1. Một đa thức 0 = f ∈ Z[x] được gọi là đa thức nguyên bản nếu ước chung lớn nhất của tất cả các hệ số của nó là 1. Nói cách khác f là nguyên bản nếu không tồn tại số nguyên tố nào chia hết tất cả các hệ số của nó. Bổ đề 1.3.2. (Bổ đề Gauss) Cho f, g ∈ Z[x] là các đa thức nguyên bản, khi đó tích của 2 đa thức fg là một đa thức nguyên bản. Chứng minh. Giả sử f = a 0 + a 1 x + ···+ a m x m , với a m = 0 g = b 0 + b 1 x + ···+ b n x n với b n = 0. là các đa thức nguyên bản. Ta chứng minh rằng fg nguyên bản, tức là phải chỉ ra không tồn tại số nguyên tố p là ước của tất cả các hệ số của fg. Giả sử p là số nguyên tố chia hết tất cả các hệ số của fg. Do f, g nguyên bản cho nên tồn tại ít nhất một hệ số của f và một hệ số của g sao cho hệ số đó không chia hết cho p, giả sử a r và b s lần lượt là các hệ số đầu tiên của f và g không chia hết cho p (tức là a 0 , a 1 , . . . a r−1 và b 0 , b 1 , . . . , b s−1 chia hết cho p còn a r và b s không chia hết cho p). Xét c r+s = j+i=r+s a j b i là hệ số của x r+s của đa thức fg. Viết dưới dạng tường minh ta có c r+s = a 0 b r+s + a 1 b r+s−1 + ··· + a r+1 b s−1 + a r b s + ··· + a r+s b 0 . Rõ ràng tổng này không chia hết cho p vì vậy c r+s không chia hết cho p. Điều này mâu thuẫn vì thế suy ra fg là đa thức nguyên bản. Nhận xét 1.3.3. (i) Nếu 0 = f ∈ Z[x] và a là ước chung lớn nhất của các hệ số của f. Khi đó ta có thể viết f = af 1 , trong đó f 1 là đa thức nguyên bản. (ii) Cho 0 = g ∈ Q[x] khi đó có bg ∈ Z[x] với b là một số nguyên dương và b là tích của tích của tất cả các mẫu số của các hệ số của g. Ta có thể Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 viết bg = cg 1 ở đây c là ước chung lớn nhất của tất cả các hệ số của bg, khi đó g 1 là nguyên bản. Do đó g = c b g 1 , g 1 là đa thức nguyên bản trong Z[x] và c b là số hữu tỷ dương. Vì vậy ta có thể viết một đa thức g khác 0 bất kỳ của Q[x] thành g = rg 1 với r dương và g 1 là đa thức nguyên bản trong Z[x], r được xác định duy nhất. Nếu đặt s = 1 r thì ta có g 1 = sg với s là số hữu tỷ dương. Vậy với mọi đa thức 0 = g ∈ Q[x] luôn tồn tại số hữu tỷ dương s mà sg nguyên bản trong Z[x] . Mệnh đề 1.3.4. Cho f, g là các đa thức monic, f ∈ Z[x] và g ∈ Q[x] nếu g | f thì g ∈ Z[x] Chứng minh. Giả sử g | f, khi đó ∃h ∈ Q[x] sao cho f = gh. Do f, g là các đa thức monic cho nên h cũng là đa thức monic. Theo nhận xét 1.3.3, tồn tại các số hữu tỷ dương r và s sao cho rg và sh là các đa thức nguyên bản trong Z[x]. Do r, s là các hệ số cao nhất của rg, sh nên r, s ∈ Z, theo bổ đề Gauss ta có (rg)(sh) = (rs)gh = (rs)f là đa thức nguyên bản trong Z[x]. Vì f ∈ Z[x] và f là đa thức monic nên ta có rs = 1, lại vì r, s ∈ Z ∗ + nên r = s = 1. Suy ra g = rg ∈ Z[x]. 1.4 Số đại số và số nguyên đại số Định nghĩa 1.4.1. (i) Phần tử α ∈ C được gọi là số đại số nếu tồn tại đa thức 0 = f ∈ Q[x] nhận α làm nghiệm (ii) Phần tử β ∈ C được gọi là số nguyên đại số nếu tồn tại đa thức monic g ∈ Z[x] nhận β làm nghiệm (iii) Gọi A và B lần lượt là tập các số đại số và tập các số nguyên đại số, dễ thấy B ⊆ A và Z ⊆ B, Q ⊆ A. Mệnh đề 1.4.2. Cho α ∈ A, khi đó có duy nhất đa thức monic f ∈ Q[x] có bậc nhỏ nhất nhận α làm nghiệm, và nếu g là đa thức thuộc Q[x] nhận α làm nghiệm thì f | g. Chứng minh. Vì α ∈ A nên luôn tồn tại đa thức monic trên Q nhận α làm nghiệm, trong những đa thức này ta luôn chọn được f là đa thức có bậc nhỏ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 nhất. Ta sẽ chỉ ra f là duy nhất. Giả sử 0 = f ∈ Q[x] và deg(h) < deg(f) sao cho h(α) = 0, khi đó h 1 = a −1 h là một đa thức monic, ở đây a là hệ số cao nhất của h. Do deg(h) < deg(f) nên deg(h 1 ) < deg(f) và h 1 (α) = a −1 h(α) = 0, điều này trái với việc chọn f. Nếu f 1 là đa thức monic cùng bậc với f và thỏa mãn các điều kiện giống như f thế thì đa thức h = f −f 1 phải là đa thức 0 vì trái lại thì h(α) = 0 và deg(h) < deg(f), điều này là mâu thuẫn. Vậy f là duy nhất. Tiếp theo ta chứng minh nếu g ∈ Q[x] sao cho g nhận α làm nghiệm thì f | g. Thật vậy theo định lý về phép chia với dư, tồn tại q, h ∈ Q[x] sao cho g = q.f + h, với h = 0 hoặc h = 0 và deg(h) < deg(f). Nếu h = 0 thì g(α) = f(α)q(α) + h(α) suy ra h(α) = 0, điều này mâu thuẫn vì f là đa thức monic có bậc nhỏ nhất nhận α làm nghiệm. Từ đây suy ra h = 0 và vì thế g = fq hay g . . .f. Định nghĩa 1.4.3. Đa thức monic f có bậc nhỏ nhất nhận α làm nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của α, bậc của đa thức tối tiểu của α gọi là bậc của α. Bổ đề 1.4.4. Nếu f là đa thức tối tiểu của α ∈ A thì f bất khả quy trên Q. Chứng minh. Nếu f khả quy thì f = gh với g, h là các đa thức monic thuộc Q[x] và có bậc nhỏ hơn bậc của f. Ta có f(α) = g(α)h(α) = 0. Do Q là miền nguyên nên ta có g(α) = 0 hoặc h(α) = 0. Giả sử g(α) = 0 theo mệnh đề 1.4.2 ta có f | g, suy ra ta có deg(g) ≥ deg(f), điều này là vô lý vì deg(g) < deg(f). Suy ra f bất khả quy. Định lý 1.4.5. Cho α ∈ A có đa thức tối tiểu là f khi đó α ∈ B khi và chỉ khi f ∈ Z[x]. Chứng minh. Giả sử α ∈ A có đa thức tối tiểu f thế thì f(α) = 0. Nếu f ∈ Z[x] thì α ∈ B. Ngược lại, giả sử α ∈ B ta chỉ ra f ∈ Z[x]. Thật vậy do α ∈ A nên f(α) = 0 và f ∈ Q[x], lại vì α ∈ B nên ∃ g ∈ Z[x] g là đa thức monic sao cho g(α) = 0, do đó f | g, theo mệnh đề 1.3.4 thì f ∈ Z[x]. Ta có một tiêu chuẩn sau đây rất hữu ích trong việc xét tính bất khả quy của một đa thức. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Định lý 2.2.4 thì N (β) và T (β) là các số hữu tỷ Ta có n T (β) = n σj (β) và N (β) = j=1 σj (β) j=1 Do β là số nguyên đại số, theo Bổ đề 2.2.6 ta suy ra σj (β) là số nguyên đại số do đó T (β) và N (β) là các số nguyên đại số Vì thế T (β), N (β) ∈ Q ∩ B Ta sẽ chỉ ra Q ∩ B = Z, thật vậy: Nếu a ∈ Q ∩ B thì a ∈ Q đa thức tối thiểu của a là x − a, do a ∈ B nên a là số nguyên đại số suy ra x − a có hệ số. .. nghĩa 2.1.6 (i) Ta gọi trường số Q(α) trong mệnh đề 2.1.1 là một trường số đại số hay đơn giản là một trường số (ii) Giả sử α và β là các số đại số có bậc m và n, ta định nghĩa m−1 n−1 cjk αj β k , cjk ∈ Q} Q(α, β) = { j=0 k=0 Người ta đa chứng minh được rằng Q(α, β) là một trường, và gọi là trường đại số lặp.(Ta hiểu Q(α, β) = (Q(α))(β)) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... 1 0 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Khi đó αβ là một giá trị riêng của 0 0 0 1 0 0 3 0 AB = 0 1 0 1 0 0 3 0 Do đó h(αβ) = 0 với h là đa thức đặc trưng của AB Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương 2 Các trường số 2.1 Trường số đại số Mệnh đề 2.1.1 Cho α là một số đại số bậc... n là cơ sở của K không gian vectơ trên Q 2.4 Vành các số nguyên đại số OK Định nghĩa 2.4.1 Cho trường số K = Q(α), ký hiệu OK = K ∩ B là tập tất cả các số nguyên đại số trên K Khi đó OK cùng với phép cộng và nhân trên K lập thành một vành, gọi là vành các số nguyên đại số trên K Ta thấy nếu K = Q thì OK = Z Định nghĩa 2.4.2 Cho K là một trường số bậc n, Khi đó OK là một nhóm con của K theo phép toán... n Nhưng lại vì A ⊆ OK và A là nhóm abel tự do có hạng n cho nên ta có n ≤ m Vậy ta có m = n Từ định lý trên ta thấy việc chọn cơ sở nguyên của vành các số nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 đại số OK không duy nhất Mệnh đề 2.4.4 Cho K là một trường số bậc n; {β1 , , βn } và {γ1 , , γn } là các cơ sở nguyên của OK Khi đó ∆(β1 , , βn ) = ∆(γ1... d là số chẵn hoặc chúng cùng là số lẻ và m ≡ 1 (mod 4) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Nếu m không đồng dư với 1 theo modulo 4 thì c, d phải là số chẵn và do đó √ √ ta có OK = {a + b m : a, b ∈ Z} = Z[ m] Nếu m ≡ 1 (mod 4) thì c, d là số lẻ và do đó ta có √ √ c+d m 1+ m : c, d ∈ Z ; c ≡ d (mod 2)} = {a + b( ) : a, b ∈ 2√ 2 1+ m Z} = Z 2 OK = { Số hóa...10 Định lý 1.4.6 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho p là một số nguyên tố và n aj xj ∈ Z[x] n f (x) = x + j=0 thỏa mãn: (i) p | aj , với mọi 0 ≤ j < n và (ii) p2 a0 thế thì f là bất khả quy trên Q Ta không chứng minh lại tiêu chuẩn trên, do các chứng minh của nó có thể được tìm thấy trong rất nhiều tài liệu đại số viết về đa thức bất khả quy Ví dụ 1.4.7 Cho p là số nguyên tố và f (x) = 1... bậc hai √ √ Trường bậc hai là một trường số có dạng Q( m) với m ∈ Q nhưng m ∈ Q / √ hay mỗi trường bậc hai là trường số có dạng Q( m) với m không là số chính phương √ √ • Khi m > 0 thì Q( m) là một trường bậc hai thực và Q( m) là một trường con của R √ √ • Khi m < 0 thì Q( m) là một trường bậc hai ảo và Q( m) là trường con của C √ Ta sẽ tìm vành các số nguyên đại số OK khi K = Q( m) là một trường bậc... số nguyên Gọi A là ma trận hệ số của αi β j , suy ra ma trận A có các phần tử nguyên và αV = AV Tương tự ta có ma trận B với các phần tử nguyên mà B V = β V Do đó ta có (A + B)V = (α + β)V; (A − B)V = (α − β)V và (AB)V = (αβ)V Khi V = 0 thì α + β , α − β , αβ là nghiệm của các đa thức đặc trưng của A + B, A − B, AB , mà các đa thức này có hệ số nguyên do đó α + β , α − β , αβ là các số nguyên đại số. .. trường số bậc n, β ∈ OK thế thì β ∈ U (OK ) ⇔ N (β) = ±1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 1 1 ∈ OK ⇒ N (β), N ( ) ∈ Z Ta có β β 1 1 N (β)N ( ) = N (1) = 1 ⇒ N (β) = N ( ) = ±1 β β Ngược lại, giả sử N (β) = ±1 thì ta có n n 1 σj (β) (Chú ý σ1 là phép đồng nhất) Do đó σj (β) = β = ±1 = β j=2 j=1 Chứng minh Nếu β ∈ U (OK ) thì n ± σj (β) là một số nguyên đại số . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————— NGUYỄN MẠNH HÙNG LÝ THUYẾT VỀ SỐ ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người. những lý do như vậy nên tôi chọn lý thuyết về số đại số làm đối tượng nghiên cứu trong luận văn của mình. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 4 chương như sau. Chương 1: Số đại. 1: Số đại số và số nguyên đại số Trong chương này trình bày lại một số kết quả về các đa thức, đa thức đối xứng, đa thức nguyên bản, số đại số, số nguyên đại số. Chương 2: Các trường số Nội dung