Đang tải... (xem toàn văn)
Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————————— NGUYỄN CHÍ THANH PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo . . . . . . . 6 Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học . . . . . 15 2.2. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . 40 2.3. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Minh, Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái, Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng dạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến. Hầu như các bài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển, các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết. Đặc biệt trong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời giải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịch đảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn. Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình. Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép toán này là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Với những lý do đó chúng tôi đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu. Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương. Chương 1. Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tôi sẽ áp dụng vào một số bài toán ở chương 2. Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặc trưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hình khác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a), một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với tâm đường đường tròn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.7-b). Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận dụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Kiến thức cơ bản 1.1. Định nghĩa Đôi nét về định nghĩa: Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)). Một cát tuyến bất kỳ từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểm M, N. Khi đó, ta luôn có AK 2 = AM.AN ". Như vậy ta để ý rằng với một điểm M 0 bất kỳ nằm trên đường tròn (O) thì luôn tồn tại một điểm N 0 khác cũng nằm trên (O) và nằm trên AM 0 sao cho AM 0 .AN 0 = AK 2 . Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một số thực k khác không. Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M thuộc đường thẳng OM sao cho OM.OM = k. Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k (hay tỉ số k). Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I (O,k) hay I k O , ta có I k O (M) = M hoặc I k O : M → M , hay một số sách đưa ra ký hiệu f(O, k), trong luận văn này chúng tôi dùng ký hiệu I k O hoặc f(M) = M sẽ chỉ M là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k. Ta có −−→ OM. −−→ OM = OM.OM vì O, M, M thẳng hàng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo Tính chất 1.2.1. Cực nghịch đảo O không có điểm tương ứng qua phép nghịch đảo. Vì thế phép nghịch đảo không phải là một phép biến hình của mặt phẳng Euclide. Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm duy nhất gọi là "điểm vô tận" và quy ước xem điểm đó là ảnh đồng thời là tạo ảnh của điểm O qua phép nghịch đảo f(O, k). Mặt phẳng được bổ sung điểm vô tận được gọi là mặt phẳng mở rộng. Phép nghịch đảo trên mặt phẳng mở rộng là một song ánh, tức là một phép biến hình. Khi M càng tiến lại gần O là cực nghịch đảo thì ảnh của f(M) sẽ càng tiến ra xa O, tức là nếu M → O thì f(M) → ∞. Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ sung và các đường tròn trong mặt phẳng được gọi là tập hợp các đường tròn nghĩa rộng. Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M 1 , M 2 gọi là đối xứng với nhau qua d nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d. (Ta quy ước: điểm vô tận đối xứng với điểm vô tận). Cho đường tròn (O, R), hai điểm M 1 , M 2 gọi là đối xứng với nhau qua (O, R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k = R 2 . Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tận biến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O, R). Tính chất 1.2.2. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: Qua phép nghịch đảo, nếu điểm M biến thành điểm M thì ngược lại, điểm M biến thành điểm M (hay nếu I k O (M) = M thì ta cũng có I k O (M ) = M, vì OM.OM = k = OM .OM). Như vậy I k O ◦ I k O (M) = M hay (I k O ) 2 là một phép đồng nhất. Tính chất 1.2.3. Đường tròn nghịch đảo: Xét phép nghịch đảo I k O : M → M . Nếu tỷ số k > 0 thì M và M nằm cùng một phía đối với O. Khi đó tập Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo là đường tròn tâm O, bán kính √ k, đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo. Khi đó các điểm M mà thỏa mãn f(M) = M được gọi là các điểm kép (điểm bất động) của phép nghịch đảo f(O, k). Nếu điểm M nằm ở bên trong của đường tròn thì M nằm ở bên ngoài của đường tròn nghịch đảo và ngược lại. Nếu k < 0 thì hai điểm M và M nằm về hai phía đối với O. Khi đó không có điểm kép, cũng không có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợp này đường tròn nghịch đảo của f(O, k) sẽ được gọi là đường tròn bán thực, trong đó tâm của đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo). Tính chất 1.2.4. a) Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0 và M, M là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f(O, k), thì mọi đường tròn qua hai điểm M, M đều trực giao với (O, √ k) (hai đường tròn (O), (O ) được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O) và (O ) cùng vuông góc với nhau). Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M, M đều biến thành chính nó qua f(O, k) với k > 0. b) Nếu (O 1 ) và (O 2 ) lần lượt trực giao với (O, √ k), k > 0 và (O 1 ), (O 2 ) lần lượt cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm này sẽ là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f(O, k). Chứng minh: a) Gọi (O ) là đường tròn đi qua hai điểm M, M và I = (O) ∩(O ). Hình 1.1: Giả sử OI cắt đường tròn O tại điểm thứ hai I khác I, ta có OM.OM = Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 OI.OI . Mặt khác từ giả thiết: OM.OM = OI.OI = k = OI 2 . Do đó I ≡ I , hay OI là tiếp tuyến của đường tròn (O ) ⇔ OI⊥O I, chứng tỏ đường tròn (O ) trực giao với đường tròn (O). Vậy ta có với mọi đường tròn đi qua hai điểm M, M đều trực giao với đường tròn (O, √ k). Hơn nữa với mọi đường tròn (C) đi qua hai điểm M, M , theo chứng minh trên ta có (C) trực giao với (O). Từ O ta kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt (C) tại hai điểm N, N , ta có ON.ON = k, suy ra mọi điểm N thuộc đường tròn (C) qua phép nghịch đảo f(O, k) đều có ảnh là N cũng thuộc đường tròn (C). Vậy chứng tỏ mọi đường tròn (C) qua M, M đều biến thành chính nó qua phép nghịch đảo f(O, k). b) Gọi (O 1 ) ∩ (O 2 ) = {M, M }. Giả sử OM ∩ (O 2 ) = M 1 , ta có OM.OM 1 = k và O, M, M 1 thẳng hàng. (1) Hình 1.2: Mặt khác giả sử OM ∩ (O 1 ) = M 2 , ta có OM.OM 2 = k và O, M, M 2 thẳng hàng. (2) Từ (1) và (2) suy ra M 2 ≡ M 1 ≡ M , hay chứng tỏ M, M là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f(O, k). Tính chất 1.2.5. Phép nghịch đảo f(O, k), k = 0. Thì với hai điểm A, B không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta luôn có A, B, f(A), f(B) là các điểm đồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn). Hơn nữa nếu đặt A = f(A) và B = f(B) thì A B = |k|. AB OA.OB . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chứng minh: Giả sử O, A, B không thẳng hàng và k > 0, khi đó các điểm A , B tương ứng nằm trên các tia OA, OB và OA.OA = OB.OB = k suy ra OA OB = OB OA ⇒ ∆OAB ∆OB A ⇒ A, B, A , B cùng thuộc một đường tròn, ⇒ A B AB = OA OB = OA .OA OB.OA = OA.OA OA.OB = k OA.OB = |k| OA.OB ⇔ A B = |k|.AB OA.OB (∗) Hình 1.3: Biểu thức (∗) đúng với cả O, A, B thẳng hàng và k < 0. Chú ý: Khẳng định f(O, k) : AB → A B là sai! Tính chất ảnh của một đường thẳng hay một đường tròn qua một phép nghịch đảo được nhắc đến ngay sau đây. Tính chất 1.2.6. Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo: a) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo. Chứng minh: Từ cực nghịch đảo O ta hạ OA vuông góc với đường thẳng ∆ đã cho. Gọi B là ảnh của A qua phép nghịch đảo I k O và A là một điểm của ∆ (hình 1.4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo Với định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo đã được giới thiệu ở chương 1 Chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu với các bạn ứng dụng của phép nghịch đảo qua một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng 2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học Ta mở đầu bằng một bài toán quen thuộc sau đây Bài toán này là một dạng quen... tâm của phép nghịch đảo là điểm cố định, chứng minh P P đi qua điểm cố định ta chứng minh 2 k IO : P → P , k 2 = OA2 và OB 2 = OP OP , suy ra (BP P ) tiếp xúc với AB tại B Giúp giải quết bài toán một cách đơn giản, dễ nhìn, một lần nữa cho ta thấy sự ưu việt của phép nghịch đảo trong toán chứng minh hình học phẳng Tiếp theo ta xét bài toán áp dụng tính chất bảo giác của phép nghịch đảo Bài toán 2.1.8... thẳng ∆ và biến các điểm C, D thuộc (C) tương ứng thành các điểm C và D thuộc đường thẳng ∆ Hình 2.9: − −→ − − → − −→ → − Ta có AD.AD = AC.AC và do AD = AC nên AD = AC Vậy CC = DD Nhận xét: Qua phép nghịch đảo f (A, k) với k = AB.AH và áp dụng tính chất 1.2.7-a cho ta lời giải bài toán rất đơn giản, dễ hiểu Vẻ đẹp của phép nghịch đảo qua bài toán chứng minh hình học phẳng càng rõ khi ta xét bài toán. .. xét: Qua phép nghịch đảo bài toán kinh điển trở nên đơn giản, ở đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 đã áp dụng tính chất qua phép nghịch đảo đường thẳng không qua cực nghịch đảo biến thành đường tròn qua cực nghịch đảo và sử dụng tính chất bảo giác của phép nghịch đảo Ý thứ hai khá phức tạp, nhưng qua phép nghịch đảo đã trở nên nhẹ nhàng, dễ hiểu Cụ thể để chứng minh... Nhận xét: Bài toán trở nên nhẹ nhàng, đơn giản khi ta khéo léo kết hợp giữa phép nghịch đảo và phép vị tự, và ở đó ta áp dụng tính chất 1.2.7-b của phép nghịch đảo ta được lời giải bài toán hay Bài toán 2.1.15 Cho một đường thẳng ∆ và một điểm O cố định ở ngoài đường thẳng ấy Ứng với mỗi điểm M chạy trên ∆ người ta vẽ một điểm N trên nửa đường thẳng OM sao cho OM ON = 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... phép nghịch đảo f (O, k) Khi đó với mọi điểm ∀M ∈ d ta có f (O, k) : M → M , theo định nghĩa phép nghịch đảo suy ra O, M, M thẳng hàng, chứng tỏ f (O, k) : d → d Tính chất 1.2.7 Ảnh của một đường tròn qua phép nghịch đảo: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 a) Qua phép nghịch đảo, một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo. .. trên cũng là một dạng bài kinh điển Có tới ít nhất ba cách chứng minh cho bài toán trên, trong đó có một cách biến đổi góc và độ dài các cạnh khá cầu kỳ Có một cách dùng phép vị tự và cách còn lại là vẽ thêm yếu tố phụ song cũng qua một hay hai bước biến đổi góc Một lần nữa, với quan điểm phép nghịch đảo lại cho ta một lời giải đẹp "thuần" tính lý thuyết, không hề một chút tính toán cho bài toán cũ mà... ta //B0 C0 (phép nghịch đảo bảo tồn góc) Khi ấy, ta có ngay AO⊥B0 C0 (vì ta ⊥AO) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Hình 2.1: Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán thuộc dạng kinh điển và quen thuộc Nhiều bạn, thậm chí là các bạn THCS không gặp nhiều khó khăn khi chứng minh bài toán trên Bài toán này trên mathlinks đưa ra và có đến "hàng tá" cách giải Và một trong các... soát, dễ nắm bắt là một trong những đặc tính vô cùng ưu việt của phép biến hình đặc biệt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 này Bài toán trên có thể giải bằng trục đẳng phương bằng cách gọi Q và Q lần lượt là giao điểm của AM, DN và XY rồi chứng minh Q ≡ Q Tiếp theo sẽ lại là một ứng dụng khác của phép nghịch đảo, ta tiếp tục xét bài toán sau: Bài toán 2.1.5 Cho đường... không thuộc cùng một đường tròn và không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng.Chứng minh góc giữa hai đường tròn (ACD), (CDB) bằng góc giữa hai đường tròn (ABC), (ABD) Lời giải: (Hình 2.8) Hình 2.8: Phép nghịch đảo bảo toàn độ lớn của góc, nên để giải bài toán ta xét một phép nghịch đảo thích hợp Đặt (C1 ), (C2 ),(C3 ),(C4 ) tương ứng là các đường tròn (ABC), (ABD), (CBD) và (CAD) (Hình 2.8-h.a) Số . các bài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển, các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học. của phép nghịch đảo qua một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. 2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học Ta mở đầu bằng một bài toán quen thuộc sau đây. Bài toán. nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán