Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 01 LỜI NÓI ĐẦU 02 BẢNG PHÂN CÔNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 03 CHƯƠNG II : ĐỒ THỊ PHẲNG 11 CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG 19 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng. Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bản điện phẳng được không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị. Chúng ta cũng có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không nếu dùng mô hình đồ thị mạng máy tính. Đồ thị với các trọng số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chia kênh cho các đài truyền hình… Như vậy đồ thị nói chung, đồ thị phẳng nói riêng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Qua quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề “Lý thuyết đồ thị”, nhóm chúng em chọn đề tài “Đồ thị phẳng và ứng dụng” để viết tiểu luận này. Tiểu luận gồm 3 chương: Chương 1: Đại cương về đồ thị. Chương 2: Đồ thị phẳng. Chương 3: Ứng dụng. Do thời gian có hạn và năng lực còn hạn chế, tiểu luận không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để tiểu luận hoàn thiện hơn. NHÓM
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 01 LỜI NÓI ĐẦU 02 BẢNG PHÂN CÔNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 03 CHƯƠNG II : ĐỒ THỊ PHẲNG 11 CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG 19 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng. Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bản điện phẳng được không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị. Chúng ta cũng có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không nếu dùng mô hình đồ thị mạng máy tính. Đồ thị với các trọng số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chia kênh cho các đài truyền hình… Như vậy đồ thị nói chung, đồ thị phẳng nói riêng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Qua quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề “Lý thuyết đồ thị”, nhóm chúng em chọn đề tài “Đồ thị phẳng và ứng dụng” để viết tiểu luận này. Tiểu luận gồm 3 chương: Chương 1: Đại cương về đồ thị. Chương 2: Đồ thị phẳng. Chương 3: Ứng dụng. Do thời gian có hạn và năng lực còn hạn chế, tiểu luận không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để tiểu luận hoàn thiện hơn. NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 2 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ Có thể nói lý thuyết đồ thị bắt đầu với tư cách là một ngành Toán học bằng bài báo nổi tiếng của nhà toán học Euler năm 1736 về những cái cầu ở Konigsberg. Nhưng mãi hơn 100 năm sau, tức là vào giữa thế kỷ 19, người ta mới chú ý đến vấn đề về lý thuyết đồ thị, đặc biệt ở nước Anh. Có nhiều lí do dẫn đến sự hồi sinh của Lý thuyết đồ thị. Trước hết đó là các nghiên cứu về mạng điện, các mô hình tinh thể và cấu trúc phân tử. Sự phát triển của Logic hình thức dẫn đến việc nghiên cứu quan hệ hai ngôi dưới dạng đồ thị. Nhiều bài toán đố vui nổi tiếng cũng được phát biểu dưới dạng đồ thị. Bài toán nổi tiếng nhất là Giả thiết bốn màu do DeMorgan đưa ra lần đầu tiên năm 1850. Có thể nói không có bài toán đồ thị nào làm tốn nhiều giấy mực và có nhiều đóng góp cho lý thuyết đồ thị như bài toán giả thiết bốn màu. Ngày nay Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành ngành Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Lý thuyết đồ thị là kiến thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính… 1.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TIÊU BIỂU 1.2.1. Bài toán về những cái cầu ở Konigsberg Năm 1736 Euler, cha đẻ của lý thuyết đồ thị, đã giải được bài toán đố hóc búa nổi tiếng thời đó về những cái cầu ở Konigsberg. Bài toán như sau: Trong thành phố Konigsberg có hai hòn đảo được nối với nhau và hai bờ sông bằng bảy chiếc cầu. Bài toán đặt ra là tìm đường đi qua tất cả bảy cái cầu, mỗi cầu chỉ được qua một lần, sau đó quay về nơi xuất phát. Euler đã chứng minh được rằng bài toán không có lời giải bằng ngôn ngữ đồ thị. 1.2.2. Bài toán mạng điện Năm 1847 Kirchoff xây dựng lý thuyết các vòng để giải các hệ phương trình tuyến tính tương thích cho phép tìm giá trị cường độ dòng điện trên mỗi dây dẫn và trong mỗi mạch vòng của mạch điện. Biểu diễn mạng điện bằng đồ thị ông đã chỉ ra rằng để giải hệ phương trình không nhất thiết phải xét riêng rẽ từng vòng của đồ thị mạng điện. Thay vào đó ông đề xuất thuật toán hữu hiệu (sau này trở thành thuật toán chuẩn), mà theo đó chỉ cần giới hạn trong việc xét các vòng đơn NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 3 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG độc lập của đồ thị xác định bởi một trong số các cây khung của đồ thị. 1.2.3. Bài toán các đồng đẳng hóa học Khi nghiên cứu những bài toán hóa hữu cơ năm 1857 Kelly đã phát minh một lớp đồ thị quan trọng gọi là cây. Ông cố gắng tính số đồng đẳng no của Hydro cacbon C n H 2n+2 với số nguyên tử cacbon cho trước là n. Viêc nghiên cứu trên đã dẫn đến bài toán về cây: tìm số tất cả các cây với p đỉnh có các đỉnh là bậc 1 và 4. Muộn hơn, vào năm 1869 Jordan độc lập với Kelly cũng đã nghiên cứu các cây như là đối tượng toán học. 1.2.4. Bài toán người du lịch Một người du lịch muốn tham quan n thành phố 1, 2,…, n. Xuất phát từ thành phố nào đó người du lịch đi qua tất cả các thành phố, mỗi thành phố chỉ qua đúng một lần, sau đó quay về nơi xuất phát. Trò chơi này được Hamilton nghĩ ra năm 1859. Ông biểu diễn các thành phố và đường đi nối chúng với nhau bằng đa diện đều 20 đỉnh. Một đường đi như vậy gọi là chu trình Hamilton. Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát việc xác định sự tồn tại một đường đi như vậy (đường đi Hamilton) là bài toán khó và cho đến nay vẫn chưa có lời giải tổng quát. 1.2.5. Bài toán bốn màu Bài toán này xuất phát từ việc tô màu bản đồ. Ta nói rằng bản đồ có thể tô bằng 4 màu nếu có thể tô màu các nước bằng 4 màu sao cho không có hai nước láng giềng chung biên giới được tô bởi cùng một màu. Giả thiết 4 màu được phát biểu: Mọi bản đồ phẳng (vẽ trên mặt phẳng) hoặc cầu (vẽ trên mặt cầu) có thể tô bằng 4 màu. Bài toán 4 màu lần đầu tiên được nhắc đến trong các bài giảng của nhà toán học Mobius năm 1840. Tuy nhiên bài toán chỉ trở thành nổi tiếng năm 1852 nhờ nhà toán học DeMorgan. Ông này biết được bài toán qua một sinh viên là Franci Gutrie và đã viết thư gửi cho Hamilton nhờ giải hộ. Trong thời gian dài giả thiết 4 màu không được chứng minh cũng như phủ định và là một trong những bài toán nổi tiếng hóc búa trong lịch sử toán học. Năm 1879 nhà toán học nghiệp dư, luật sư Alfred Kempe đưa ra lời giải, nhưng đến năm 1890 Percy Heawood chỉ ra chỗ sai của chứng minh. Heawood đồng thời cũng chứng minh được là chỉ cần 5 màu là có thể tô màu các bản đồ. Năm 1920 Filip Franklin chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước n = 25. NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 4 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Năm 1926 Reynolds chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước n = 27. Năm 1936 Filip Franklin chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước n = 31. Năm 1938 Winn C.E. chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước n = 35. Năm 1968 Ore và Stemple chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước n = 39. Năm 1977 Appel K. và W. Haken cùng J.Koch chứng minh giả thiết 4 màu với sự trợ giúp của máy tính. Gần đây, năm 1987 Roberston, Sanders, Seymour và Thomas đã đưa ra chứng minh khác ngắn gọn hơn. Các chứng minh trên đều sử dụng máy tính và đến nay vẫn chưa có chứng minh bằng suy luận toán học thuần túy. 1.3. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.3.1. Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng • Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e∈E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự) như hình sau: • Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cạnh e∈E được liên kết với một cặp đỉnh (v, w) có thứ tự như hình sau: Cho đồ thị có hướng G = (V, E). Nếu ta thay mỗi cung của đồ thị G bằng một cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ thị lót của đồ thị có hướng G. • Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E). Nếu cạnh e ∈ E liên kết đỉnh v và w, ta nói e liên thuộc đỉnh v, w; đỉnh v và w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v gọi là kề đỉnh w. Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu, w gọi là đỉnh cuối của cung e. NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 5 v e w v e w LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG • Cạnh song song: là các cạnh cùng liên kết với một cặp đỉnh. • Khuyên: là cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau. • Đỉnh cô lập: là đỉnh không kề với đỉnh khác. • Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị. • Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn. • Đồ thị đơn: là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song. • Đồ thị vô hướng đủ: là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau. • Đồ thị có hướng đủ: là đồ thị có đồ thị lót đủ. 1.3.2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra Cho đồ thị G = (V, E). • Bậc: Giả sử đỉnh v∈V có p khuyên và q cạnh liên thuộc (không phải là khuyên). Khi đó bậc của đỉnh v là 2p+q và ký hiệu là deg G (v) hoặc deg(v). Số bậc đỉnh lớn nhất của G ký hiệu là ∆(G), số bậc đỉnh nhỏ nhất của G ký hiệu là δ(G) Đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0. Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1. • Nửa bậc: Cho đồ thị có hướng G = (V, E). + Nửa bậc ra của đỉnh v∈V, kí hiệu deg o (v) là số cung đi ra từ đỉnh v. + Nửa bậc vào của đỉnh v∈V, kí hiệu deg i (v) là số cung đi vào đỉnh v. • Bổ đề bắt tay (Hand Shaking Lemma). Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó: (i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và ∑ ∈ = Vv Ecardv )(.2)deg( (ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì )()(deg)(deg Ecardvv Vv I Vv o == ∑∑ ∈∈ trong đó card(E) ký hiệu số phần tử của tập E. Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn. • Đồ thị K n là đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh đều có duy nhất một cạnh liên kết). Mọi đỉnh của đồ thị K n có bậc là n-1 và K n có n(n-1)/2 cạnh. NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 6 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG • Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V 1 , V 2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V 1 và một đỉnh thuộc V 2 , ký hiệu: G = ({V 1 , V 2 }, E) • Đồ thị K m,n là đồ thị lưỡng phân ({V 1 , V 2 }, E) với tập V 1 có m đỉnh và tập V 2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V 1 được nối với một đỉnh của V 2 bằng một cạnh duy nhất. 1.4. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ 1.4.1. Ma trận kề a. Đồ thị vô hướng • Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v 1 ,v 2 ,…,v n . Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (a ij ) n×n , trong đó a ij là số cạnh (khuyên) nối v i với v j . Lưu ý rằng khi tính bậc của đỉnh mỗi khuyên được tính hai bậc. Từ định nghĩa suy ra rằng ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn đối xứng qua đường chéo chính. Mệnh đề. Cho đồ thị G = (V,E) với ma trận kề (a ij ). Khi đó Deg(v i ) = ,∀v i ∈V Định lý. Cho đồ thị đơn G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1 ,v 2 ,…,v n } và ma trận kề của đồ thị G là ma trận A = (a ij ) n×n . Giả sử A k = (c ij ) n×n , k ≥ 1.Khi đó c ij , i ≠j, là số dây chiều dài k từ đỉnh v i đến đỉnh v j . Đặc biệt phần tử trên ô [i,i], 1≤ i ≤ n, của A 2 là bậc của đỉnh v i . Hệ quả. Cho đồ thị đơn G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1 ,v 2 ,…,v n } và ma trận kề của đồ thị G là ma trận A = (a ij ) n×n . Ký hiệu T = A + A 2 +…+A n-1 . Khi đó đồ thị G liên thông khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận T đều lớn hơn 0. b. Đồ thị có hướng. • Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v 1 ,v 2 ,…,v n . Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (a ij ) n×n , trong đó a ij là số cung đi từ v i tới v j . Mệnh đề. Cho đồ thị có hướng G = (V,E) với ma trận kề (a ij ). Khi đó Deg o (v i ) = & deg i (v i ) = ,∀v i ∈V NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 7 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Định lý. Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1 ,v 2 ,…,v n } và ma trận kề của đồ thị G là ma trận A = (a ij ) n×n . Giả sử A k = (c ij ) n×n , k ≥ 1.Khi đó c ij , i ≠j, là số dây có hướng chiều dài k từ đỉnh v i đến đỉnh v j . Hệ quả. Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = {v 1 ,v 2 ,…,v n } và ma trận kề của đồ thị G là ma trận A = (a ij ) n×n . Ký hiệu T = A + A 2 +…+A n-1 . Khi đó đồ thị G liên thông mạnh khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận T đều lớn hơn 0. 1.4.2. Ma trận liên thuộc a. Đồ thị vô hướng • Cho đồ thị đơn G=(V,E) có n đỉnh, V={v 1 ,v 2 ,…,v n } và m cạnh E={e 1 ,e 2 , …,e m }. Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (a ij ) n×m thỏa mãn: a ij =1, nếu đỉnh v i liên thuộc cạnh e j . a ij =0, nếu đỉnh v i không liên thuộc cạnh e j . Mệnh đề. Cho đồ thị đơn G = (V,E) với ma trận liên thuộc (a ij ). Khi đó Deg(v i ) = ,∀v i ∈V b. Đồ thị có hướng • Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1 ,v 2 ,…,v n } và m cung E = {e 1 ,e 2 , …,e m }. Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (a ij ) n×m thỏa mãn: a ij =1, nếu đỉnh v i là đỉnh đầu của cung e j . a ij = -1, nếu đỉnh v i là đỉnh cuối của cung e j . a ij =0, nếu đỉnh v i không liên thuộc cung e j . Mệnh đề. Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) với ma trận liên thuộc (a ij ). Khi đó: Deg o (v i ) = ,∀v i ∈V Deg I (v i ) = ,∀v i ∈V 1.4.3. Danh sách cạnh (cung) Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có n đỉnh và m cạnh hoặc cung thỏa mãn m < 6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách cạnh (cung). NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 8 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Trong cách biểu diễn đồ thị bởi danh sách cạnh (cung) chúng ta sẽ lưu trữ tất cả danh sách các cạnh (cung) của đồ thị vô hướng (có hướng). Một cạnh (cung) e=(x,y) của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e]. Như vậy để lưu trữ đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhược điểm của cách biểu diễn này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị kề với một đỉnh cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danh sách tất cả các cạnh hoặc cung của đồ thị). Chú ý: Trong trường hợp đồ thị có trọng số ta cần thêm m đơn vị bộ nhớ để lưu trữ trọng số của các cạnh. 1.4.4. Danh sách kề Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách kề là cách biểu diễn hợp lý nhất. Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị chúng ta lưu trữ danh sách các đỉnh kề với nó, mà ta sẽ ký hiệu là Ke(v) ={ u ∈V/ (v,u) ∈ E}. Khi đó vòng lặp thực hiện với mỗi một phần tử trong danh sách này theo thứ tự các phần tử được sắp xếp trong nó sẽ được viết như sau: Với mọi u ∈ Ke(v) do <công việc>. 1.5. ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU • Đồ thị đẳng cấu. Hai đồ thị G 1 = (V 1 ,E 1 ) và G 2 = (V 2 ,E 2 ) gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh f : V 1 → V 2 và g : E 1 → E 2 thỏa mãn: ∀e ∈ E 1 : e = (v,w) ⇔ g(e) = (f(v),f(w)). Cặp ánh xạ (f,g) gọi là một đẳng cấu từ G 1 đến G 2 . Mệnh đề. Hai đơn đồ thị G 1 = (V 1 ,E 1 ) và G 2 = (V 2 ,E 2 ) gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh f : V 1 → V 2 thỏa mãn : ∀v, w ∈ V 1 : v kề w ⇔ f(v) kề f(w). Định lý. Cho G 1 = (V 1 ,E 1 ) và G 2 = (V 2 ,E 2 ) là hai đơn đồ thị. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) G 1 đẳng cấu với G 2 . (ii) Hai ma trận kề tương ứng bằng nhau sau khi thay đổi thứ tự các hàng và cột nếu cần thiết. • Tính chất bất biến. Một tính chất P gọi là bất biến nếu mọi cặp đồ thị đẳng cấu G 1 và G 2 thỏa mãn G 1 có tính chất P khi và chỉ khi G 2 có tính chất P. Do đó để chứng minh hai đồ thị không đẳng cấu ta phải tìm ra tính chất bất biến nào đó mà một đồ thị có, còn đồ thị kia không có. NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 9 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Định lý. Cho G 1 = (V 1 ,E 1 ) và G 2 = (V 2 ,E 2 ) là hai đồ thị đẳng cấu. Khi đó: (i) G 1 và G 2 có số cạnh và số đỉnh bằng nhau. (ii) Với mọi số k tự nhiên, số đỉnh bậc k của G 1 và G 2 bằng nhau. (iii) Với mọi số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k của G 1 và G 2 bằng nhau. • Đồ thị bù. Xét đơn đồ thị G =(V,E). Đồ thị bù của G là đơn đồ thị = (V, ) với tập các cạnh được định nghĩa như sau: = {(u,v) / u, v ∈V & (u,v) ∉E}. Mệnh đề. Hai đơn đồ thị đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi các đồ thị bù của chúng đẳng cấu với nhau. • Đồ thị đường. Cho đồ thị G =(V,E). Đồ thị đường của G, ký hiệu L(G), là đồ thị có các đỉnh tương ứng với các cạnh của G và hai đỉnh kề nhau trong L(G) nếu các cạnh tương ứng trong G kề nhau. Mệnh đề. Cho hai đơn đồ thị G 1 = (V 1 ,E 1 ) và G 2 = (V 2 ,E 2 ) đẳng cấu với nhau. Khi đó các đồ thị đường của chúng đẳng cấu với nhau. NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 10 [...]...LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG CHƯƠNG II ĐỒ THỊ PHẲNG 2.1 ĐỒ THỊ PHẲNG • Đồ thị hình học phẳng Một đồ thị gọi là đồ thị hình học phẳng nếu nó được biểu diễn trên mặt phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau • Đồ thị phẳng Một đồ thị gọi là phẳng nếu nó đẳng cấu với đồ thị hình học phẳng Với một đồ thị hình học phẳng liên thông, mặt phẳng được chia làm các miền con gọi... của đồ thị và các đường cong Jordan không cắt nhau (trừ các đỉnh đồ thị) biểu diễn các cạnh đồ thị Ví dụ: đồ thị phẳng là đồ thị nhúng được vào mặt phẳng • Định lý 2.4.2 Một đồ thị nhúng được vào mặt phẳng khi và chỉ khi nó nhúng được vào mặt cầu • Định lý 2.4.3 Mọi đồ thị hữu hạn nhúng được vào không gian Euclide ba chiều 2.5 TÔ MÀU ĐỒ THỊ 2.5.1 Tô màu đỉnh Mỗi bản đồ có thể coi là một đồ thị phẳng. .. gọn nối tiếp Đồ thị G’ thu được gọi là đồ thị rút gọn từ G • Đồ thị đồng phôi Hai đồ thị G1 và G2- gọi là đồng phôi nếu G1 và G2 có thể rút gọn thành những đồ thị đẳng cấu qua một số phép rút gọn nối tiếp • Định lý (Kuratowski) Đồ thị G là đồ thị phẳng khi và chỉ khi G không chứa đồ thị con đồng phôi với đồ thị K5 hoặc K3,3 2.4 NHÚNG ĐỒ THỊ Trong nhiều trường hợp chúng ta muốn biểu diễn đồ thị trong không... của đồ thị • Mệnh đề Mọi chu trình của đồ thị phẳng có độ dài chẵn khi và chỉ khi mọi mặt của đồ thị đều có bậc chẵn • Đồ thị tuyến tính phẳng Đồ thị G gọi là đồ thị tuyến tính phẳng nếu G là đồ thị hình học phẳng có tất cả các cạnh là đoạn thẳng • Định lý Mỗi đơn đồ thị phẳng đẳng cấu với đồ thị tuyến tính phẳng 2.2 CÔNG THỨC EULER • Định lý 2.2.1 (công thức Euler) Cho G là đồ thị liên thông phẳng. .. Trang 29 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG KẾT LUẬN Qua tiểu luận này chúng em đã làm được một số vấn đề sau: Hệ thống và trình bày một cách chi tiết lý thuyết về đồ thị và đồ thị phẳng Ứng dụng của đồ thị phẳng trong việc giải các bài toán về logic, số học Ứng dụng bài toán tô màu đồ thị trong việc lập lịch thi, phân chia kênh truyền hình, điều khiển đèn hiệu nút giao thông Hy vọng nội dung của tiểu luận. .. CẤP Trang 15 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Giả sử ta tô màu các cạnh của đồ thị G = (V,E) Công việc này có thể đưa về việc tô màu các đỉnh của đồ thị đường L(G).Từ đó ta có kết quả sau: χ’(G) = χ( L(G)) NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 16 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG 2.6 Bài tập Bài 1: Chứng minh các đồ thị sau là không phẳng: Đồ thị Peterson: a e j f g i h d b c Bài giải: Xác định đồ thị con bằng... và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 7, 2 và 3, 2 và 4, 2 và 5, 2 và 7, 3 và 4, 3 và 7, 4 và 5, 4 và 6, 5 và 7, 6 và 7 Hình dưới đây biểu diễn đồ thị tương ứng Việc lập lịch thi chính là việc tô màu đồ thị này 1 2 7 6 3 5 4 Hình 3.2.2 Đồ thị biểu diễn bài toán lập lịch thi Vì số màu của đồ thị này là 4 (vì chẳng hạn đỉnh 1 kề với 3 đỉnh khác nên số màu phải không ít hơn 4) và một cách tô đồ thị bởi 4 màu là:... đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v≥3), không có đỉnh treo và không có chu trình có độ dài 3 Khi đó ta có: e ≤ 2v – 4 • Hệ quả 2.2.4 Đồ thi K3,3 là đồ thị không phẳng 2.3 ĐỊNH LÝ KURATOWSKI NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 11 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG • Phép rút gọn nối tiếp Cho đồ thị G có đỉnh v bậc 2 với các cạnh (v,v1) và (v,v2) Nếu ta bỏ các cạnh (v,v1) và (v,v2) và thay... đồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 Chứng minh : Các mặt của đồ thị phẳng tô được bằng 2 màu khi và chỉ khi các đỉnh của đồ thị đối ngẫu tô được bằng 2 màu, tức là, khi và chỉ khi mọi chu trình của đồ thị đối ngẫu đều có độ dài chẵn Và điều đó tương đương với việc mọi đỉnh của đồ thị ban đầu có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 Định lý 2.5.6 (Định lý 5 màu của Kempe-Heawood): Mọi đồ thị. .. không phẳng? nếu đồ thị là phẳng thì có thể kẻ thêm ít nhất là bao nhiêu cạnh để được đồ thị không phẳng? a) b) a’ a b b a c b’ d’ g d c h e d c’ Bài giải: a) Đồ thị được cho là phẳng Nếu kẻ thêm cạnh (a, c’) thì đồ thị nhận được là không phẳng vì có đồ thị con K3,3 với tập đỉnh được chia thành hai tập con là {a, b’, c} và {a’, b, c’} b) Đồ thị được cho là không phẳng vì chứa đồ thị con đồng phôi với . CẤP Trang 10 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG CHƯƠNG II ĐỒ THỊ PHẲNG 2.1. ĐỒ THỊ PHẲNG • Đồ thị hình học phẳng. Một đồ thị gọi là đồ thị hình học phẳng nếu nó được biểu diễn trên mặt phẳng sao cho. Lý thuyết đồ thị , nhóm chúng em chọn đề tài Đồ thị phẳng và ứng dụng để viết tiểu luận này. Tiểu luận gồm 3 chương: Chương 1: Đại cương về đồ thị. Chương 2: Đồ thị phẳng. Chương 3: Ứng dụng. Do. 17 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Bài 4. Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là phẳng, đồ thị nào là không phẳng? nếu đồ thị là phẳng thì có thể kẻ thêm ít nhất là bao nhiêu cạnh để được đồ thị