Đang tải... (xem toàn văn)
Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại i dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh H X X ∗ X R n n ∅ x := y x y ∀x x ∃x x I A ∩ B A T A a ∼ b a b A ∗ A D(A) A R(A) A x k → x {x k } x x k x {x k } x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh X X ∗ X . A : X → X ∗ f ∈ X ∗ x 0 ∈ X A(x 0 ) = f. A H x h,δ α F h,δ α (x) = A h (x) − f δ 2 + αx ∗ − x 2 α > 0 h δ x ∗ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh (A h , f δ ) (A, f) α = α(h, δ) x h,δ α(h,δ) h δ A : X → X ∗ B : X → X ∗ h A h (x) + αB(x) = f δ . X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh A : X → X ∗ X X ∗ D(A) ⊆ X D(A) ≡ X R(A) X ∗ A Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X. A x = y Gr(A) A X × X ∗ Gr(A) = {(x, y) : y = Ax}. A x ∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x ∗ ∈ Ax, y ∗ ∈ Ay. Gr(A) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Gr(A) X × X ∗ A ∀x ∈ X Ax, x ≥ 0 A A ≥ 0 A X H A : H → H Ax − Ay ≤ x − y, ∀x, y ∈ X. I − A I H A : R M → R M A = B T B, B M A δ(t) t ≥ 0 δ(0) = 0 Ax − Ay, x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ X. δ(t) = c A t 2 c A A A h X A(x + ty) Ax t → 0 x, y ∈ X A d X x n → x Ax n Ax n → ∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh ϕ(x, y) = xy 2 (x 2 + y 4 ) (x, y) = (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) (0, 0) (0, 0) h (0, 0). h X d A : X → X ∗ lim x→∞ Ax, x x = ∞, ∀x ∈ X. U s : X → X ∗ U s (x) = {x ∗ ∈ X ∗ : x ∗ , x = x ∗ s−1 .x = x s , s ≥ 2} X s = 2 U s U X H I H X = L p (Ω) 1 < p < ∞ Ω R n U (Ux)(t) = x 2−p |x(t)| p−2 x(t), t ∈ Ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh L p (Ω) U s U s (x) − U s (y), x − y ≥ m U x − y s , m U > 0, U s (x) − U s (y) ≤ C(R)x − y ν , 0 < ν ≤ 1, C(R) R = max{x, y} X ∗ U : X → X ∗ d X U X f ∈ X ∗ A h X X ∗ A(x) − f, x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ X, A(x 0 ) = f A X A(x 0 ) − f, x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ X. X f : X → R X • f X lim inf y→x f(y) ≥ f(x), ∀x ∈ X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh [...]... chúng t i trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử lo i I dựa trên việc sử dụng toán tử tuyến tính đơn i u mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Một số kết quả cơ bản về sự h i tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ h i tụ của nghiệm hiệu chỉnh được trình bày trong mục này Mục 2.2 đề cập đến việc xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của phương trình toán tử lo i I Một... I Một phương pháp lặp tìm nghiệm hiệu chỉnh của phương trình toán tử lo i I được trình bày trong mục 2.3 cùng v i một ví dụ minh họa Các kết quả của chương này được tham khảo trong hai b i báo của Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy [6], [8] 2.1 Hiệu chỉnh dựa trên toán tử tuyến tính đơn i u mạnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, f X , trong đó xạ X (2.1) A là một toán tử đơn i u và h-liên tục... không gian Banach phản vào X Nếu toán tử A không có tính đơn i u đều hoặc đơn i u mạnh thì b i toán (2.1), n i chung, là một b i toán đặt không chỉnh Giả sử (2.1) có nghiệm, tức là của (2.1) Khi đó, S0 cũng giả sử đ i v i X f R(A) Ta kí hiệu là một tập đóng và l i trong X S0 là tập nghiệm (Định lý 1.2.5) Ta tồn t i một toán tử tuyến tính đơn i u mạnh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Th i Nguyờn... v i m i A là toán tử đơn i u cực > 0, R(A + U ) là toàn bộ X Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn i u, X bị chặn nào từ X Định lý 1.2.3 (xem [4]) Cho B : X X vào X, h-liên tục và cũng đều là toán tử đơn i u cực đ i X là một không gian Banach thực phản xạ, là một toán tử đơn i u, là toán tử đơn i u cực đ i Khi đó h-liên tục và bị chặn, A : X X A+B cũng là một toán tử đơn i u... 2.2.1 nghiệm x n V i m i > 0 và f X , i u kiện cần và đủ để dãy của (2.9) h i tụ đến nghiệm hiệu chỉnh hiệu chỉnh (2.2) là x của phương trình Pn x x, khi n +, v i m i x X Chứng minh i u kiện cần: Lấy bất kì một phần tử phương trình hiệu chỉnh (2.2) ta có x X Khi đó, do tính chất của x x, khi 0, ở đây x là nghiệm của phương trình A(x) + Bx = A(x) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Th i Nguyờn... nhất {x } thoả mãn Ngo i ra, nếu , thì dãy nghiệm Bx1 , x x1 0, h i tụ đến x S0 (2.4) Chứng minh Trước hết ta chứng minh phương trình (2.2) có nghiệm Thật vậy, vì D(A) = X, 1.2.4 ta có và A A là toán tử đơn i u cực đ i tính đơn i u mạnh nên gi i n i và là toán tử đơn i u, B h-liên tục nên theo Định lý Mặt khác, do là toán tử liên tục từ D(B) B là toán tử tuyến vào X h-liên tục Do đó, theo Định... = min x x , xS0 v i S0 = {x X : A(x) = A(x0 ) = f } S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Th i Nguyờn 19 http://www.lrc-tnu.edu.vn 20V ỡnh Chin - Hiu chnh phng trỡnh Toỏn t loi I da trờn Toỏn t tuyn tớnh n iu mnh Chương 2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử lo i I Chương này đề cập đến một số phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử lo i I trong không gian Banach phản xạ thực vô hạn chiều và được trình. .. gian Banach i m Y là một toán tử từ không gian Banach Toán tử A được g i là khả vi Fréchet t i x X , nếu tồn t i T L(X, Y ) sao cho: A(x + h) = A(x) + T h + O( h ), v i m i h thuộc một lân cận của i m Nếu tồn t i, thì T hàm Fréchet của 1.2 được g i là đạo A t i i m x, ta viết A (x) = T Phương trình toán tử đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử lo i I A(x) = f, S húa bi Trung tõm Hc liu i. .. xác định trên là toán tử đơn i u cực đ i Ngo i ra, nếu A X Khi đó là toán tử bức thì ta có R(A) = X Ký hiệu S0 là tập nghiệm của phương trình (1.3), giả thiết nghiệm tồn t i Ta có định lý sau (xem [4]) Định lý 1.2.5 A : X X Cho là tập tất cả các phần tử Ax = f Khi đó S0 Chứng minh Lấy x0 X là toán tử đơn i u cực đ i G i sao cho x0 là tập l i và đóng trong S0 là nghiệm của phương trình X f1 ,... h i yn = A(xn ), y = A(x) A suy ra yn y Khi đó, do tính và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Tuy nhiên, cũng có một v i trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử v i toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định toán tử A D(A) của là hữu hạn chiều thì m i dãy h i tụ yếu đều h i tụ mạnh, do đó chứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán . Số hóa b i Trung tâm Học liệu – Đ i học Th i Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử lo i I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn i u mạnh Số hóa b i Trung. f δ . X Số hóa b i Trung tâm Học liệu – Đ i học Th i Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử lo i I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn i u mạnh Số hóa b i Trung. {x k } x Số hóa b i Trung tâm Học liệu – Đ i học Th i Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Toán tử lo i I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn i u mạnh X X ∗ X .