Đang tải... (xem toàn văn)
TỨ GIÁC. + Dạng 1: Nhận biết tứ giác lồi. + Dạng 2: Tính số đo góc. + Dạng 3: Tính chu vi, diện tích hình tứ giác. + Dạng 4: Chứng minh hình học. HÌNH THANG CÂN. + Dạng 1: Tính số đo góc. + Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng hoặc góc bằng nhau. + Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình thang cân. HÌNH BÌNH HÀNH. + Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành. + Dạng 2: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học. + Dạng 3: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy. HÌNH CHỮ NHẬT. + Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật. + Dạng 2: Áp dụng vào tam giác vuông. + Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng. HÌNH THOI. + Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình thoi. + Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất khác. + Dạng 3: Tính độ dài cạnh, góc, diện tích hình thoi. HÌNH VUÔNG. + Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình vuông. + Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vuông để chứng minh các tính chất hình học. + Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác là hình vuông. BÀI TẬP TỔNG HỢP TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC.
PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 1/7 TỨ GIÁC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tứ giác ABCD : Hai cạnh kề (chẳng hạn : AB; BC) không thuộc đường thẳng Khơng có ba đỉnh thẳng hàng Có thể đọc góc theo tên đỉnh, chẳng hạn góc ABC cịn gọi góc B góc cịn gọi góc tứ giác Tứ giác có cạnh, đường chéo, đỉnh góc Tứ giác lồi: Tứ giác lồi tứ giác nằm phía đường thẳng chứa cạnh tứ giác Chẳng hạn, hình 1.1 tứ giác lồi; hình 1.2 khơng phải tứ giác lồi Hình 1.1 Hình 1.2 Tổng góc tứ giác: Tổng góc tứ giác 360 B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Nhận biết tứ giác lồi Dựa vào phần nhận biết tứ giác lồi Ví dụ Quan sát hình vẽ bên cho biết hình tứ giác lồi Đọc tên cạnh, đỉnh, góc tứ giác lồi A O F G J K B D C Hình a Lời giải: H I E Hình b Các tứ giác lồi hình a, hình b, hình c L Hình c N S P Q M Hình d T R Hình e PHIẾU BÀI TẬP TỐN Tứ giác ABCD có : cạnh AB; BC; CD; AD Đỉnh đỉnh A; B; C; D Góc góc A; B; C; D Tứ giác FGHE có : cạnh FG; GH; EH;EF Đỉnh đỉnh F; G; H; E Góc góc F; G; H; E Tứ giác IJKL có : cạnh JK; KL; JL; IJ Đỉnh I; J; K; L Góc góc I; J; K; L Dạng 2: Tính số đo góc Dựa vào định lý tổng bốn góc tứ giác Ví dụ Tìm x hình vẽ a) Hình 1.3 b) Hình 1.4 Lời giải a) Ta có tổng góc tứ giác 360 nên ˆ Bˆ Cˆ Dˆ 360 x x 50 110 360 x 100 A b) Ta có tổng góc tứ giác 360 nên ˆ Nˆ Pˆ Qˆ 360 x 2x x 2x 360 6x 360 x 60 M Dạng 3: Tính chu vi, diện tích hình tứ giác Vận dụng kiến thức chu vi , diện tích mơt số hình học Ví dụ Tùng làm diều có dạng tứ giác ABCD Cho biết AC trung trực BD AC = 90 cm, BD = 60 cm Tính diện tích thân diều Lời giải Tứ giác ABCD có AC ⊥ BD (AC trung trực BD) Do : = S ABCD Ví dụ 60.90 2700(cm ) = Trang 2/7 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 3/7 Tứ giác Long Xuyên vùng đất vùng đất hình tứ giác thuộc vùng đồng sơng Cửu Long địa phạn ba tỉnh thành : Kiêng Giang, An Giang Cần Thơ, Bốn cạnh tứ giác biên giới Việt Nam – Campu chia, vịnh Thái Lan, kênh Cải Sắn sông Bassac (sông Hậu) Bốn đỉnh tứ giác thành phố Long Xuyên, thành phố Châu Đốc, thị xã Hà Tiên thành phố Rạch Giá (như hình vẽ bên dưới) Tính góc cịn lại tứ giác ABCD Lời giải Ta có Cˆ 450 330 780 Áp dụng định lí tổng bốn góc tứ giác ta có : ˆ Bˆ Cˆ Dˆ 3600 A ˆ 3600 1000 78 1200 3600 298 620 A Dạng 4: Chứng minh hình học Vận dụng kiến thức học lớp tam giác, chu vi, đường trung trực đoạn thẳng; đường đặc biệt tam giác,… để chứng minh Ví dụ Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh: a) AC BD AB CD ; b) AC BD AD BC Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có OA OB AB (OAB ); OC OD CD (OCD ); AC BD AB CD b) Tương tự trên, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có OA OD AD (OAD ) OB OC BC (OCB ) AC BD AD BC C BÀI TẬP VẬN DỤNG PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 4/7 Bài Cho tứ giác ABCD có AB BC ; CD DA a) Chứng minh BD đường trung trực AC ; ˆ Cˆ b) Cho Bˆ 100 , Dˆ 80 Tính A Lời giải a) Vì AB BC suy B thuộc đường trung trực AC Vì DA DC D thuộc đường trung trực AC BD đường trung trực AC b) Xét ABD CBD có AB AC (giả thiết); AD DC (giả thiết); BD : cạnh chung ˆ Cˆ ABD CBD (c.c.c), suy A ˆ Bˆ Cˆ Dˆ 360 A ˆ Cˆ 90 Vậy A Bài Cho tứ giác ABCD , biết ˆ Bˆ Cˆ A Dˆ Tính góc tứ giác ABCD ˆ 36 , Bˆ 72 ; Cˆ 108 , Dˆ 144 ĐS: A Lời giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số ˆ Bˆ Cˆ Dˆ ˆ Bˆ Cˆ Dˆ 360 A A 36 1234 10 ˆ 36 , Bˆ 72 ; Cˆ 108 , Dˆ 144 Vậy A ˆ 10 , Pˆ Nˆ 10 , Qˆ Pˆ 10 Hãy tính góc tứ giác Bài Cho tứ giác MNPQ có Nˆ M ˆ 75 ; Nˆ 85 ; Pˆ 95 ; Qˆ 105 MNPQ ĐS: M Lời giải N P Q 360 Ta có M ˆ 10 , Pˆ Nˆ 10 M ˆ 20 , Qˆ Pˆ 10 M ˆ 30 vào biểu thức trên, ta Thay Nˆ M N P Q 360 M M 10 M 20 M 30 360 M 60 360 M 75 4M ˆ 75 ; Nˆ 85 ; Pˆ 95 ; Qˆ 105 Vậy M ˆ Bˆ ˆ Bˆ 10 Tính số đo A Bài Tứ giác ABCD có Cˆ 60 , Dˆ 80 , A PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 5/7 ˆ 115 , Bˆ 105 ĐS: A Lời giải ˆ Bˆ 10 ˆ Bˆ 360 Cˆ Dˆ 360 80 60 220 mà A Ta có A ˆ 220 10 115 , Bˆ 220 115 105 A Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với O a) Chứng minh AB CD AD BC ; b) Cho AD cm, AB cm, BC 10 cm Tính độ dài CD ĐS: CD 11 cm Lời giải a) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OAB , ta có AB OA2 OB Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng OBC , ta có BC OB OC Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng OCD , ta có CD OC OD Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OAD , ta AD OA2 OD AB CD AD BC OA2 OB OC OD b) Theo câu trên, ta có AB CD AD BC 22 CD 52 102 CD 121 CD 11 D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Tìm x hình vẽ a) Hình 1.5 b) Hình 1.6 c) Hình 1.7 d) Hình 1.8 ĐS: a) 90 ; b) 90 ; c) 80 ; d) 70 Lời giải a) Ta có tổng góc tứ giác 360 nên ˆ Bˆ Cˆ Dˆ 360 50 100 120 x 360 x 90 A PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 6/7 b) Ta có tổng góc tứ giác 360 nên ˆ Nˆ Pˆ Qˆ 360 90 90 90 x 360 6x 360 x 90 M c) Ta có tổng góc tứ giác 360 nên Eˆ Fˆ Gˆ Hˆ 360 100 90 90 x 360 x 80 180 100 80 d) Vì góc ngồi K có số đo 100 nên IKL Góc ngồi L có số đo 60 nên KLR 180 60 120 Ta có tổng góc tứ giác 360 nên KLR Rˆ Iˆ 360 80 120 90 x 360 x 70 IKL ˆ 75 , Bˆ 90 , Cˆ 120 Tính số đo góc ngồi tứ giác ABCD Bài Cho tứ giác ABCD biết A Lời giải Xét tứ giác ABCD , ta có ˆ Bˆ Cˆ Dˆ A 360 75 90 120 Dˆ 360 360 285 Dˆ 360 285 Dˆ Dˆ 75 Khi đó, ta có Góc ngồi A có số đo 180 75 105 Góc ngồi B có số đo 180 90 90 Góc ngồi C có số đo 180 120 60 Góc ngồi D có số đo 180 75 105 Bài Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi chu vi tứ giác ABCD PABCD Chứng minh: a) AC BD PABCD ; b) Nếu AC PABCD AC BD PABCD PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 7/7 Lời giải a) Theo kết trên, ta có AC BD AB CD; AC BD AD BC Cộng vế với vế AC BD PABCD b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC , ACD : P AC AB BC ; AC AD CD AC ABCD Tương tự BD PABCD AC BD PABCD PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 1/8 HÌNH THANG CÂN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất Trong hình thang cân: Hai góc kề đáy Hai cạnh bên Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết Hình thang có hai góc kề đáy hình thang Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Lưu ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình cân Chẳng hạn hình thang hình bên B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Hình 3.1 B C cân thang Hình 3.2 A D Dạng 1: Tính số đo góc Trong hình thang cân, hai góc kề đáy Trong hình thang, hai góc kề cạnh bên bù Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh bên AB , AC lấy theo thứ tự điểm D E cho AD AE a) Chứng minh BDEC hình thang cân; ˆ 50 b) Tính góc hình thang cân đó, biết A Lời giải ˆ 180 A a) ABC cân A nên BCA (1) Do AD AE nên ADE cân A ˆ 180 A DEA (2) Từ (1) (2) BCA DEA BC ED (3) Lại có Bˆ Cˆ (4) Từ (3) (4) suy BCDE hình thang cân b) Vì BCDE hình thang cân nên ˆ 180 50 180 A Bˆ Cˆ 65 ; Eˆ Dˆ 180 Cˆ 115 2 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/8 Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng góc Sử dụng tính chất hình thang cân để chứng minh Sử dụng kết biết chứng minh hai đoạn thẳng hai góc để chứng minh Ví dụ Cho hình thang cân ABCD có AB CD , gọi O giao điểm hai đường chéo Chứng minh OA OB , OC OD Lời giải Do ABCD hình thang cân có AB CD AD BC ADC BCD Xét hai tam giác ADC BCD có AD BC ADC BCD ADC BCD (c.g.c) CD chung BDC ACD (cặp góc tương ứng) Suy OCD cân O OC OD Chứng minh tư tương tự với OA OB Ví dụ Cho hình thang cân ABCD có AB CD , đường chéo DB vng góc với cạnh bên BC , DB tia phân giác góc D Tính chu vi hình thang, biết BC cm Lời giải Trong hình thang cân ABCD có Bˆ Cˆ 180 180 90 D D B 1 90 B 30 Cˆ 60 3B 1 60 Gọi O BC AD OCD nên AOB 60 OAB có OA OB , AOB OAB BA AD BC Chu vi hình thang ABCD 18 cm Dạng 3: Chứng minh tứ giác hình thang cân Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân Ví dụ Cho hình thang MNPQ , ( MN PQ ) , có MP NQ Qua N kẻ đường thẳng song song với MP , cắt đường thẳng PQ K Chứng minh a) NKQ tam giác cân; b) MPQ NQP ; PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 3/8 c) MNPQ hình thang cân Lời giải a) Từ N kẻ tia Nx MP , Nx QP K Do MN PK NK MP NK NQ ( MP ) NKQ cân N NKQ Mà NKQ MPQ (hai góc đồng vị), nên NQP MPQ b) Do NKQ cân N nên NQP Xét MQP NPQ có MP NQ (giả thiết); NQP (chứng minh trên); MPQ QP cạnh chung MQP NPQ (c.g.c) NPQ c) Do MPQ NQP nên MQP MNPQ hình thang cân PHIẾU BÀI TẬP TỐN Mà O trung điểm BD (vì hình thoi ABCD ) nên O trung điểm NQ Trang 6/6 Vậy M , O , P thẳng hàng N , O , Q thẳng hàng b) Tứ giác MNPQ có MP cắt NQ trung điểm O đường nên hình bình hành , suy OM = OQ ON = OP BCD Hình thoi ABCD có AC phân giác BAD Do OM + OP = ON + OQ hay MP = NQ , hay MNPQ hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC , qua điểm D thuộc cạnh BC , kẻ đường thẳng song song với AB AC , cắt AC AB theo E F a) Tứ giác AEDF hình gì? b) Điểm D vị trí BC ADEF hình thoi Lời giải a) Tứ giác AEDF có AF DE AE DF nên hình bình hành b) Để hình bình hành AEDF hình thoi AD phân giác góc BAC a) b) - HẾT - PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 1/4 HÌNH VNG A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa Hình vng tứ giác có bốn góc vuông bốn cạnh Tứ giác ABCD hình vng Nhận xét: Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh Hình vng hình thoi có bốn góc Do hình vng vừa hình thoi vừa hình chữ nhật Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Tính chất đặc trưng: Trong hình vng, hai đường chéo vng góc với trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Hình chữ nhật có đường chéo phân giác góc hình vng Hình thoi có góc vng hình vng Hình thoi có hai đường chéo hình vng Nhận xét: Nếu tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vng B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình vng Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình vng Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Gọi AD đường phân giác góc A ( D thuộc BC ), từ D kẻ DE DF vng góc với AB AC Chứng minh AEDF hình vng Lời giải = AFD = AED = 90° nên tứ giác Xét tứ giác AEDF có EAF AEDF hình chữ nhật Mà AD đường chéo đồng thời đường phân giác nên tứ giác AEDF hình vng PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/4 Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vng để chứng minh tính chất hình học Sử dụng tính chất cạnh, góc đường chéo hình vng Ví dụ Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD , DC lấy điểm E , F cho AE = DF Chứng minh: a) Các tam giác ADF BAE b) BE ⊥ AF Lời giải a) Có ADF = BAE (c.g.c) b) Gọi I giao điểm AF BE Ta có AEI = DFA + + DFA = 90° ⇒ BE ⊥ AF AEI = EAI Có EAI Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình vng Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vng để từ kết luận Ví dụ Cho tam giác ABC vng A , M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC , chúng cắt cạnh AC , AB theo thứ tự E F a) Tứ giác AFME hình gì? b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình vng Lời giải = AEM = MFA = 90° nên tứ giác a) Tứ giác AFME có EAF AFME hình chữ nhật b) Để tứ giác AFME hình vng đường chéo AM trở đường phân giác góc BAC với ⇒ M giao điểm đường phân giác góc BAC thành BC C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho hình vng ABCD , cạnh AB , BC , CD , DA lấy M , N , P , Q cho AM = BN = CP = DQ Chứng minh MNPQ hình vng Lời giải PHIẾU BÀI TẬP TỐN Bốn tam giác AQM , BNM , CPN , DQP QM = MN = NP = PQ ⇒ Tứ giác QMNP hình thoi Trang 3/4 ⇒ = CNP Có MBN = NCP nên BMN + BMN = + CNP ⇒ MNP = 90° 90° = BNM Mặt khác, BNM Vậy hình thoi QMNP có góc vng nên tứ giác MNPQ hình vng cắt CD I Kẻ Bài Cho hình vng ABCD Lấy điểm M cạnh DC Tia phân giác MAD IH vng góc với AM H Tia IH cắt BC K Chứng minh: = 45° b) IAK a) ABK = AHK Lời giải a) Dễ dàng chứng minh ADI = AHI ABK = AHK ⇒ AD = AH Suy = DAH ; HAK = HAB Ta có IAH 2 + HAB = + HAK =IAK =45° 90° ⇒ IAH Mà DAH Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành, hai vng ABEF ADGH Chứng minh: a) AC = FH b) AC ⊥ FH hình c) CEG tam giác vng cân Lời giải a) Dễ dàng chứng minh AFH = BAC (c.g.c) ⇒ FH = AC , AFH = BAC b) Gọi giao điểm AC FH I Do + + BAC =90° ⇒ AC ⊥ FH IAF AFH =IAF ta có c) Chứng minh GCD =CEB (c.g.c) ⇒ GC = CE Ta có + CBE + BEC = ECB + CBA + 90° + BEC 180° = ECB + CBA + GCD = + CBA + BEC = = GCD ⇒ ECB 90° (1) 90° , mà BEC ⇒ ECB + GCE + GCD + CBA = + CBA = 180° (2) 180° hay ECB Mặt khác, ABCD hình bình hành nên DCB = 90° ⇒ CEG vuông cân Từ (1) (2) ⇒ GCE Bài Cho hình vng ABCD Gọi E , F trung điểm AB , AD Chứng minh: a) DE = CF b) DE ⊥ CF PHIẾU BÀI TẬP TỐN Lời giải a) Có AED =CFD (c.g.c) ⇒ DE = DF (góc tương ứng), ta có: ADE = DCF Do = CDF = EDC + DCF = 90° ADE + EDC ⇒ DE ⊥ CF - HẾT - Trang 4/4 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Tam giác & Tứ giác A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1/ Định lý Pythagore & định lý Pythagore đảo - Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng ABC vuông A BC AB AC - Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng 900 ABC có BC AB AC BAC 2/ Tứ giác - Tứ giác có cạnh, đường chéo, đỉnh góc - Tứ giác lồi: Tứ giác lồi tứ giác ln nằm phía đường thẳng chứa cạnh tứ giác - Tổng góc tứ giác: Tổng góc tứ giác 360 Sơ đồ nhận biết loại tứ giác B.CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài Tìm góc x,y,z t chưa biết hình bên Trang 1/10 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/10 Bài Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm Tính độ dài AC, BC Bài Tính chiều cao tường hình bên biết chiều dài thang 4m chân thang cách tường 1m (làm tròn kết đến hàng phần mười) Bài Bạn Hà muốn đóng nẹp chéo AC để khung hình chữ nhật ABCD vững Tính độ dài AC biết AD = 48 cm, CD = 36cm Bài Tìm x hình vẽ sau : PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 3/10 Bài Hình ảnh bên thiết kế ngơi nhà hình tam giác cân xu khắp giới phân khúc nhà nhỏ Đây thiết kế động, thi cơng lắp dựng nhanh có chi phí rẻ Trước ngơi nhà có lắp kính chống vỡ có dạng tam giác cân Biết cạnh đáy, cạnh bên miếng kính có độ dài 8m 10m Tính chiều cao kính tam giác cân (làm tròn kết đến hàng phần mười) ? Bài Hai xuồng máy xuất phát từ bến A thẳng theo hai hướng tạo với góc 900 (hình minh họa) Chiếc xuồng máy thứ 12km dừng lại bến C, cịn xuồng máy thứ hai với vận tốc 18km/h đến B chuyển hướng thẳng bến C với vận tốc không đổi B C A a/ Hỏi sau phút từ lúc xuồng máy thứ hai chuyển hướng đến bến C gặp xuồng máy thứ ? b/ Tính diện tích tam giác ABC tạo thành hình vẽ Bài Cho tam giác có AB = 7cm, AC = 25cm, BC = 24cm có phải tam giác vng khơng ? Bạn Linh giải tốn sau : Ta có : AB + AC =7 + 252 =49 + 625 =674 2 BC = 24 = 576 Do 674 ≠ 576 nên AB + AC ≠ BC Vậy tam giác ABC tam giác vuông PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 4/10 Bạn Nhật cho Bạn Linh giải sai tam giác ABC vuông Theo em , sai ? Giải thích ? Bài Khi nói đến ti vi 21 inch, ta hiểu đường chéo hình ti vi dài 21 inch (inch : đơn vị đo chiều dài sử dụng nước Anh số nước khác, inch ≈ 2,54cm) Hỏi ti vi (hình bên) thuộc loại tivi inch (làm tròn kết đến hàng đơn vị ) ? Bài 10 Cho hình vẽ bên Tính chiều dài cần cẩu AB Bài 11 C Khoảng cách từ hai bến tàu A B tới đảo C 17km 10km (hình ảnh họa) Tính khoảng cách AB hai bến tàu biết hồn đảo cách đất liền 8km 17km A ? B 10km 8km H Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB , E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC , F giao điểm MK AC PHIẾU BÀI TẬP TOÁN a) Các tứ giác AEMF , AMBH , AMCK hìn sao? Trang 5/10 h gì? Vì b) Chứng minh H đối xứng với K qua A c) Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEMF hình vng? Lời giải a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật Các tứ giác AMBH , AMCK hình thoi b) Theo a) suy HA BC , AK MC ⇒ H , A , K thẳng hàng Lại có AH = AM = AK ⇒ H , K đối xứng với qua A c) Để hình chữ nhật AEMF hình vng cần thêm điều kiện AE = EM ⇒ AB = AC Vậy tam giác ABC vuông cân A Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có BC = AB , Aˆ = 60° Gọi E , F theo thứ tự trung điểm BC , AD Vẽ I đối xứng với A qua B a) Tứ giác ABEF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác AIEF hình thang cân c) Chứng minh BICD hình chữ nhật AED d) Tính góc Lời giải = EF = BF = AF = a) Vì AB BC ⇒ Tứ giác ABEF hình thoi b) Dễ thấy EF AI , IB = BE ; IBE = IAD = 60° ⇒ BIE Do đó, IE = AF suy AIEF hình thang cân c) BEDF hình thoi Suy BD đường phân giác ADI Có BI = AB = DC AB DC hay BI DC Vậy tứ giác BICD hình bình hành có cặp cạnh đối song song Thấy BD vừa đường trung tuyến, phân giác ADI = 90° ⇒ Tứ giác BICD hình chữ nhật BD ⊥ BI hay DBI hình bình hành có góc vng Suy PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 6/10 d) Vì BICD hình chữ nhật nên E trung điểm DI Ta có DAI cân A , mà AE đường trung tuyến nên đồng thời đường cao Suy AE ⊥ DI , AED = 90° Bài 13 Cho hình thang cân ABCD ( AB CD, AB < CD) , đường cao AH , BK a) Tứ giác ABKH hình gì? Vì sao? b) Chứng minh DH = CK c) Gọi E điểm đối xứng với D qua H Các điểm D E đối xứng với qua đường nào? d) Tứ giác ABCE hình gì? Lời giải a) Tứ giác ABKH hình chữ nhật b) ADH = BKC (ch - gn) Nên suy DH = KC c) D E đối xứng với qua đường thẳng AH d) Dễ thấy HE + EK = EK + KC ⇒ AB = EC Do đó, ABCE hình bình hành Bài 14 Cho tam giác ABC vuông B Gọi E , F trung điểm AC , BC Kẻ Ex song song với BC cắt AB M a) Chứng minh tứ giác BMEF hình chữ nhật b) Gọi K đối xứng với B qua E Tứ giác BAKC hình gì? Vì sao? c) Gọi G đối xứng với E qua F Tứ giác BGCE hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện để tứ giác BGCE hình vng? Lời giải PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 7/10 a) Tứ giác BMEF hình chữ nhật có góc vng EF đường trung bình tam giác ABC ⇒ EF ⊥ BC ⇒ BFE = 90° ⇒ BMEF hình chữ nhật b) Tứ giác BAKC có hai đường chéo cắt trung điểm đường Lại có ABC = 90° nên BAKC hình chữ nhật c) Tứ giác BGCE hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường BE = EC (trung tuyến ứng với cạnh huyền) d) Tam giác ABC vuông cân Bài 15 Cho tam giác ABC vng A có AB < AC Gọi M trung điểm BC , kẻ MD vng góc với AB D , ME vng góc với AC E a) Chứng minh AM = DE b) Chứng minh tứ giác DMCE hình bình hành c) Gọi AH đường cao tam giác ABC ( H ∈ BC ) Chứng minh tứ giác DHME hình thang cân A đối xứng với H qua DE Lời giải a) Dễ thấy ADME hình chữ nhật, suy đpcm AC ⇒ đpcm = EC = b) Dễ thấy MD EC , MD AB ; HM DE nên hình thang cân A , H đối xứng với qua DE = DH = AD = c) ME DHME ˆ Dˆ= 90° AB = AD = CD , kẻ BH vng góc với Bài 16 Cho hình thang vng ABCD có A= CD a) Chứng minh tứ giác ABHD hình vuông b) Gọi M trung điểm BH Chứng minh A đối xứng với C qua M PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 8/10 c) Kẻ DI vng góc với AC AH cắt DI , DM P Q Chứng minh tứ giác DPBQ hình thoi Lời giải a) ABHD hình vng hình chữ nhật có hai cạnh kề DC nên tứ giác ABCH hình bình hành ⇒ M trung điểm AC Vậy A đối xứng với C qua M = HC = DH = b) Có AB HC AB c) Có APD = APB (c.g.c) nên PD = PB ; DHQ = BHQ (c.g.c) nên DQ = QB (vì QDH ) Vậy = MCD ) ⇒ (cùng phụ với góc DAC ADP = QDH Lại có ADP = MCD ADP = HDQ (g.c.g) ⇒ DP = DQ ⇒ Tứ giác DPBQ hình thoi có bốn cạnh Bài 17 Cho hình vng ABCD E điểm cạnh DC , F điểm tia đối tia BC cho BF = DE a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng Lời giải = DAE Dễ thấy a) ADE = ABF ⇒ AE = AF ; FAB + EAB = + EAB = DAE 90° ⇒ FAB 90° Do đó, AEF giác vuông cân A EF Do I nằm đường trung trực AC Mà BD đường trung trực AC (tính chất hình vng ABCD ) nên I ∈ BD tam = CI = b) Chứng minh AI c) Vì AEF tam giác vng cân nên AI ⊥ EF Hơn = AI = IK AI EF = IE = IF nên ⇒ AI = IK = IE = IF tứ giác AEKF hình vng Vậy PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 9/10 Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB , E điểm đối xứng M qua D a) Chứng minh E đối xứng với M qua đường thẳng AB b) Các tứ giác AEMC , AEBM hình gì? Vì sao? c) Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEBM hình vng? Lời giải a) Vì MD AC nên MD ⊥ AB ⇒ E đối xứng với M qua đường thẳng AB b) Có AB EM cắt trung điểm D đường nên tứ giác AEBM hình bình hành ⇒ = AE BM = MC Vậy tứ giác AEMC hình bình hành có AE BM hay AE MC AE = MC c) Hình bình hành AEBM có hai đường chéo vng góc với nên hình thoi Để hình thoi AEBM hình vng cần điều kiện AB = EM Vì tứ giác AEMC hình bình hành nên EM = AC Vậy AB = EM suy AB = AC Lúc tam giác ABC cân A Vậy để tứ giác AEBM hình vng tam giác vng ABC cần thêm điều kiện AB = AC hay tam giác ABC vng cân A Bài 19 Cho hình bình hành MNPQ có MN = 2MQ Mˆ = 120° Gọi I , K trung điểm MN , PQ A điểm đối xứng Q qua M a) Tứ giác MIKQ hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác AMI c) Chứng minh tứ giác AMPN hình chữ nhật Lời giải = IK = NP = a) Vì MQ hình thoi MN = MI = IN = PK = KQ ⇒ Tứ giác = 60° nên b) Tam giác AMI có AM = MI nên cân A IMA AMI tam giác c) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AMPN hình bình hành Vì tam AMI tam giác nên AI = IM = IN Vậy tam giác MAN có MIKQ giác AI đường trung tuyến AI = MN nên tam giác MAN tam giác vuông A (trong tam giác PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 10/10 vng trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) Vậy hình bình hành AMPN có góc vng nên tứ giác AMPN hình chữ nhật Bài 20 Cho tứ giác ABCD , E trung điểm cạnh AB Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC F Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD G Qua G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD H a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện để tứ giác EFGH chữ nhật hình Lời giải a) Có EH BD FG EF AC HG nên tứ giác EFGH hình hành có cặp đối song song với bình b) Để tứ giác EFGH hình chữ nhật EH ⊥ HG hay BD ⊥ AC EH BD HG AC Vậy điều kiện để tứ giác EFGH hình chữ nhật tứ giác ABCD phải có hai đường chéo vng góc Bài 21 Cho tam giác ABC vuông A Gọi E , G , F trung điểm AB , BC , AC Từ E kẻ đường thẳng song song với BF , đường thẳng cắt GF I a) Tứ giác AEGF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác BEIF hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AGCI hình thoi d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AGCI hình vng Lời giải a) Tứ giác AEGF hình chữ nhật có góc vng b) Có GF AE hay FI BE Vậy tứ giác BEFI hình bình có hai cặp cạnh đối song song hành c) Tứ giác AGCI hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường vuông = 90° ) góc với ( GFA d) Để tứ giác AGCI hình vng AGC = 90° Vậy tam giác ABC thành tam giác vuông cân A