Đang tải... (xem toàn văn)
Một hình trụ đồng chất, khối lượng m, bán kính R có thể lăn không trượt trên mặt phẳng ngang (hình 1). Trục quay G của nó được nối qua lò xo có độ cứng k với một điểm cố định. Hệ được thả không có vận tốc ban đầu từ vị trí lò xo giãn một đoạn nhỏ x0. Chứng minh hệ dao động điều hòa và tìm chu kỳ dao động.
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CHUYÊN ĐỀ DAO ĐỘNG CƠ Bài :Một hình trụ đồng chất, khối lượng m, bán kính R lăn khơng trượt mặt phẳng ngang (hình 1) Trục quay G nối qua lị xo có độ cứng k với điểm cố định Hệ thả khơng có vận tốc ban đầu từ vị trí lị xo giãn đoạn nhỏ x0 Chứng minh hệ dao động điều hòa tìm chu kỳ dao động Bài : Con lắc lị xo đặt thẳng đứng (như hình vẽ 4), đầu gắn chặt vào mặt sàn, đầu gắn vật m1= 300g đứng yên vị trí cân bằng, độ cứng lò xo k = 200 N/m Từ độ cao h = 3,75cm so với m 1, người ta thả rơi tự vật m = 200 g, va chạm mềm với m1 Sau va chạm hai vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng Lấy g = 10 m/s2, bỏ qua ma sát a Tính vận tốc m1 sau va chạm b Hãy viết phương trình dao động hệ hai vật m1 m2 Bài 3: Cho hệ gồm vật M, ròng rọc R1, R2 dây treo có khối lượng G m2 h m1 k khơng đáng kể, ghép với hình Các điểm A B gắn cố định vào giá đỡ Vật M có khối lượng m=250(g), treo sợi dây buộc vào trục ròng rọc R2 Lò xo có độ cứng k=100 (N/m), khối lượng khơng đáng kể, đầu gắn vào trục ròng rọc R 2, đầu A B R gắn vào đầu sợi dây vắt qua R 1, R2 đầu lại dây buộc vào điểm B Bỏ qua ma sát rịng rọc, coi dây khơng dãn Kéo vật M xuống vị trí cân đoạn 4(cm) buông không vận tốc ban đầu Chứng minh vật M dao động điều hoà viết phương T F T trình dao động vật M Bài :Cho hệ dao động hình vẽ Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng k Vật M R = 400g trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, M dùng vật m0 = 100g bắn vào M theo phương ngang với vận tốc v0 = 1m/s, va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vật M dao động điều hoà, chiều dài cực đại cực tiểu của lò xo 28cm 20cm Tính chu kỳ dao động vật độ cứng lò xo P Đặt vật m = 100g lên vật M, hệ gồm hai vật m M đứng yên, dùng vật m0 bắn vào với vận tốc v0 Va chạm hoàn toàn đàn hồi, sau va chạm ta thấy M v m I k 0 hai vật dao động điều hoà Viết phương trình dao động hệ hai vật m M Chọn gốc toạ độ vị trí cân gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Xác định chiều độ lớn lực đàn hồi cực đại, Hình vẽ cực tiểu mà lị xo tác dụng vào điểm cố định I trình hệ hai vật dao động Cho biết hệ số ma sát vật M vật m = 0,4 Hỏi vận tốc v0 vật m0 phải nhỏ giá trị để vật m đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động Cho g = 10m/ s2 Bài 5:Một lắc đơn có chiều dài l thực dao động điều hoà xe lăn tự xuống dốc khơng ma sát Dốc nghiêng góc so với phương nằm ngang a) Chứng minh rằng: Vị trí cân lắc vị trí có dây treo vng góc với mặt dốc b) Tìm biểu thức tính chu kì dao động lắc Áp dụng số l =1,73 m; =300; g = 9,8 m/s2 Bài : Một lò xo lý tưởng treo thẳng đứng, đầu lò xo giữ cố định, đầu treo vật nhỏ có khối lượng m = 100g, lị xo có độ cứng k = 25N/m Từ vị trí cân nâng vật lên theo phương thẳng đứng đoạn 2cm truyền cho vật vận tốc 10 cm/s theo phương thẳng đứng, chiều hướng xuống Chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật, chọn trục tọa độ có gốc trùng vị trí cân vật, chiều dương thẳng đứng xuống Cho g = 10m/s2; 10 Chứng minh vật dao động điều hịa viết phương trình dao động vật Xác định thời điểm lúc vật qua vị trí mà lò xo bị giãn 6cm lần thứ hai Xác định hướng độ lớn lực tác dụng lên điểm treo thời điểm Bài 7:Cho hệ hình vẽ Hai cứng MA NB khối lượng không đáng M kể, chiều dài l = 50cm Đầu tự có gắn cầu nhỏ khối lượng m =100g, đầu M N quay dễ dàng Lị xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m gắn vào trung điểm C NB Khi hệ cân lị xo khơng biến dạng, hai cầu tiếp xúc Kéo cầu A cho A B MA lệch bên trái góc nhỏ thả nhẹ Coi va chạm cầu đàn hồi xuyên tâm Bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s2 Hãy mô tả chuyển động xác C định chu kì dao động hệ Bài 8:Một lắc đơn kéo khỏi vị trí cân góc nhỏ 0= 0,1 rad N bng khơng có vận tốc ban đầu Coi trình dao động lực cản môi trường tác dụng lên lắc không đổi 1/1000 trọng lượng lắc Hỏi sau chu kì dao động lắc dừng hẳn lại ? Bài 9:Cho hệ hình vẽ 1, lị xo lý tưởng có độ cứng k = 100 (N/m) gắn chặt vào tường Q, vật M = 200 (g) gắn với lò xo mối nối hàn Vật M vị trí cân bằng, vật m = 50 (g) chuyển động theo phương ngang với tốc độ v = (m/s) tới va chạm hoàn toàn mềm với vật M Sau va chạm hai vật dính làm dao động điều hòa Bỏ qua ma sát vật M với mặt phẳng ngang a.Viết phương trình dao động hệ vật Chọn trục tọa độ hình vẽ, gốc O trùng vị trí cân bằng, gốc thời gian t = lúc xảy va chạm b.Sau thời gian dao động, mối hàn gắn vật M với lò xo bị lỏng dần, thời điểm t hệ vật vị trí lực nén lị xo vào Q cực đại Sau khoảng thời gian ngắn (tính từ thời điểm t) mối hàn bị bật ra? Biết rằng, kể từ thời điểm t mối hàn chịu lực nén tùy ý chịu lực kéo tối đa (N) Q k M v0 m x ( Hình vẽ ) O Bài 10:Một lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nhỏ khối lượng m = 250g lị xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m Kéo vật m xuống theo phương thẳng đứng đến vị trí lị xo giãn 7,5 cm thả nhẹ Chọn gốc tọa độ vị trí cân vật, trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên, gốc thời gian lúc thả vật Cho g = 10m/s2 Coi vật dao động điều hịa a.Viết phương trình dao động b.Tính thời gian từ lúc thả vật đến thời điểm vật qua vị trí lị xo khơng biến dạng lần thứ c.Thực tế q trình dao động vật ln chịu tác dụng lực cản có độ lớn trọng lực tác dụng lên 50 vật, coi biên độ dao động vật giảm chu kì tính số lần vật qua vị trí cân kể từ thả Bài 11:Một lắc đơn gồm cầu kim loại khối lượng m = 0,1kg treo vào điểm A cố định đoạn dây mảnh có độ dài l = 5m Đưa cầu khỏi vị trí cân dây treo nghiêng với góc thẳng đứng góc = 90 bng cho dao động điều hòa Lấy g =2 = 10 m/s2 a Viết phương trình dao động lắc theo li độ góc li độ dài ? Chọn gốc thời gian lúc bng vật b.Tính động sau buông khoảng thời gian t = (s)? Xác định toàn phần lắc? c Xác định lực căng dây treo lắc vật qua vị trí cân bằng? k Hướng dẫn G Bài + Khi vật li độ x lúc dao động, hệ Hình 2 mR v ´ 2 W = kx2 mv2 I w2 kx2 mv2 R = kx + 3mv + + = + + 2 2 2 2 + Lực ma sát nghỉ có tác dụng giữ cho hình trụ không trượt không sinh công, bảo toàn: kx2 3mv2 W= = const + 3mvv ' 2k + Vi phân hai vế: kxx '+ = Chú ý v =x '; v ' =x " x "+ x =0 3m 2 3m 2k 2 x "+w2x = với w = Vậy chu kỳ dao động hệ là:T 2k 3m Bài a Vận tốc m2 trước va chạm : v gl (m / s ) * Xét hệ hai vật m1 m2 trước sau va chạm: theo định luật bảo toàn động lượng ta có : m v m2 v (m1 m2 ).v0 v0 (m / s ) 20 3(cm / s) m1 m2 Vì va chạm mềm nên sau va chạm hai vật chuyển động vận tốc là: v 20 (cm / s) b Chọn trục toạ độ Ox có gốc O trùng vời VTCB hai vật, chiều dương thẳng đứng hướng lên Chọn gốc thời gian lúc hai vật bắt đầu dao động m2 h m1 k * Độ biến dạng lò xo vật m1 cân : mg l1 1,5(cm) k * Độ biến dạng lò xo hai vật cân : l * Tần số góc : (m1 m2 ) g 2,5(cm) k k 20(rad / s ) m1 m2 x A sin 1(cm) * lúc t = ta có : v A cos 20 3(cm / s ) 5 tg sin cos (rad ) A 2(cm) 5 Biên độ dao động : sin 5 (cm) * Vậy phương trình dao động : x 2 sin 20t - Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc toạ độ O VTCB M Bài :*Tại VTCB vật M ta có: P 2T0 F0 0 hay P 3F0 0 (1) - Từ (1) suy ra: mg=3k∆l0 (2) - Tại vị trí vật M có toạ độ x ta có: P 2T F ma hay P 3F ma (3) - Chiếu (3) lên trục toạ độ Ox ta có : mg - 3k(∆l0+3x) = ma = mx’’ (4) 9k 9k - Từ (2) (4) ta có : x ' ' x 0 đặt ta có x' ' x 0 (5) m m - Phương trình (5) có nghiệm : x = Acos( t ) A , , số Vậy chứng tỏ vật M dao động điều hòa *- Chọn gốc thời gian lúc thả vật Tại thời điểm t =0 ta có: = Acos = - Asin 9k suy A = (cm) = , 60(rad/s) m Vậy phương trình dao động x = 4cos 60 t (cm) R A F T T R M P Bài Va chạm đàn hồi nên động lượng động bảo tồn Ta có : m0 v m0 v MV (1) I k B M v0 m0 m0 v02 m0 v MV (2) 2 Với v , V vận tốc vật m0 M sau va chạm m0 v 0,4(m / s) 40(cm / s) * Giải hệ (1), (2) : V m0 M * Sau va chạm vật M dao động điều hoà, vận tốc cực đại vật V = 40(cm/s) V l l Biên độ dao động : A max = 4(cm) Ta có: V = A 10(rad / s ) A Chu kỳ dao động là: T = ( s) Độ cứng lò xo : k M 40( N / m) a Va chạm đàn hồi nên động lượng động bảo tồn Ta có : m0 v0 m0 v1 ( M m)Vh (3) 2 m0 v0 m0 v1 ( M m)Vh (4) 2 Với v1 , Vh vận tốc vật m0 (M + m) sau va chạm 2m v 100 (cm / s ) * Giải hệ (3), (4) : Vh m0 M m * Sau va chạm vật (M + m) dao động điều hồ nên phương trình dao động có dạng x A sin(t ) 100 Vận tốc cực đại hệ vật : Vh = (cm/s) k Tần số góc : 4 (rad / s ) M m Chọn trục toạ độ có gốc trùng VTCB, chiều dương hướng v 0 A sin 0 sin 0 Vh Lúc t = ta có : cos A cos 3,73(cm / s ) A cos Vh * Vậy phương trình dao động vật : x 3,73 sin(4 5t )(cm) b * Tại vị trí biên lực đàn hồi lò xo tác dụng vào điểm cố định lớn ta có Fmax k A 40.3,73.10 1,492( N ) Tại vị trí biên bên trái lực đàn hồi hướng sang bên phải Tại vị trí biên bên phải lực đàn hồi hướng sang bên trái * Tại VTCB lực đàn hồi lò xo có giá trị nhỏ : Fmin = Để vật m không bị trượt M trình dao động lực ma sát nghỉ cực đại phải có giá trị giá trị lực quán tính cực đại tác dụng lên vật m (Xét hệ quy chiếu gắn với vật M) : Fmsn (max) Fqt (max) (*) * Ta có : Lực ma sát nghỉ cực đại : Fmsn (max) N mg Lực quán tính : Fqt m.a m A sin(t ) Để lực qn tính đạt cực đại sin(t ) 1 Fqt (max) m. A g * Từ biểu thức (*) ta có : mg m A A Vmax Vh m0 v * Mặt khác: A m0 m M 2m0 v g m0 m M g F v0 1,34(m / s ) m0 m M m0 Vậy v0 1,34(m / s) vật m khơng bị trượt vật M trình hệ dao động T P Bài :Xét hệ quy chiếu gắn với xe - Gia tốc chuyển động xuống dốc xe a = gsin x -Tác dụng lên lắc thời điểm có lực: Trọng lượng P , lực qn tính F ,và sức căng T dây treo *Tại vị trí cân Ta có: P F T 0 - Chiếu phương trình xuống phương OX song song với mặt dốc ta có:Psin - F + TX = Mà F = ma = mgsin suy raTX = Điều chứng tỏ vị trí cân dây treo lắc vng góc với Ox - Vị trí cân trọng lực biểu kiến lắc : P' = Pcos Tức gia tốc biểu kiến g' = gcos l l - Vậy chu kì dao động lắc là:T = 2 = 2 2,83 (s) g' g cos Bài : Chứng minh vật dao động điều hòa * Viết phương trình dao động vật: Tại VTCB: l 4 (cm) Tần số góc: 5 (rad/s) Tại thời điểm t = ta có: x A cos 2(cm) v A sin 10 (cm / s) 2 Vì sin 0; cos 0; tan (rad) Biên độ dao động : A = (cm) Vậy phương trình dao động vật là: x 4 cos 5t 2 (cm) Khi vật qua vị trí mà lị xo bị giãn 6cm lần thứ hai vật có li độ x = 2cm chuyển động theo chiều âm trục tọa độ Ta có: 2 cos 5t sin 5t 2 Giải hệ phương trình (lấy giá trị nhỏ nhất) kết quả: t 0,2 (s) * Xác định hướng độ lớn lực tác dụng lên điểm treo thời điểm đó: - Hướng: Phương thẳng đứng, chiều từ xuống - Độ lớn: F kl1 25.6.10 1,5 (N) Bài - Do A va chạm với B đàn hồi nên động lượng động hệ bảo toàn mv mv ' mv ' ' mv m(v1 ) m(v2' ) 2 mv1 mv1' mv2' mv1 m(v1' ) m(v2' ) v1 v1' 0, v2' v1 2 - Chọn chiều dương chiều với suy ra: '' ' '' -Tương tự cho va chạm từ cầu B trở lại cầu A, ta được: v1 v2 , v2 0 - Sau va chạm cầu truyền hoàn toàn vận tốc cho cầu Hệ thống dao động tuần hoàn, lắc tham gia nửa dao động - Chu kỳ dao động T (T1 T2 ) với T1 chu kì dao động lắc đơn, T2 chu kì dao động lắc gắn với lò xo l 1, 4( s) -Ta biết chu kỳ dao động lắc đơn T1 2 g Ta tìm T2 phương pháp lượng: -Chọn mốc trọng trường mặt phẳng ngang qua m cân -Xét vật m vị trí có li độ x: mv + Động cầu Eđ = mgx + Thế trọng trường :Et1= 2l kx12 kx mv mgx kx Cơ hệ: E = Eđ + Et1 + Et2 = (1).Do lực cản nên E = const 2l k g mgxx ' kxx ' ) x 0 - Lấy đạo hàm vế (1) theo thời gian t, ta được: mvv’ 0 Hay x’’+( 4m l l 2 k g 0, 4s - Vậy vật dao động điều hòa với tần số góc chu kì T2 4m l - Hệ dao động tuần hoàn với chu kỳ T (T1 T2 ) = 0,7 + 0,2 = 0,9s + Thế đàn hồi: Et2 = Bài mglα20 - Gọi 1 2 hai biên độ liên tiếp dao động (một lần lắc qua vị trí cân bằng) - Năng lượng ban đầu lắc E0 = mgl.(1-cos0) = Ta có độ giảm Wt = 1 mglα12 - mglα 22 2 - Độ giảm công lực cản môi trường A = Fc.S = Fc.l.(1 + 2) mg α1 α2 = Fc 3 Fc 2.10 mg 2.10 (rad ) -Độ giảm biên độ góc lần (1-2) = mg mg 0 Đến lắc ngừng dao động số lần qua vị trí cân N = = 50 có 25 chu kì 1 Bài 9a Viết phương trình dao động: - Gọi v vận tốc hệ vật sau va chạm, sử dụng định luật bảo tồn động lượng ta có: mv = ( M + m)v v = 0,4 m/s = 40 cm/s - Phương trình dao động hệ hai vật: x A cos(t ) v A sin(t ) Chọn gốc thời gian, trục tọa độ giả thiết, ta có: x0 A cos 0(cm) v0 A sin 40(cm / s) = k 100 20 M m 0,25 (1) rad/s (2) Từ (1) (2) ta tìm được:A = cm, = /2 + Phương trình dao động: x = 2cos(20t + /2)(cm) b Xác định thời gian ngắn nhất: - Lực tác dụng vào mối hàn lực kéo hệ vật (M + m) dao động với x > - Lực tác dụng vào mối hàn lực đàn hồi lò xo F đ = k x = kx y x’ -2 B O P x N - Mối hàn bật F đ 1N kx 1N x 0,01m = cm - Thời gian ngắn từ lò xo bị nén cực đại mối hàn bị bật thời gian vật chuyển động từ B đến P ( x P = cm) Sử dụng hình chiếu chuyển động trịn ta xác định được:t = T/3 = /30 (s) Bài 10 a Vật chịu tác dụng lực: trọng lực lực đàn hồi lò xo: mg 0, 025m 2,5cm - Tại VTCB có: mg k l0 l0 k - Phương trình dao động vât có dạng: x A cos(t ) Với x k 100 20( rad / s ) m 0,25 x0 (7,5 2,5) 5cm A 5(cm) -Tại lúc t = (rad ) v0 0 2,5 •0 Vậy phương trình dao động: x 5 cos(20t )(cm) b Vật bắt đầu chuyển động đến lúc x = 2,5 cm lị xo ko giãn lầ thư ta có bán kính véc tơ chuyển động trịn qt góc 2 .t t ( s ) 30 c.Gọi A1, A2, … , An biên độ dao động vật lần Mỗi lần vật qua vị trí cân 1 2 3 lượng giảm: W k ( A1 A2 ) AFc mg ( A1 A2 ) A1 A2 10 m 0,1cm 50 A Vậy số lần vật qua vị trí cân là: N A A 50 lần Bài 11 Phương trình dao động lắc có dạng: s = S0cos( t ), cos(t ) b.Sau thời gian g Trong rad/s l t= s 9 cos( 2t ) rad Khi t = cos 1 0 180 Hay cos( 2t ) rad 20 Hoặc: S0 = l = m s = cos( 2t ) m 4 cos( ) = rad 20 40 Thế vật lúc là: wt = mgl = 0,046875J 2 Cơ lắc là: W = mgl = 0,0625J Động vật lúc đó: wd = W – wt = 0,015625J c Từ phương trình bảo tồn lượng ta có: mv mgl (1 cos ) mv T mg Mặt khác ta lại có: l Suy ra: T mg (3 cos ) =5,123N