Đang tải... (xem toàn văn)
MỘT TRONG NHỮNG HOẠT ĐỘNG CHUYÊN MÔN LÀ CÔMG TÁC ÔNT HI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ. ĐÂY LÀ HOẠT ĐỘNG TẠO ĐỘNG LỰC CHO HỌC SINH VÀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG VÀ THƯƠNG HIỆU CỦA NHÀ TRƯỜNG . ĐỀ ÔN THI SAU ĐÂY SẼ GIÚP CÁC EM TỔNG HỢP KIẾN THỨC, RÈN LUYỆN CÁCH TRÌNH BÀY BÀI ĐỂ ĐẠT ĐIỂM CAO NHẤT.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CÁC MƠN VĂN HỐ CẤP THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 ( Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI MƠN TỐN – BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) x 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm x thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : x y 0 2) Cho hàm số y x m 1 x 5m 1 x 2m có đồ thị (Cm ) , với m tham số Tìm m 1) Cho hàm số y để (Cm ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt A 2;0 , B, C cho hai điểm B, C có điểm 2 nằm điểm nằm ngồi đường trịn T : x y 1 Câu (1 điểm) Cho a,b số thực dương thoả mãn b > a b a a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P log a a 2log b b b Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x.sin x cos x.cos x.sin x 2 cos x 6 Câu (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: x y y x m xy (1) x y y x x y x(2) Câu (1,0 điểm) Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh (H) Chọn ngẫu nhiên tam giác X, tính xác suất để chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác (H) tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác (H) Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B; AB BC 4a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H trung điểm AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) a 10 Tính thể tích khối chóp S.HBCD cosin góc hai đường thẳng SC HD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Gọi H, K hình chiếu A BD CD Biết A 4;6 , phương trình HK : x y 0 , điểm C thuộc đường thẳng d1 : x y 0 , điểm B thuộc đường thẳng d : x y 0 điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm B, C, D Câu (1,0 điểm) Xét số thực a, b, c thỏa mãn a b c 3 a b2 c 27 4 2 2 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P a b c ab a b ac a c bc b c HẾT - (Thí sinh không sử dụng tài liệu,cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh:……………………… ……Số báo danh:………………………………… Cán coi thi số 1:…………………………Cán coi thi số 2:…………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: TỐN – Lớp 12 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Nội dung Điểm 1.1 x 1 (1,0đ)1 1) Cho hàm số y x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng : x y 0 bằng a 1 ) (C ); a 1 a a 1 a 3 +) Từ giả thiết ta có a d ( M , ) 2 +) TXĐ: D \ 1 Gọi điểm M ( a; 0,25 a 3a 2 a 0,25 a 5a 0 a a 0 a 2 a 3 0,25 +) Với a 2 M (2;3) Do phương trình tiếp tuyến (C) M y x +) Với a 3 M (3;2) Do phương trình tiếp tuyến (C) M y * Vậy phương trình tiếp tuyến (C) cần tìm là: y x 7; y 1.2 (1,0đ) x 2 0,25 x 2 2) Cho hàm số y x3 2(m 1) x (5m 1) x 2m có đồ thị ( Cm ), với m tham số Tìm m để ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A(2;0), B, C cho hai điểm B, C có một điểm nằm mợt điểm nằm ngồi đường tròn ( T ): x y 1 +) Hoành độ giao điểm của( Cm ) trục hoành nghiệm phương trình: x 2(m 1) x (5m 1) x 2m 0 0,25 ( x 2)( x 2mx m 1) 0 x 2 x 2mx m 0 (1) 0,25 +) ( Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt khác 0,25 ' m m 4 4m m 0 0,25 m ( ; 1 1 5 )( ; ) \ 3 0,25 x1 x2 2m x1.x2 m +) Khi A(2;0), B ( x1;0), C ( x2 ;0) ; với x1; x2 nghiệm pt(1) 0,25 +) Đường trịn (T) có tâm O(0;0), bán kính R=1 +) Hai điểm B, C thỏa mãn điều kiện đầu (OB R )(OC R ) 0,25 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 3m 4m 2 m ( ; ) (2; ) 0,25 Kết hợp với đk (*) , giá trị cần tìm m m ( ; Câu (1,0đ) Cho a,b số thực dương thoả mãn b > 2 ) (2; ) a b a a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P log a a 2log b b b + t log a b Vì b>1 t Nên Ta có : a b a 0, 25 P ( t 1) 1 t t Xét hàm số: f (t ) 1 t t 0,25 t ;1 Có 0.25 3t t , f '(t ) 0 t 2 ;1 f '(t ) 2 t 1 t Bảng biến thiên 0,25 t f’(t) - + f(t) Vậy Min P = log a b b a Câu3 (1,0đ) Giải phương trình: sin x.sin x cos x.cos x.sin x 2 cos( x ) + Phương trình cho tương đương với: sin x.sin x sin x.cos x.cos x 2 cos( x sin x.sin x sin x.cos x 2 cos( x ) ) sin x(sin x cos x) 2 cos( x ) 2sin x( sin x cos x) 2 cos( x ) 2 sin x cos( x ) cos( x ) 6 (sin x 2) cos( x ) 0 sin x 2(VL) cos( x ) 0 2 x k 2 k , k Vậy phương trình cho có nghiệm x 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: (1,0đ) x y y x m xy (1) x y y x x y x(2) +) ĐK: xy 0 +) Ta có (2) x x x y y (3) 0,25 Ta thấy x = không thoả mãn (3) x x 0;1 y Nên từ (3) ta suy : y > Từ điều kiện suy : x > 1 1 y y y (4) Khi (3) x x x 0,25 Xét hàm số : f (t ) t t t , t 0; f '(t ) 1 t2 1 t t 0, t 0; 1 Ta có f(t) nghịch biến khoảng 0; Pt (4) f f y y xy 1 x x 0,25 Thay vào phương trình (1) ta được: x 1 x m x m x2 x2 x2 Ta có Vậy hệ có nghiệm khi: 0,25 m 2 m 4 Câu Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh Gọi X tập hợp các tam giác có ba đỉnh ba đỉnh của (H) Chọn ngẫu nhiên tam giác X, tính xác suất để chọn được tam giác có cạnh (1,0đ) cạnh của đa giác (H) tam giác không có cạnh cạnh của đa giác (H) +) Đa giác lồi (H) có 22 cạnh nên có 22 đỉnh +) Số tam giác có đỉnh ba đỉnh đa giác (H) C 22 1540 +) Số phần tử không gian mẫu n() C1540 1185030 +) Số tam giác có cạnh cạnh đa (H) 22.18 = 396 +) Số tam giác có hai cạnh cạnh đa (H) 22 Số tam giác cạnh cạnh đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122 +) Gọi A biến cố “ hai tam giác chọn có tam giác có cạnh cạnh (H) tam giác khơng có cạnh cạnh (H)" 1 +) Số phần tử A n(A) C396 C1122 +) Xác suất biến cố A p(A) n(A) C1396 C1122 748 n() 1185030 1995 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông tại A B; AB BC 4a Tam 2,0 đ giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng a 10 Tính thể tích của khới chóp S.HBCD cosin của góc giữa hai đường thẳng SC HD S A D K M H E C B N +) Tam giác SAB cân nên SH AB ( SAB) ( ABCD ) +) ( SAB) ( ABCD ) AB SH ( ABCD ) SH AB +) Kẻ CK HD, K HD mà SH ( ABCD) SH CK Do CK ( SHD) d (C ,( SHD)) CK a 10 0,25 0,25 + Tính CH a 20 HK a 10 CK Do tam giác CHK vuông cân K Nên KHC 45 DHC 45 tan DHC 1 +) Tam giác ABH vuông B nên tan BHC 2 0,25 tan BHC tan CHD tan BHC tan CHD +) tan BHD tan( BHC CHD ) Mà BHD AHD 180 Do tan AHD 3 AD 3 AD 6a AH ( AD BC ) AB 20a 2 S ABCD S AHD 20a 6a 14a 0,25 Ta có S ABCD S HBCD Vậy VS HBCD SH S HBCD 1,0 đ 0,25 28a 3 Tính cosin của góc giữa hai đường thắng SC HD Tam giác SHC vuông H nên SC a 32 +) Gọi M AC HD; E BC HD +) Khi AEBD hình bình hành nên EB AD 4a EC 10a AD AM 6a 3 3 3a +) AD//EC nên AM MC AC a 32 EC MC 10a 5 8 +) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CN//HD với N thuộc đường AB Do góc SC HD góc CN SC 10 Ta có: AH HN HN a BN a 3 0,25 0,25 Ta có: SN SH HN 208 10 a; CN BN BC a 3 +) Áp dụng định lý Côsin tam giác SCN , ta có cos SCN SC CN SN SC.CN 0,25 +) cos( SC , HD ) cos(CN , SC ) cos SCN Vậy cos( SC , HD) cos SCN Câu 1,0đ 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi H, K lần lượt hình chiếu của A BD CD Biết A(4;6) , phương trình của HK: 3x y 0 , điểm C thuộc đường thẳng d1 : x y 0 , điểm B thuộc đường thẳng d : x y 0 điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm B, C, D A B H E +) Gọi E AC HK Tứ giác AHKD nội tiếp HAD HKC D Tứ giác ABCD nội tiếp ABC ACD K Tam giác ABD vuông A ABD HAD Vậy HKC ACD hay tam giác ECK cân E Vì tam giác ACK vng K nên E trung điểm AC C c 4 8 c ; ) +) Ta có: C d1 C (c; c ) E ( 2 Vì E HK nên tìm c 4 C (4; 2) 0,25 0,25 +) K HK : 3x y 0 nên gọi K (4t;3t 1) HK AK (4t 4;3t 7); CK (4t 4;3t 1) t 5 AK CK AK CK 25 t 50 t +) Ta có: Vì hồnh độ điểm K t 9 0,25 2 ) 5 nhỏ nên Tam giác SHC vuông H nên K ( ; +) BC có phương trình : x y 10 0 +) B BC d B (6; 2) +) Lập phương trình AD: x y 0 +) Lập phương trình CD: x y 0 +) Tìm D( 4; 2) Vậy B(6;2), C(4;-2), D(-4;2) Câu Xét số thực a, b, c thỏa mãn a b c 3 a b2 c 27 Tìm giá trị lớn 0,25 1,0đ 4 2 2 2 của biểu thức P a b c ab a b ac a c bc b c P a b c a 3b ab3 a 3c ac b3c bc a a b c b3 b a c c3 c a b 3 a b3 c a 0,25 b3 c a b c b c bc 1 2 b c 3 a; bc b c b c a 27 a a 3a 2 Do a b3 c a a 27 a a 3a 0,25 a 9a 27a 108 Ta có b c 3; bc a 3a 2 Ta ln có b c 4bc, b, c Do a 4 a 3a a 3;5 0,25 Ta có P 3a 27 a 81a 324 Xét hàm số f (a) 3a 27 a 81a 324 xác định liên tục 3;5 f '(a) 9a 54a 81; a 3 3;5 ; f '(a) 0 a 3 3;5 f ( 3) 243 f (5) 381 Ta có: f (3 2) 81 324 Vậy GTLN f (a ) 381 a 5 Do GTLN P 381 a 5; b c Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà phù hợp với chương trình giám khảo cho điểm tương đương HẾT 0,25