Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian
NGUYỄN HỒNG ĐIỆP A Hình học tọa độ khơng gian u v a B 26 tháng 05, 2014 A 3rd −LTEX−201402 TĨM TẮT TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Copyright c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp Phần I Hình học Chương Phương pháp tọa độ không gian A Vectơ không gian → → Trong không gian cho vectơ −1 = x , y , z , −2 = x , y , z số k tùy ý u u − → − → • u1 = u2 ⇔ x1 = x2 y = y2 z1 = z2 − → − → • u ± u = x ± x 2, y1 ± y2, z ± z − → • k u = k x 1, k y1, k z − − → → • Tích có hướng: u u = x x + y y + z z → → Hai vectơ vng góc ⇔ −1 −2 = ⇔ x x + y y + z z = u u − → 2 • u = x + y1 + z • Gọi ϕ góc hợp hai vectơ 0◦ ϕ 180◦ − − → → u u − − → → cos ϕ = cos u , u = − → − = → u1 u2 x 1x + y1y2 + z 1z 2 2 2 x + y1 + z x + y2 + z − → • A B = x B − x A , y B − yA , z B − z A AB = (x B − x A )2 + y B − y A + (z B − z A )2 • Tọa độ điểm đặc biệt: x A + x B yA + y B z A + z B , , 2 x A + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + z C Tọa độ trọng tâm G tam giác A BC : G , , 3 Tọa độ trọng tâm G tứ diện A BC D : Tọa độ trung điểm I A B : I G x A + x B + x C + x D y A + y B + yC + y D z A + z B + z C + z D , , 4 • Tích có hướng hai vectơ vectơ vng góc hai vectơ xác định − → − − → → u = u1, u2 = y1 z z x1 x1 z , , y2 z z x2 x2 z • Một số tính chất tích có hướng − → − → − → − − → → a b phương ⇔ a , b = − − → → − → A, B,C thẳng hàng ⇔ A B , AC = CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN → → → → − → →− Ba vectơ − , b , − đồng phẳng ⇔ − , b − = a c a c − − → → −→ − → Bốn điểm A, B,C , D không đồng phẳng ⇔ A B , AC AD = − − → → a,b → − → − − − → → = a b sin a , b • Các ứng dụng tích có hướng − −→ → Diện tích hình bình hành: S A BC D = A B , AD Diện tích tam giác: S A BC = − − → → A B , AC − −→ −→ → Thể tích khối hộp: VA BC D.A B C D = A B , AD AA Thể tích tứ diện: VA BC D = − − → → −→ A B , AC AD B Phương trình mặt phẳng • Phương trình tổng quát (α): a x + b y + c z + d = với (a + b + c = 0) − → • Phương trình mặt phẳng (α) qua M x , y , z có vectơ pháp tuyến n = (a ,b, c ) (α): a (x − x ) + b y − y + c (z − z ) = • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (α) qua A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c ) x − x y − y0 z − z + + = 1, với a ,b, c = a b c − → − → • Nếu n = (a ,b, c ) vectơ pháp tuyến (α) k n , k = vectơ pháp tuyến (α) Do mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến Trong số trường hợp ta tìm vectơ pháp tuyến cách chọn giá trị cụ thể cho a (hoặc b c ) tính hai giá trị cịn lại đảm bảo tỉ lệ a : b : c (α): C Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho (α): a x + b y + c z + d = β : a x + b y + c z + d = • (α) cắt β ⇔ a : b : c = a : b : c a b1 c1 d = = = a b2 c2 d a b1 c1 d • (α) trùng β ⇔ = = = a b2 c2 d • (α) song song β ⇔ • (α) vng góc β ⇔ a a + b 2b + c c = D Phương trình đường thẳng → Cho đường thẳng d qua M x , y , z có vectơ phương − = (a ,b, c ) Khi đó: u • Phương trình tham số d x y d: z = x0 + a t = y0 + b t = z0 + ct • Phương trình tắc d (khi a b c = 0) d: x − x y − y0 z − z = = a b c E Vị trí tương đối hai đường thẳng → Đường thẳng d qua M có vectơ phương −1 , d qua M có vectơ phương u − → u thì: − → − − → → − −−−→ → • d trùng d ⇔ u , u = u , M M = − → − − → → u1, u2 = • d song song d ⇔ − −−−→ − → → u , M 1M = − − −−−→ → → u , u M M = • d d cắt ⇔ − − − → → → u1, u2 = − − −−−→ → → • d d chéo ⇔ u , u M M = F Góc − → • Góc hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n α , mặt phẳng β − → • Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d d có vectơ phương u → −2 , góc d d tính u − − → → cos (d , d ) = cos u , u − − → → u u = − → − → u1 u2 − → • Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ phương u , → mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến − , góc d (α) ϕ tính n − − → → u n sin ϕ = − → − → u n G Khoảng cách • Khoảng cách từ điểm A x , y , z tới (α) : a x + b y + c z + d = d (A, (α)) = a x + b y0 + c z + d a2 +b2 + c2 − → • Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M có vectơ phương u d (A, ∆) = − →− −− → M M 0, u − → u • Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 biết ∆1 qua M có vectơ → → phương −1 ; ∆2 qua M có vectơ phương −2 u u d (∆1 , ∆2 ) = − − −−−→ → → u , u M M − − → → u1, u2 • Khoảng cách hai mặt phẳng (α) β song song khoảng cách từ M ∈ (α) tới β CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN • Khoảng cách hai đường thẳng ∆1 ∆2 song song khoảng cách từ M ∈ ∆1 tới ∆2 • Khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (α) song song khoảng cách từ điểm M ∈ d tới (α) H Phương trình mặt cầu • Mặt cầu tâm I (a ,b, c ), bán kính R có phương trình (S) : (x − a )2 + (y − b )2 + (z − c )2 = R • Phương trình x + y + z − 2a x − 2b y − 2c z + d = có a +b + c > d phương trình mặt cầu với tâm I (a ,b, c ) bán kính R = a2 +b2 + c2 − d I Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho (α) S(I , R), • d (I , (α)) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu • d (I , (α)) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, mặt phẳng gọi tiếp diện mặt cầu Tọa độ tiếp điểm M tọa độ hình chiếu vng góc I xuống (α) • d (I , (α)) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn C (I , r ), gọi đường trịn giao tuyến, Tâm I tọa độ hình chiếu vng góc I xuống mặt phẳng (α) Bán kính r = R − I I J Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho đường thẳng d : x y z = x0 + t a = y + t a mặt cầu (S) : (x − a )2 + (y −b )2 + (z − c )2 = R Xét = z0 + t a3 vị trí tương đối d (S) ta dùng hai cách: Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗)) d (S), cách lấy x , y , z từ phương trình đường thẳng thay vào phương trình (S) giải phương trình theo ẩn t • Phương trình (∗) vơ nghiệm: d (S) khơng có điểm chung • Phương trình (∗) có nghiệm: d tiếp xúc với (S) • Phương trình (∗) có nghiệm phân biệt: d cắt (S) điểm phân biệt So sánh khoảng cách d (I , d ) R • d (I , d ) > R : d (S) khơng có điểm chung • d (I , d ) = R : d tiếp xúc với (S) • d (I , d ) < R : d cắt (S) điểm phân biệt Khi cần tìm xác tọa độ giao điểm d (S) ta dùng cách thứ 1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α) 1.1 Viết phương trình mặt phẳng (α) → Viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần biết vectơ pháp tuyến − điểm M ∈ (α) n − → n D Dạng → Viết phương trình mp(α) biết vectơ pháp tuyến − = (a ,b, c ) điểm M x , y , z ∈ (α) n (α): a (x − x ) + b y − y + c (z − z ) = Viết phương trình mặt phẳng trung trực A B − → Tìm tọa độ I trung điểm A B , tính A B − → → Viết phương trình mặt phẳng (α) qua I có vectơ pháp tuyến − = A B n A I α B d Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua M song song β : a x + b y + c z + d = → Do (α) song song β nên vectơ pháp tuyến (α) − = (a ,b, c ) n Viết phương trình mặt phẳng (α) Dạng Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M vng góc với đường thẳng d có vectơ phương − → u = (a ,b, c ) → Do (α) song song β nên vectơ pháp tuyến (α) − = (a ,b, c ) n Viết phương trình mặt phẳng (α) 10 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Dạng − → → Viết phương trình mặt phẳng biết M ∈ (α) cặp vectơ phương − , b a → → →− Vectơ pháp tuyến (α) − = − , b n a Viết phương trình mặt phẳng (α) Bài toán thường gặp dạng “Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C” − − → → Ta lập vectơ từ điểm: A B , AC → → →− Vectơ pháp tuyến (A BC ) − = − , b n a Viết phương trình mặt phẳng (A BC ) B A C Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng chéo − → → Tìm − , b vectơ phương đường thẳng a → → →− Vectơ pháp tuyến (α) − = − , b n a Viết phương trình mặt phẳng (α) Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua N đường thẳng d → Trên d chọn điểm A vectơ phương − u → → −→ Vectơ pháp tuyến (α) − = − , AN n u Viết phương trình (α) M d A α 1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α) 11 Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt d , d − → → Tìm − , b vectơ phương d , d a → → →− Vectơ pháp tuyến (α) − = − , b n a Lấy điểm M tùy ý thuộc d d → Viết phương trình (α) qua M có vectơ pháp tuyến − n d2 M d1 α Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua d song song d (d d chéo nhau) − → → Tìm − , b vectơ phương d , d a → → →− Vectơ pháp tuyến (α) − = − , b n a Lấy điểm M tùy ý thuộc d → Viết phương trình (α) qua M có vectơ pháp tuyến − n d2 M d1 α Dạng Cho hai đường thẳng chéo d d Viết phương trình mặt phẳng (α) β cho (α) chứa d , β chứa d (α) song song β Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d song song d 2 Viết phương trình mặt phẳng β qua d song song d 12 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN d2 β d1 α 10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d vng góc với β → → Tìm − vectơ phương d −β vectơ pháp tuyến β u n → → → Vectơ pháp tuyến (α) −α = − , −β n u n Chọn điểm M ∈ d → Viết phương trình (α) qua M có vectơ pháp tuyến −α n 11 Dạng 11 Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến d β γ đồng thời thỏa mãn số điều kiện cho trước Cách Loại toán tương tự dạng viết phương trình mặt phẳng qua d có phương trình cho trước Dựa vào hệ phương trình β γ cho x (hoặc y z ) hai giá trị cụ thể để xác định hai điểm A, B d Khi tốn quay dạng biết Cách Dùng phương trình chùm mặt phẳng 12 Dạng 12 Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với β γ → → Tìm −β , −γ vectơ pháp tuyến β γ n n → → → Vectơ pháp tuyến (α) −α = −β , −γ n n n Viết phương trình mặt phẳng (α) 1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α) 13 13 Dạng 13 Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng (α) β Gọi M (x , y , z ) điểm cách (α) β Ta có: d (M , (α)) = d M , β Từ biểu thức ta xác định mặt phẳng cần tìm 14 Dạng 14 Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d cách M khoảng k Phương trình mặt phẳng (α) có dạng (α) : a x + b y + c z + d = (a + b + c = 0) Chọn hai điểm khác A, B thuộc d Do A, B thuộc (α) nên thay vào phương trình (α) ta hai phương trình (1), (2) Do d (M , (α)) = k nên ta phương trình (3) Từ (1), (2) ta khử d , từ (3) tìm mối liên hệ a ,b, c Cho a giá trị cụ thể tìm b, c , d (đảm bảo điều kiện a + b + c = 0) 15 Dạng 15 Cho đường thẳng d điểm A nằm d Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α) lớn Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M A lên d Giả sử β mặt phẳng tùy ý chứa d , M ∈ β Kẻ AH ⊥ β Ta ln có AH ≤ AM Vậy mặt phẳng (α) chứa d cho khoảng cách từ A tới (α) lớn mặt phẳng qua d vng góc AM Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M vng góc AM 16 Dạng 16 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R điểm H Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S) − → Vectơ pháp tuyến (α) I H Viết phương trình mặt phẳng (α) 17 Dạng 17 Viết phương trình mặt phẳng song với β : a x + b y + c z + d = tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S) Do (α) song song với β nên phương trình (α) có dạng (α): a x + b y + c z + D = (D = d ) Do (α) tiếp xúc (S) nên d (I , (α)) = R Giải phương trình ta tìm D 14 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 18 Dạng 18 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (S) đồng thời song song d d → → Tìm tâm I , bán kính R mặt cầu (S) Tìm −1 , −2 vectơ phương d , d u u → → → Vectơ pháp tuyến (α) − = −1 , −2 = (a ,b, c ) n u u Phương trình mặt phẳng (α) có dạng (α): a x + b y + c z + d = Ta có d (I , (α)) = R Từ ta tìm d Viết phương trình mặt phẳng (α) 19 Dạng 19 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (S) chứa d Tìm tâm I bán kính R (S) Giả sử (α): a x + b y + c z + d = với a + b + c = Tìm tọa độ A, B hai điểm phân biệt thuộc d Do A, B thuộc (α) nên ta phương trình (1), (2) Khử d tìm ẩn theo hai ẩn cịn lại ta phương trình (3) Ta có: d (I , (α)) = R , ta phương trình (4) Thay (3) vào (4) ta phương trình (5) gồm hai ẩn Từ (5) ta cho ẩn giá trị cụ thể tìm a ,b, c , d (lưu ý a + b + c = 0) Viết phương trình mặt phẳng 20 Dạng 20 Viết phương trình mặt phẳng qua A, B,C tọa độ hình chiếu D(a ,b, c ) xuống trục tọa độ Tọa độ hình chiếu D xuống trục tọa độ A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c ) Viết phương trình mặt phẳng 21 Dạng 21 Viết phương trình mặt phẳng qua A, B,C tọa độ hình chiếu D(a ,b, c ) xuống mặt phẳng tọa độ Tọa độ hình chiếu D xuống mặt phẳng tọa độ A(a ,b, 0); B (0,b, c );C (a , 0, c ) Viết phương trình mặt phẳng 1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α) 22 15 Dạng 22 Viết phương trình mặt phẳng qua G cắt trục tọa độ A, B,C biết G trọng tâm tam giác A BC Gọi giao điểm (α) với trục tọa độ A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c ) Áp dụng công thức trọng tâm với G ta tìm a ,b, c Viết phương trình mặt phẳng (α) 23 Dạng 23 Viết phương trình mặt phẳng qua H cắt trục tọa độ điểm A, B,C biết H trực tâm tam giác A BC Cách 1: Gọi giao điểm (α) với trục tọa độ A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c ) −→ −→ → −→ − −→ − → Do H trực tâm tam giác A BC nên ta có: H A BC = 0, H B AC = 0, HC A B = Từ ta phương trình giải tìm a ,b, c Viết phương trình mặt phẳng A H B C Cách 2: Chứng minh OH ⊥ (A BC ) • Ta có : OC ⊥ A B,C H ⊥ A B nên A B ⊥ (OC H ) ⇒ A B ⊥ OH • Tương tự AO ⊥ BC , AH ⊥ BC nên BC ⊥ (AOH ) ⇒ BC ⊥ OH −→ • Vậy OH ⊥ (A BC ) hay OH vectơ pháp tuyến mặt phẳng (A BC ) −→ Viết phương trình mặt phẳng (A BC ) qua H có vectơ pháp tuyến OH 16 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN C H B O A 24 Dạng 24 Viết phương trình mặt phẳng qua M x , y , z cắt trục tọa độ A, B,C cho OA = kO B = l OC Mặt phẳng (α) có phương trình (α) : a (x − x ) + b y − y + c (z − z ) = Từ ta xác định tọa độ A, B,C theo a ,b, c Ta có: OA = kO B = l OC ⇔ OA = k 2O B = l 2OC , ta tìm mối liên hệ a ,b, c (có tất trường hợp) Cho a giá trị cụ thể ta tìm b, c (lưu ý (a ,b, c ) tọa độ vectơ pháp tuyến (α) nên a + b + c = 0) Viết phương trình mặt phẳng 25 Dạng 25 Viết phương trình mặt phẳng qua M x , y , z cắt trục tọa độ A, B,C cho thể tích tứ diện OA BC nhỏ Gọi giao điểm (α) với mặt phẳng tọa độ A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c ) với a ,b, c > Mặt phẳng (α) có phương trình (α): Do M ∈ (α) nên ta : x y z + + =1 a b c x y0 z + + =1 a b c 1 Thể tích tứ diện OA BC V = · B.h = · ·OA.O B.OC = a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm x y0 z , , ta a b c x 0y0z x 0y0z x y0 z + + ≥33 ⇔1≥33 ⇔ a b c ≥ 27x y z ⇔ V ≥ 27x y z a b c abc abc Dựa vào bất đẳng thức điều kiện trở thành đẳng thức bất đẳng thức Cauchy rút kết luận Viết phương trình mặt phẳng 1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α) 26 17 Dạng 26 Viết phương trình mặt phẳng cách đỉnh tứ diện A BC D Một mặt phẳng muốn cách hai điểm M , N • Hoặc qua trung điểm I M N • Hoặc song song với M N Vì để mặt phẳng (α) cách đỉnh tứ diện : • Hoặc mặt phẳng (α) qua trung điểm cạnh xuất phát từ đỉnh Có mặt phẳng • Hoặc mặt phẳng (α) chứa hai đường trung bình tứ diện Có ba mặt phẳng Tóm lại ta có tất mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu tốn Tính tọa độ trung điểm M , N , P,Q, R,S A B, AC , BC ,C D, B D Viết phương trình mặt phẳng (a) (α1 ) qua M , N , P (b) (α2 ) qua M ,S,Q (c) (α3 ) qua Q, N , R (d) (α4 ) qua P,S, R Viết phương trình mặt phẳng (a) (α5 ) qua M N SR (b) (α6 ) qua N P QS (c) (α7 ) qua M P QR Kết luận: có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán A P M N S D B R Q C Lưu ý • Mặt phẳng cách A, B: mặt phẳng qua trung điểm I A B d (A, (α)) = d (B, (α)) 18 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN L A I α B • Mặt phẳng trung trực: mặt phẳng qua trung điểm I A B vng góc A B Mặt phẳng trung trực tập hợp điểm cách hai đầu mút A, B tức M A = M B với M điểm thuộc (α) A I α B d 27 Dạng 27 Viết phương trình mặt phẳng chứa d tạo với mặt phẳng β góc x ◦ → Tìm −β vectơ pháp tuyến mặt phẳng β tìm tọa độ hai điểm phân biệt A, B nằm n d Phương trình mặt phẳng (α) có dạng (α) : a x + b y + c z + d = với a + b + c = Do A, B ∈ (α) nên ta phương trình (1), (2) Khử d từ (1), (2) tìm ần theo ẩn cịn lại ta phương trình (3) 1.2 KHOẢNG CÁCH, ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG Ta có cos (α) , β − − → → = cos n α , n β 19 − − → → n α n β = − → → − , ta phương trình (4) nα nβ Thay (3) vào (4) ta phương trình (5) gồm ẩn Cho ẩn giá trị cụ thể ta tìm ẩn lại, lưu ý điều kiện a + b + c = Viết phương trình mặt phẳng 1.2 Khoảng cách, điểm thuộc mặt phẳng Dạng Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H điểm M xuống mặt phẳng (α) Cách 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với (α) Khi H tọa độ giao điểm d (α) Cách 2: tọa độ điểm H xác định bởi: H thuộc (α) −→ − M H −→ phương n (α) Dạng Tìm tọa độ M điểm đối xứng M qua (α) Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc M xuống (α) Khi H trung điểm M M Dạng d Xác định vị trí tương đối A , B với (α) M Cách 1: Gọi I giao điểm đường thẳng A B (α) d − → − → • A B hai phía (α) ⇔ I A I B hướng − → − → • A B phía với (α) ⇔ I A I B hướng A A B I I α α B 20 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Cách 2: Khoảng cách đại số từ A x A , y A , z A tới (α) : a x + b y + c z + d = số xác định d (A, (α)) = a x A + b y A + c z A + d • A B nằm phía (α) ⇔ d (A, (α)).d (B, (α)) > • A B nằm khác phía (α) ⇔ d (A, (α)).d (B, (α)) < Dạng Cho hai điểm A, B mặt phẳng (α) Tìm điểm M ∈ (α) cho M A + M B ngắn Xác định vị trí tương đối A, B với (α) d Trường hợp 1: M A, B nằm khác phía với (α) • Ta có: M A + M B ≥ A B , dấu xảy ⇔ M ∈ A B Do M A + M B nhỏ d M giao điểm A B (α) • Viết phương trình tham số A B tìm tọa độ M A M α B Trường hợp 2: A, B nằm phía với (α) • Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc M xuống (α), A điểm đối xứng A qua (α) Tìm tọa độ H A • Ta có: M A +M B = M A +M B ≥ A B Dấu xảy ⇔ M nằm đường thẳng A B Do M A + M B bé ⇔ M giao điểm A B (α) • Viết phương trình tham số A B tìm tọa độ M A B H M α A d 1.2 KHOẢNG CÁCH, ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG 21 ∗ Nếu thay điều kiện (α) đường thẳng ∆ ta lập luận tương tự toán Dạng Cho (α) hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc (α) cho |M A − M B | lớn Xác định vị trí tương đối A, B (α) Trường hợp 1: A, B nằm phía với (α) • Ta có: |M A − M B | ≤ A B Dấu xảy ⇔ M nằm đường thẳng A B không nằm đoạn thẳng A B Do |M A − M B | lớn M giao điểm đường thẳng A B (α) • Viết phương trình tham số A B tìm tọa độ M A B M α Trường hợp 2: A, B nằm khác phía với (α) • Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc A lên (α), A tọa độ đối xứng A qua (α) Tìm tọa độ H , A • Ta có: |M A − M B | = |M A − M B | ≤ A B Dấu xảy M nằm đường thẳng A B không đoạn thẳng A B Do |M A − M B | lớn M giao điểm đường thẳng A B mặt phẳng (α) • Viết phương trình tham số A B , tìm tọa độ giao điểm M A B (α) A H M α A B d ∗ Nếu thay điều kiện (α) đường thẳng ∆ ta lập luận tương tự toán 22 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Dạng Trong mặt phẳng tọa độ Ox y z cho ba điểm A(a ; 0; 0), B (0,b, 0),C (0; 0; c ) với a ,b, c số dương thay đổi cho a + b + c = k Xác định a ,b, c để khoảng cách từ O tới (A BC ) lớn Phương trình mặt phẳng (A BC ) : (A BC ) : Ta có : d (O, (A BC )) = x y z + + =1 a b c 1 1 + 2+ a2 b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 3 + 2+ ≥3 k = a +b +c ≥ a 2b c 2 2b c a b c a Từ ta lập luận tìm giá trị lớn khoảng cách ... xuống mặt phẳng tọa độ Tọa độ hình chiếu D xuống mặt phẳng tọa độ A(a ,b, 0); B (0,b, c );C (a , 0, c ) Viết phương trình mặt phẳng 1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α) 22 15 Dạng 22 Viết phương trình. .. ) xuống trục tọa độ Tọa độ hình chiếu D xuống trục tọa độ A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c ) Viết phương trình mặt phẳng 21 Dạng 21 Viết phương trình mặt phẳng qua A, B,C tọa độ hình chiếu D(a... mặt cầu mặt phẳng Cho (α) S(I , R), • d (I , (α)) > R : mặt phẳng khơng cắt mặt cầu • d (I , (α)) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, mặt phẳng gọi tiếp diện mặt cầu Tọa độ tiếp điểm M tọa độ hình