Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 DẠNG A Phan Nhật Linh TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Biểu diễn hình học số phức ( ) biểu diễn điểm M (a;b ) Số phức z = a + bi a, b  ( ) hay u = a;b mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy Tập hợp điểm biểu diễn số phức Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • ax + by + c =  tập hợp điểm đường thẳng B • • x =  tập hợp điểm trục tung Oy y =  tập hợp điểm trục hoành Ox • ( x − a ) + (y − b ) •  x − a + y − b = R2   tập hợp điểm đường trịn có tâm I a;b , bán kính x + y − 2ax − 2by + c =  ( 2 ) ( ) ( )  R2  tập hợp điểm hình trịn tâm I a;b , bán kính R ( ) • • R = a + b2 − c x   tập hơp điểm miền bên phải trục tung y   tập hợp điểm miền phía trục hồnh • • x   tập hợp điểm miền bên trái trục tung y   tập hợp điểm phía trục hồnh • y = ax + bx + c  tập hợp điểm đường Parabol • x y2 + =  tập hợp điểm đường Elip a b2 • x y2 − =  tập hợp điểm đường Hyperbol a b2 BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA Câu 35 – Đề tham khảo 2023 Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A ( 0; ) B ( −2;0 ) C ( 0; −2 ) D ( 2;0 )  Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi , với x, y  Từ giả thiết z + 2i =  x + ( y + ) = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 0; −2 ) , bán kính R = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 C Câu 1: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Cho số phức z thỏa mãn iz − = + 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( C ) A I ( 0;1) ; R = Câu 2: B I ( 0;1) ; R = C I ( 0; − 1) ; R = D I ( 0; − 1) ; R = Cho số phức z thoả mãn z + − 2i = Biết tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường trịn Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường trịn Câu 3: A I ( −6; ) , R = 16 B I ( 6; −2 ) , R = C I ( 6; −2 ) , R = 16 D I ( −6; ) , R = Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −1;2 ) B I ( −1; −2 ) C I (1;2 ) Câu 4: D I (1; −2 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; ) điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z Biết số phức w = ( z + 2i ) z − số thực M nằm trung trực AB Tổng S = a + b A S = −14 Câu 5: B S = A B 3 C D 3 Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 3i = D I ( 2; −3) Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −3;4 ) B I ( −3; −4 ) C I ( 3; −4 ) Câu 8: 10 1 = + Diện tích tam giác z+w z w đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 2;3) B I ( −2; −3) C I ( −2;3) Câu 7: D S = Cho số phức w có w = Một tam giác có đỉnh điểm biểu diễn w hai đỉnh lại biểu diễn hai nghiệm phương trình Câu 6: C S = −2 D I ( 3;4 ) Cho Gọi (C ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − + z − z = Diện tích hình phẳng giới hạn (C ) A 24 Câu 9: B C 16 D Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi ( x, y  ) + z = i − z A x − y = 2| Biên soạn: Phan Nhật Linh B x + y − = C x − y + = D x + y = thỏa mãn Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 10: Gọi H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy cho z − z  , số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình H A 2 B 5 C 5 D 5 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i  Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) hình phẳng ( H ) có diện tích A S = 9 C S = 18 B S = Câu 12: Xét số phức z thỏa mãn ( z −1 + i ) z + z i +1 D S = 18 số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z parabol có đỉnh  9 3 9 A I  − ; −  B I  ;   2 2 2  33  C I  ; −  4  3 9 D I  ; −  2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + với + iz = z − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng  Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến  A B 2 C D Câu 14: Cho phương trình z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z  , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn iz + − 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −2; −1) B I ( −2;1) C I ( 2;1) D I ( 2; −1) Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + − i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 2;3) B I ( 2; −3) C I ( −2; −3) D I ( −2;3) Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 7; −1) B I ( −7;1) C I ( −7; −1) ( z +1+ i = − 4i D I ( 7;1) ) Câu 18: Cho số phức z có z − = w = + 3i z + Tập hợp điểm biểu diễn số phức ( ) A I ( −3; ) , R = w = + 3i z + đường tròn, tâm bán kính đường trịn ( ) B I 3; − , R = C I ( ) ( ) 3; , R = D I 3; , R = Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − = , biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + i đường trịn Tính bán kính đường trịn Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A B 2 C D Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z mặt 1− i phẳng tọa độ Oxy đường trịn có tâm  3 A I  − ;   2 1 3 B I  ; −  2 2  1 C I  − ; −   2 Câu 21: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3 1 D I  ;  2 2 z + − 2i = z − + 3i A Đường trịn tâm I ( 5; −8 ) bán kính 17 B Đường tròn tâm I ( −5;8 ) bán kính 17 C Đường trịn tâm I ( 5; ) bán kính D Đường tròn tâm I ( −5 ; ) bán kính Câu 22: Cho z1 z hai số phức z thỏa mãn z − − 3i = , đồng thời z1 − z2 = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn có phương trình dạng ( x − a ) + ( y − b ) = r ( r  ) Tính giá trị biểu thức T = ( a + b ) r A T = 96 B T = 64 C T = D T = 12 Câu 23: Biết phương trình z + mz + m − = ( m tham số thực) có hai nghiệm phức A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 z0 = i Có giá trị tham số m để diện tích tam giác ABC 1? A B 4| Biên soạn: Phan Nhật Linh z1 , z2 Gọi C D Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn iz − = + 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( C ) A I ( 0;1) ; R = B I ( 0;1) ; R = C I ( 0; − 1) ; R = D I ( 0; − 1) ; R = Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi ( x; y  ) Theo ra: iz − = + 2i  i ( x + yi ) − = + 2i  −1 − y + xi =  x + ( y + 1) = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) có tâm I ( 0; − 1) , bán kính R = Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z + − 2i = Biết tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường trịn Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường trịn A I ( −6; ) , R = 16 B I ( 6; −2 ) , R = C I ( 6; −2 ) , R = 16 D I ( −6; ) , R = Lời giải Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y  ) Theo đề ta có: x + yi + − 2i =  ( x + ) + ( y − ) i =  ( x + 6) + ( y − 2) 2 =  ( x + ) + ( y − ) = 16 2 Vậy tập điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −6; ) , bán kính R = Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 2i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −1;2 ) B I ( −1; −2 ) C I (1;2 ) D I (1; −2 ) Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi (với x; y   ( x + 1) + ( y − ) i =  ) Ta có: z + − 2i = ( x + 1) + ( y − ) =  ( x + 1) + ( y − ) = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; ) điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z Biết số phức w = ( z + 2i ) z − số thực M nằm trung trực AB Tổng S = a + b A S = −14 B S = C S = −2 D S = 10 Lời giải Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn A Ta có: AB ( −5;5 )  −1  Đường trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm I  ;  có phương trình  2 (d ) : x − y + = M  d  M ( a; a + )  z = a + ( a + ) i ; z = a − ( a + ) i Khi w =  a + ( a + ) i   a − − ( a + ) i  = a ( a − ) − a ( a + ) i + ( a − )( a + ) i + ( a + )( a − ) w số thực −a ( a + ) + ( a + )( a − ) =  − a − 2a + a − 16 =  a = −8  b = −6  a + b = −14 Câu 5: Cho số phức w có w = Một tam giác có đỉnh điểm biểu diễn w hai đỉnh cịn lại biểu diễn hai nghiệm phương trình A B 3 1 = + Diện tích tam giác z+w z w C D 3 Lời giải Chọn C z  Điều kiện:  w  1 = +  z.w = ( z + w ) w + ( z + w ) z  z + z.w + w2 = Ta có z+w z w   z z z i  w = z1,2 i  z =  −     + +1 =  = −  w 2 2  w w   Lúc z1 = z2 = −  i w = w = w + z1 + z2 = 2 Suy w , z1 , z biểu diễn ba điểm A , B , C tạo thành tam giác nằm đường trịn tâm O bán kính R = Tam giác ABC có đường cao h = Diện tích tam giác S ABC = 6| Biên soạn: Phan Nhật Linh 2 3 3 h = =3 , độ dài cạnh a = R= 2 3 a.h = Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 6: Phan Nhật Linh Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 3i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ B I ( −2; −3) A I ( 2;3) C I ( −2;3) D I ( 2; −3) Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi (với x; y  ) Suy z = x − yi Ta có: z + − 3i =  ( x + ) + ( − y − 3) i =  ( x + 2) + ( y + 3) =  ( x + ) + ( y + 3) = 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −2; −3) , bán kính R = Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −3;4 ) B I ( −3; −4 ) C I ( 3; −4 ) D I ( 3;4 ) Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi (với x; y  ) Ta có: z + (1 + 2i ) =  z − + 4i =  ( x − 3) + ( y + ) =  ( x − 3) + ( y + ) = 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = Câu 8: Cho Gọi (C ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − + z − z = Diện tích hình phẳng giới hạn (C ) A 24 B C 16 Lời giải D Chọn D Đặt z = x + iy, x, y  Khi đó, đẳng thức z + z − + z − z =  x − + 2iy =  x −2 +8 y =  x −2 + y = Ta đồ thị hình vẽ bên dưới: Đây hình thoi có độ dài hai đường chéo ; nên diện tích (2.8) : = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 9: ( x, y  ) Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi thỏa mãn + z = i − z A x − y = B x + y − = C x − y + = D x + y = Lời giải Chọn D Ta có + z = i − z  + x + yi = i − x − yi  (1 + x ) + y = x + ( y − 1)  x + y = 2 Câu 10: Gọi H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy cho z − z  , số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình H A 2 B 5 C 5 D 5 Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi, ( x, y  , x  ) x2 y +  Ta có ( x + yi ) − ( x − yi )   x + 25 y   x + 25 y  25  25 2 2 x2 y = , có tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền Elip với Xét elip ( E ) : + 25 x 0 5 Ta có a = 5, b = , nên diện tích hình H S =  a.b = 2 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i  Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) hình phẳng ( H ) có diện tích A S = 9 C S = 18 Lời giải B S = D S = 18 Chọn C Ta có z − + 2i =  z (1 + i ) + ( −1 + 2i )(1 + i ) = + i  w − + i  Giả sử w = x + yi ( x, y  )  x − + ( y + 1) i   ( x − 3) + ( y + 1)  18 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn ( H ) tâm I ( 3;1) bán kính R = 18 Khi diện tích hình trịn S =  R = 18 Câu 12: Xét số phức z thỏa mãn ( z −1 + i ) z + z i +1 số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z parabol có đỉnh  9 3 9 A I  − ; −  B I  ;   2 2 2  33  C I  ; −  4  Lời giải Chọn D Gọi z = a + bi ( a, b  8| Biên soạn: Phan Nhật Linh ) Khi z −1+ i ( z + z )i +1 = (a − 1) + (b + 1)i 2ai + 3 9 D I  ; −  2 2 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh z −1 + i Vì số thực nên ( ( a − 1) + ( b + 1) i ) (1 − 2ai ) số thực hay −2a ( a − 1) + ( b + 1) =0 z + z i +1 ( ) Suy 2a − 2a − b − = (*)  a = Mà w = z , gọi w = x + yi , suy ra:  b =  x thay vào biểu thức (*) ta y x y  x   − − − =  y = x2 − x − 3 3 3 3 9 Do đó, tập hợp biểu biễn w parabol có đỉnh I  ; −  2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + với + iz = z − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng  Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến  A B 2 C D Lời giải Chọn B w−2 , thay vào + iz = z − 2i ta được: 1+ i Ta có w = (1 + i ) z +  z = i ( w − 2) + + i w −2 w −2 w − − 2i − 2i 1+ i = − 2i  =  i ( w − ) + + i = w − 2i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i    iw − 2+  = w − 2i  w − + − i = w − 2i  w − − i = w − 2i i   Gọi w = x + yi ( x, y  ) , từ (1) (1) ta có x + yi − − i = x + yi − 2i  ( x − 1) + ( y − 1) i = x + ( y − ) i  ( x − 1) + ( y − 1) = x + ( y − )  x − y + = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w mặt phẳng phức đường thẳng  : x − y + = Khi d ( A,  ) = − ( −2 ) + 1 + ( −1) 2 = 2 Câu 14: Cho phương trình z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z  , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Lời giải Chọn D Xét phương trình: z = z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi =    z − mz + + mi = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;1 Phan Nhật Linh thỏa mãn f (1) = ;  f ' ( x )  + xf ( x ) = x − x, x   0;1 Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x )   trục Ox , Oy Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox tích A  Câu 22: Cho B hàm số 2 y = f ( x) C có đạo f ( x) + xf ( x) = x + x + 3, x  hàm 3 liên D tục 4 thỏa mãn Giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f  ( x) thuộc khoảng A ( 27;28 ) Câu 23: Cho hàm B ( 26;27 ) số y = f ( x) có C ( 28;29 ) đạo hàm cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos x + 2sin x, x  y = f ( x ) , y = f  ( x) , x = x = A −  Câu 24: Cho hàm số  B +  y = f ( x) liên D ( 29;30 ) tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường C −  D +  có đạo hàm liên tục thoả mãn f (1) = f ( x ) = xf  ( x ) − x3 − 3x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) y = f  ( x ) A B C 18 D 27 Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thoả mãn f  ( x ) + f ( x) = x + 3x x f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) phương trình tiếp tuyến điểm y = f ( x ) có hoành độ x = A 2400 12 B 2401 12 C 333 Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục D ( 0;+ ) 335 thoả mãn f (1) = x ( − f  ( x ) ) = f ( x ) − với x  Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) trục Ox , trục Oy x = A B C D f  ( x ) = −2 x  f ( x )  , x  Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) , x = x = Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn f ( x )  0, x  ; f ( ) = A  B  C 2 D 3 Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn − xf  ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) , x  (1; +  ) , f ( x )  , x  (1; +  ) f ( e ) = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = xf ( x ) , y = , x = e , e2 x = e Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A B Câu 29: Cho hàm số y = f ( x) Về đích đặc biệt 9+ C D có đạo hàm liên tục thỏa mãn hệ thức x f ( x ) + x f  ( x ) = x3 − 12 x + x Tính thể tích vật tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành trục tung quanh trục Ox A B 8 C 32 D Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) dương, có đạo hàm liên tục  −2;1 32 , thỏa mãn hệ thức f ( x ) = f  ( x ) x + f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành đường thẳng x = −2, x = A 3e − 2e2 Câu 31: Cho hàm số B 3e + 2e2 C 3e + e2 D 3e − e2 f ( x ) = x3 + ax + bx + c với a, b, c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f  ( x ) + f  ( x ) có hai giá trị cực trị −4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) g ( x ) + 12 A 2ln y = B ln D ln C ln18 Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f  ( x ) có diện tích A 127 40 B 107 C 127 10 Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục D 13 \ 0 thoã mãn f (1) = f ( x ) − xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x − Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đường y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = 1; x = A ln − B − ln Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = x + C − ln D 10 − ln 0 (10u − x ) f (u )du có đồ thị ( C ) Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục tung, tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = A S = 108 6| Biên soạn: Phan Nhật Linh B S = 12 C S = 180 D S = 112 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm xác định Phan Nhật Linh thoả mãn  0;+  ) f ( ) = Diện tích hình phẳng x − x ( f  ( x ) − ) + ( f ( x ) − f  ( x ) + 1) = , x   0; +  ) có gới hạn hai đồ thị y = f ( x ) y = f  ( x ) 5 Câu 36: Cho hàm 3 y = f ( x ) có A C B số đạo hàm liên D tục thỏa mãn f ( x ) = ( x − 1) f  ( x ) + x3 − 3x + f ( ) = −6 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f  ( x ) + A B D 22 C 15 Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục f (1) = và thỏa mãn xf  ( x ) = f ( x ) + 3x − 3x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f  ( x ) A 162 Câu 38: Cho hàm B số 324 y = f ( x) liên C tục 104 khoảng D    − ;   2 229 10 Biết f (0) =    f  ( x ) cos x + f ( x ) sinx = , x   − ;  Diện tích hình phẳng giới hạn đường  2    y = f ( x ) , y = trục Oy ( miền x   − ;  )  2 A Câu 39: Cho 2 − hàm B 2 − y = f ( x) số có C đạo hàm − liên tục D 2−  thỏa mãn f ( x) + xf ( x) = x − x , x  Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x) 71 45 A B C D 12 Câu 40: Cho hàm y = f ( x) số có f ( x) + xf ( x) = x + x − 4, x  y = xf ( x) 112 272 A B 15 15 Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên trục đạo hàm liên tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) C 1088 15 D 32 0 thỏa mãn điều kiện f ( x ) = x − + xf ( + 15x ) dx Đồ thị hàm số y = g ( x ) = ax3 + bx + cx − cắt đồ thị y = f ( x ) ba điểm phân biệt có hồnh độ 1;2;4 Hình phẳng giới hạn hai đường cong f ( x ) g ( x ) có diện tích bằng: Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A I = B I = Về đích đặc biệt 9+ C I = 37 12 D I =  f ( x )  Câu 42: Cho hàm số y = f ( x ) , có đạo hàm f (1) =  (1;+ ) thỏa mãn điều kiện  f  ( x )  ( )  f ' ( x )  = ( x − 1) f ( x ) −  f  ( x )  + Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ 2 thị hàm số y = f ( x ) với đường x = 1; x = Ox ? A S = B S = C S = −4 D S = −8 Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thỏa mãn f (1) = x ( f ' ( x ) − x ) = f ( x ) − 1, x  Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) ; x = 1; x = trục hoành A 32 B 20 C 12 D 32 Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ( 0; +  ) thỏa mãn xf  ( x ) + f ( x ) = x x Biết f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − xf  ( x ) , trục hoành, đường thẳng x = 1; x = A 14 B 124 C 62 D 28 Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có f ( ) = , đạo hàm f  ( x ) liên tục  −2; + ) thỏa mãn ( x + ) f  ( x ) − f ( x ) = ( x − )( x + )3 với đồ thị hàm số y = f ( x ) trục hoành A 432 8| Biên soạn: Phan Nhật Linh B 448 x   −2; + ) Diện tích hình phẳng giới hạn C 464 D 446 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( có f ( ) = f  ( )  thỏa mãn biểu thức ) f ( x ) − f  ( x ) f ( x ) − x − 3x = 18 x − xf ( x ) Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ) g ( x ) = x f  ( x ) A B C D Lời giải Chọn A ( ) Ta có: f ( x ) − f  ( x ) f ( x ) − x − 3x = 18 x − xf ( x ) ( )  xf ( x ) + f ( x ) = f  ( x ) f ( x ) − x − 3x + 18 x ( )  ( x + 3) f ( x ) + f  ( x ) x + 3x = f ( x ) f  ( x ) + 18 x     f ( x ) x + 3x  =  f ( x )  + 18 x   ( )     f ( x ) x + 3x  dx =  f ( x )  dx + 18 x 2dx   (  ) (  )  f ( 0) =0  f ( x ) x + 3x = f ( x ) + x3 + C ⎯⎯⎯⎯ →C = ( ) ( )  f ( x ) − x f ( x ) + x3 − 3xf ( x ) =  f ( x ) f ( x ) − x − 3x f ( x ) − x =  f ( x ) = x2  f ( x ) − x ( f ( x ) − 3x ) =   Do f  ( )   f ( x ) = 3x  f ( x ) = x ( ) Ta có: f ( x ) = 3x  f  ( x ) =  g ( x ) = x f  ( x ) = x = 3x x = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: 3x = 3x  3x − 3x =   x = 1 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị là: S = Câu 2: Cho hàm y = f ( x) số có đạo hàm 0 ( 3x − 3x ) dx = liên tục thỏa mãn f ( x) + xf ( x) = x − x − 4, x  Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f  ( x) A 125 B 40 C 131 D 10 Lời giải Chọn C Ta có: f ( x) + x f ( x) = x3 − x − , x   [ x f ( x)] = x3 − x − , x   ( x)  f ( x) + x f ( x) = x3 − x − , x   x f ( x) = x − x − x + C , x  Với x =  C = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Suy f ( x) = x3 − x −  f ( x) = x − Xét phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) y = f ( x) , ta có: x = x − x − = 3x −   x = −1 Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x )  x = 4 y = f ( x) là: S = Câu 3: −1 f ( x) − f ( x) dx = −1 x − x − x dx = 131 Biết hàm số f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục nửa khoảng ( 0;1 , thỏa mãn f ( x) với x  ( 0;1 Khi diện tích hình phẳng giới hạn x đường y = f ( x ) y = − x gần giá trị sau đây? f (1) = f ( x ) + x f  ( x ) = B 0, 49 A 0,58 C 1, 22 D 0,97 Lời giải Chọn B Ta có: f ( x ) + x f  ( x ) = ( f ( x) x f  ( x )  f ( x ) + x )   x f ( x ) =  x f ( x ) = x  f ( x) x = f ( x)  ( x ) f ( x ) + x = x x f ( x) dx  x f ( x ) = x + C Vì f (1) =  2.1 f (1) = + C  C = Do x f ( x ) = x  f ( x ) = x Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = − x  x=  = − x  −4 x + x − =   x x = Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị S=  f ( x ) − g ( x ) dx = Câu 4: 1  x − + x dx = 0, 488 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ( 0;+ ) thỏa mãn x f '( x ) − x f ( x) = x x − x f (1) = −1, tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f  ( x ) A B C Lời giải 10| Biên soạn: Phan Nhật Linh D 11 Biết Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn C Theo giả thiết ta có: xf ' ( x ) − f ( x ) = x −  Phan Nhật Linh xf ' ( x ) − f ( x ) x =1− x2 f ( x) f ( x)  f ( x )  1    = 1 − dx  = x + + C ( )  =1−  x x x x x    x   f (1) Mà f (1) = −1 nên từ ( ) có:  f ( x) x = x+ 1 = + + C  −1 = + C  C = −3 1 −  f ( x ) = x − 3x +  f  ( x ) = x − x x = Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3x + = x −  x − x + =   x = 4 Diện tích hình phẳng bằng: S = Câu 5: 1 x − x + dx = y = f ( x ) hàm liên tục có tích phân Cho hàm số 0;2 thỏa điều kiện ( ) = x +  xf ( x ) dx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x y = f ( x ) đường thẳng y = x − 12 A 30 C 24 Lời giải B 27 D 22 Chọn B 2 0 ( ) = x +  xf ( x ) dx Đặt  xf ( x ) dx = a Ta có f x ( ) Khi f x = x + a  f ( x ) = x + a 3 ax  Do a = xf ( x ) dx = x x + a dx  a =  x +   a = 24 + 2a  a = −24 2  0 0   ( ) Nên f ( x ) = x − 24  x = −1 Ta có x − 24 = x − 12  x − x − =   x = 2 Vậy diện tích cần tìm S = Câu 6:  6x −1 2 − x − 12 dx =  (6x −1 ) − x − 12 dx = 27 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) nằm phía trục hoành Hàm số y = f ( x ) thỏa mãn 1 điều kiện ( y ) + y y = −4 f ( ) = 1; f   = Diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) 4 trục hoành gần với số đây? A 0,98 B 0,88 C 0,78 D 0,68 Lời giải Chọn A Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Ta có ( f  ( x ) ) + f  ( x ) f ( x ) = −4  ( f  ( x ) f ( x ) ) = −4   ( f  ( x ) f ( x )) dx =  −4dx  f  ( x ) f ( x ) = −4 x + C    f  ( x ) f ( x ) dx = f ( x)  ( −4x + C ) dx   f ( x ) d ( f ( x )) = −4 x2 + C x + B = −2 x + C.x + B  f ( x ) = −4 x + 2C.x + B 1 Theo giả thiết f ( ) = f   = nên ta có 4  B =1 B =   C  C =  f ( x ) = −4 x + x +   − + +B =  Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) với trục hoành (C ) −4 x + x + =  1−  x1 =  −4 x + x + =    1+  x2 =  Vì ( C ) ln phía trục hồnh nên S = 1+  −4 x + x + 1dx  0,98 1− Câu 7: Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định  0;2 thỏa mãn đồng thời điều kiện f (1)  , f ( x)  với x  , ( x − 1) f ( x) + f ( x) = f ( x) f ( x) với x  [0;2] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = x − A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn B Từ giả thiết ( x − 1) f ( x) + f ( x) = f ( x) f ( x) với x  [0;2] , cho x = , ta có f (1) = f (1) f ' (1)  f (1) 1 − f ' (1)  =  f (1) = Mặt khác, x  [0;2] , ta có ( x − 1) f ( x) + f ( x) = f ( x) f ( x)  ( x − 1) f ( x )  =  f ( x )   ( x − 1) f ( x ) = f ( x ) + C Thay x = , ta suy f (1) + C =  C =  f ( x) = Do đó, ta ( x − 1) f ( x ) = f ( x )    f ( x ) = x − Vì f ( x )  0, x  nên ta suy f ( x ) = x − Xét phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) y = x − , ta có: 12| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 x = x − = x2 −   x = Phan Nhật Linh Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = x − là: S = Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên 5 x + x − 3x3 − 3x + x, x  2 số y = f ( x); y = f ( x) có diện tích xf ( x) + x f ( x) = A 127 40 B 127 10 C tục 0 x − x dx = thỏa mãn Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm 107 D 13 Lời giải Chọn C 5 x + x − 3x3 − 3x + x, x  2   x f ( x) + x f ( x) = x5 + x − 3x3 − 3x + x, x  2    x f ( x)  = x5 + x − 3x3 − 3x + x, x  2 1  x f ( x) = x + x5 − x − x3 + x + C 4 3 C  f ( x) = x + x − x − x + + 4 x Vì f ( x ) liên tục nên C = Ta có: xf ( x) + x f ( x) = ( ) 3 3 x + x − x − x +  f ( x) = x3 + x − x − 4 2  Xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) = f ( x) Do f ( x) =  x = −2  x = −1 1  x − x3 − x + x + =   x = 4  x = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số S= Câu 9: −2 f ( x) − f ( x) dx = 107 (dvdt ) Cho hàm số f ( x ) = x + bx + c ( b, c  (d ) : y = g ( x) y = f ( x); y = f ( x) ) có đồ thị đường cong ( C ) đường thẳng tiếp xúc với ( C ) điểm x0 = Biết ( d ) ( C ) cịn hai điểm chung khác có hồnh độ x1 , x2 ( x1  x2 ) x2  x g ( x) − f ( x) ( x − 1) dx = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) đường thẳng ( d ) A 29 B 28 C 143 D 43 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f ( x ) − g ( x ) = ( x − 1) ( x − x1 )( x − x2 ) = x + bx − mx + n (*) x2 Ta có:  x f ( x) − g ( x) ( x − 1)2 x2 1 x ( x − x1 )( x − x2 ) dx = x ( x − x1 )( x − x1 + x1 − x2 ) dx x2 x2 = dx = x2 x ( x − x1 ) 2  ( x − x )3 x − x1 )  (   + ( x − x1 )( x1 − x2 ) dx =  + ( x1 − x2 )      x1 3 x2 − x1 ) ( x2 − x1 ) x2 − x1 ) ( ( −4 = − =− = Suy ( x2 − x1 ) =  x2 − x1 = 3 (1) Mặt khác theo định lí viet bậc phương trình (*) ta được: + + x2 + x1 =  x2 + x1 = −2 ( ) x = Từ (1) , ( )    x1 = −2 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) đường thẳng ( d ) là: S= −2 ( x − 1) ( x + ) x dx = 29 Câu 10: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = ax3 + bx + cx + d ( P ) : y = mx + nx + p có đồ thị hình vẽ (Đồ thị ( C ) nét có đường cong đậm hơn) Biết phần hình phẳng giới hạn ( C ) ( P ) (phần tơ đậm) có diện tích Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay phần hình phẳng quanh trục hồnh có giá trị gần với số nhất? A 12.53 B 9.34 C 10.23 Lời giải D 11.74 Chọn D Từ đồ thị ta có: ( P ) : y = g ( x ) = mx + nx + p ( P ) qua ( 3;1) , ( 5;3) , (1;2 )  m=  9m + 3n + p =  29   25m + 5n + p =  n = −2  g ( x ) = x − x + 8 m + n + p =  29  p =  14| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Đường cong ( C ) : y = ax3 + bx + cx + d Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt điểm có hồnh độ x = , x = , x = suy f ( x ) − g ( x ) = k ( x − 1)( x − 3)( x − )( k  ) 3  S = k  ( x − 1)( x − 3)( x − ) dx − ( x − 1)( x − 3)( x − ) dx  = k  − ( −4 )  = 8k     S =  = 8k  k =  f ( x) = 29 x3 15 15 x − x − x − + x − x + = − x + x− ( )( )( ) 8 8 Vậy V =  Câu 11: Cho 1 ( f hàm −g ) dx +   ( g ) − f dx = số y = f ( x) có đạo xf ( x ) + x f ' ( x ) = x + x + x, x  6533 2007 +   11.74 3360 1120 hàm liên tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ' ( x ) A B C D Lời giải Chọn D Ta có:  ( xf ( x ) + x ) f ' ( x ) dx = 2  (( x ) ' f ( x ) + x f ' ( x ) )dx =  (5x + 6x + 4x )dx = x + 2x +2x + C  x f ( x ) = x5 + x +2 x + C Cho x = ta C =  f ( x ) = x3 + x + ; f ' ( x ) = 3x + Xét phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) y = f ' ( x ) : x = x + x + = 3x +   x =  x = 2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 0 f ( x ) − f ' ( x ) dx = Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục xác định  0;+  ) thỏa mãn điều kiện x + 8 − f  ( x )  x +  f ( x ) − f  ( x ) + 8 = , x   0; +  ) f (1) = Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) y = x + x − bằng: A B C D Lời giải Chọn B Ta có: x + ( − f  ( x ) ) x + ( f ( x ) − f  ( x ) + ) = Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023  x + x − xf  ( x ) + f ( x ) − f  ( x ) + =  x + x + = xf  ( x ) − f ( x ) + f  ( x ) ( )  x + x + = f  ( x )( x + ) − f ( x )  ( x + ) = ( x + ) f  ( x ) − f ( x ) x + 2) f ( x ) − f ( x ) f ( x)  f ( x )  (  =2 = 2x + C  =2 x+2 ( x + 2)  x+2 f ( x) Mặt khác f (1) = nên C = −2  = x −  f ( x ) = ( x + )( x − ) = x + x − x+2 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x + x − = x + x − x =  x2 + x − = x2 + 8x −  x2 − x + =   x =  Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số là: S= 2 ( x Câu 13: Cho ) ( ) + x − − x + x − dx = hàm f ( x) số thỏa f ( x )  0, x  (1; + ) f ( e ) = 2 x − x + dx = − xf  ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) , x  (1; + ) mãn , Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị e2 y = xf ( x ) , y = 0, x = e, x = e A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn A Ta có: − xf  ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x )  − x f ( x) f ( x)  xg  ( x ) ln x + g ( x ) = x , x  (1; + ) với g ( x ) =  g  ( x ) ln x +  g ( x ) ln x − Do f ( e ) = g ( x)   dx +  g ( x) x = x , x  (1; + ) f ( x) f ( x) = x, x  (1; + )  g  ( x ) ln x dx + x g ( x) x ln x +  g ( x) x  dx = 2x dx dx = x + C  g ( x ) ln x = x + C , x  (1; + )  g ( e ) = e2  C = Suy g ( x ) ln x = x , x  (1; + ) e x2 x ln x  g ( x) =  0, x  (1; + )  y = xf ( x ) = = , x  (1; + ) ln x g ( x) x Ta có S = e2 e x f ( x ) dx = e2 e e2 ln x dx = ln x = x 2 e Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục khoảng ( −1; +  ) đồng thời thỏa mãn điều kiện f  ( x )   x  ( −1, + ) , f  ( ) = −1  f  ( x )  = f  ( x ) , f ( 3) = − ln Khi diện tích giới hạn đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = 2, x = bao nhiêu? 16| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A 8ln − ln − B 8ln − 3ln − C 4ln − 3ln − D 8ln + 3ln − Lời giải Chọn B Phan Nhật Linh    −1 =  Với x  ( −1; + ) , ta có:  f  ( x )  = f  ( x )  −1 = −   f  ( x )   f  ( x )  1 mà f  ( ) = −1 nên C1 = −1  f ( x) =  − x + C1 = − x + C1 f ( x) f  ( x ) 1  f ( x) = dx = − ln x + + C2 −x −1 −x −1 Mặt khác, ta có: f ( 3) = − ln  − ln ( ) + C = − ln ( )  C2 = nên f ( x ) = − ln ( x + 1)  Vậy f  ( x ) = Khi đó: S = 2 − ln ( x + 1) dx = 2 ln ( x + 1) dx = 8ln − 3ln − Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa f ( x ) + f  ( x ) = ; f (1) − f ( ) =  x3 − x + x (x ) − x +1 f ( x ) dx = Biết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) : y = f ( x ) , trục tung trục hồnh có dạng S = ln a − ln b với a, b số nguyên dương Tính T = a + b A T = 14 B T = 25 C T = 36 Lời giải Chọn B Ta có f ( x ) + f  ( x ) =     f ( x )dx +  ( ) x2 − x +  0 ( x − 1) ( x − x + 1) − x + x + = ( ) x2 − x + 2x − x2 − x − f  ( x )dx = dx − dx x − x +1 x2 − x +   f ( x )dx +  f  ( x )dx =   x3 − x + x D T = 43  ( )− d x2 − x + x2 − x + ( ) x2 − x − ( x − 1)2   x2 − x + 2 dx    2x −   x2 − x +  d   d x2 − x + 2x −  2x −  f ( x )dx + f ( x ) = − = ln x − x + + +C 2 x − x +1 x − x +1  x2 − x +     2x −   ( ) (  ) 2x −   f ( x )dx =  ln x − x + + − f ( x) + C  x − x +1  0 ( ) Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 ( ) 1  ln x − x + = = f ( x ) dx  0  Vì  nên suy x −    = − (−1) = = f (1) − f ( )  x − x +  Do đó: S =   2x − dx = − ln x − x + x − x +1 ( ) = ln C =  2x −  f x = ( )  x2 − x + = ln − ln a = Suy  Vậy T = a + b = 25 b = Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai, liên tục nhận giá trị dương đoạn  0;1 thỏa mãn 1 1 f  ( x ) − f ( x ) f  ( x ) + xf  ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = 0, x  [0;1], f    = f   = 2 2 phân 0  f Biết tích a a ( a, b số nguyên dương phân só tối giản) Giá trị a + b b b ( x ) dx = A 181 B 25 C 10 Lời giải D 26 Chọn B Ta có: f  ( x ) − f ( x ) f  ( x ) + xf  ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) =  f  ( x ) + f  ( x ) + xf  ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = f ( x ) f  ( x ) + f  ( x )  ( x + ) f  ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = f ( x ) f  ( x ) + f  ( x )  2  ( x + 1) f  ( x )  =  f ( x ) + 1 f  ( x )  ( x + 1) f  ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + C1   1 1 Theo giả thiết: f    = f   =  = + C1  C1 = 4 2 2  ( x + 1) f  ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + Do  f  ( x)dx = f ( x ) 1  = ( x + 1)2 f ( x) + f ( x) +  ( x + 1)2 dx  −1 = ( f ( x )  0) −1 + C2 ( x + 1) 1 f ( x) +  f ( x) +  2  1 1 1 = Theo giả thiết: f    = f   =  C2 =  ( x + 1) 2 2 f ( x) + 2 a = 13 1 13   f ( x ) = x +   f ( x )  dx =  x +  dx =   a + b = 25 2 12  b = 12 0   Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục , thỏa mãn f  ( x ) − f ( x ) = −8 + 16 x − x f ( ) = Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) trục Ox quay quanh Ox 18| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 256 256 16 A B C   15 15 Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có Phan Nhật Linh D ( 16 ) f  ( x ) − f ( x ) = −8 + 16 x − x  f  ( x ) e − x − f ( x ) e − x = −8 + 16 x − x e − x ( ) = ( −8 + 16 x − x ).e = ( x − x ) e + C  f ( x ) e − x  f ( x ) e − x −x  f ( x ) e − x = −x  ( −8 + 16 x − x ).e dx −x Vì f ( ) =  C = Ta có f ( x ) = x − x Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) trục hồnh thỏa mãn phương trình x = f ( x) =   x = Vậy thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) trục Ox quay quanh Ox V =  0 ( x ) − x dx = Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 256  15 , thỏa mãn x f  ( x ) − f ( x ) = x − f ( ) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox trục Oy A B C D Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta có x f  ( x ) − f ( x ) = x −  x4 =  f ( x )  x − 4x −    = x3 x3  x  f ( x) 4x − 4 dx  = − + + C  f ( x ) = Cx − x + x x x x x Vì f ( ) = nên C =  f ( x) x f  ( x ) − xf ( x ) =  Vậy f ( x ) = x − x + Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hồnh nghiệm phương trình f ( x) =  x = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox trục Oy 0 S = ( x − x + 4)dx = Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19