THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 1 TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình. THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 2 TÍCH PHÂN I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 1 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx  ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx  . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)           . Bước 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt      . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x   . Giải Đặt dx t ln x dt x    .ĐỔI CẬN : 2 x e t 1, x e t 2       2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t      . Vậy I ln 2  . Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x)     . Hướng dẫn: 4 4 3 3 2 0 0 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x         . Đặt t tan x 1   ;ĐS: 3 I 8  . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3     . Hướng dẫn: Đặt t 2x 3   ĐS: 3 I ln 2  . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x     . Hướng dẫn: Đặt 3 2 2 2 1 3 x t dt t 8 1 x (t 1)        ; đặt t tan u   ĐS: I 3 2 3     . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 3 Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x     , rồi đặt t 1 x   sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 2 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( ) b a f x dx  ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( ) dx u t dt  . Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t         . Bước 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt          . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1 x    . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 2              ĐỔI CẬN : 1 x 0 t 0, x t 2 6        6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t         6 6 0 0 dt t 0 6 6           . Vậy I 6   . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx    . Hướng dẫn: Đặt x 2 sin t  ĐS: I   . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1 x    . Giải Đặt 2 x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 2 2                   x 0 t 0, x 1 t 4        4 4 2 2 0 0 tan t 1 I dt dt 4 1 tan t            . Vậy I 4   . Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2      . Hướng dẫn: THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 4 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1)           . Đặt x 1 tan t   ; ĐS: I 12   . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x    . ĐS: I 2   . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2      . ĐS: I 12   . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 2 3 0 I cos x sin xdx    . Hướng dẫn: Đặt t cos x  ĐS: 2 I 15  . Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx    . Hướng dẫn: Đặt t sin x  ĐS: 8 I 15  . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx    . Giải 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4       2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4        2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8        3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32                 . Vậy I 32   . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1      . Hướng dẫn: Đặt x t tan 2  . ĐS: I ln 2  . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 5 Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t  : 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t        3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1     . Giải Đặt x t dx dt       .ĐỔI CẬN x 0 t , x t 0           0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1                  0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1                 2 2 0 0 dt dt t t t 2 4 cos sin cos 2 4 2 2            2 0 0 t d 2 4 t tan 2 t 2 2 4 cos 2 4                                                . Vậy I   . Tổng quát: 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2       . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x     . Giải Đặt x t dx dt 2       .ĐỔI CẬN: x 0 t , x t 0 2 2               2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 2 2             2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t      (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2       (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4   . Tổng quát: 2 2 n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4             . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 6 Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x     và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x     . Giải I 3J 1 3    (1).   6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3           Đặt t x dt dx 3       1 I J ln 3 4   (2). Từ (1) và (2) 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4       . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x     . Giải Đặt 2 x tan t dx (1 tan t)dt     . ĐC: x 0 t 0, x 1 t 4          4 4 2 2 0 0 ln(1 tan t) I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt 1 tan t            . Đặt t u dt du 4       .ĐC: t 0 u , t u 0 4 4         0 4 0 4 I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du 4                               4 4 0 0 1 tan u 2 ln 1 du ln du 1 tan u 1 tan u                                   4 4 0 0 ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I 4           .Vậy I ln 2 8   . Ví dụ 19. Tính tích phân 4 x 4 cos x I dx 2007 1       . Hướng dẫn: Đặt x t   .ĐS: 2 I 2  . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 7 Tổng quát: Với a > 0 , 0   , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn   ;   thì x 0 f(x) dx f(x)dx a 1        . Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa f( x) 2f(x) cos x    . Tính tích phân 2 2 I f(x)dx      . Giải Đặt 2 2 J f( x)dx       , x t dx dt      .ĐC: x t , x t 2 2 2 2               2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx                   2 2 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2          . Vậy 2 I 3  . 3.3. Các kết quả cần nhớ i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a f(x)dx 0    . ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx     . iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 2 2 n n 0 0 (n 1)!! , n !! cos xdx sin xdx (n 1)!! . , n !! 2                       neáu n leû neáu n chaün . Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3 .5;       6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3 .5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10      . Ví dụ 21. 2 11 0 10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693      . Ví dụ 22. 2 10 0 9!! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512         . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 8 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có     / / / / / / uv u v uv uv dx u vdx uv dx        b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udv          b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu           . Công thức: b b b a a a udv uv vdu     (1). Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b / / a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx     (2). 2. Phương pháp giải toán Giả sử cần tính tích phân b a f(x)g(x)dx  ta thực hiện Cách 1. Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx   (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx  không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu  phải tính được. Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x)sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx    Với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)  . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx  thì đặt u ln x  . Cách 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx    và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx   . Giải Đặt x x u x du dx dv e dx v e                    1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1         . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 9 Ví dụ 2. Tính tích phân e 1 I x ln xdx   . Giải Đặt 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2                        e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4        . Ví dụ 3. Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx    . Giải Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx v e                   2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J             . Đặt x x u cos x du sin xdx dv e dx v e                     2 2 x x x 2 0 0 0 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I             2 2 e 1 I e ( 1 I) I 2           . Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx    . Hướng dẫn: Đặt t x  2 0 I 2 t cos tdt 2           . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx   . ĐS: (sin1 cos1)e 1 I 2    . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Phương pháp giải toán: 1. Dạng 1: THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 10 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx   , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x)  0  0  Bước 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx         . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx      . Giải Bảng xét dấu x 3  1 2 2 x 3x 2    0  0     1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2           . Vậy 59 I 2  . Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx      . ĐS: I 2 3 2 6     . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân   b a I f(x) g(x) dx    , ta thực hiện Cách 1. Tách   b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx        rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 11. Tính tích phân   2 1 I x x 1 dx      . Giải Cách 1.   2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx             0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx              [...]... 2 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường b y  f(x), x  a, x  b và trục hoành là S   f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b] b Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x) dx a Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới...  1  dx  3 Vậy I  80 3 80 3 2 Ví dụ 13 Tính tích phân I   min  3 , x 4  x  dx 0 Giải Đặt h(x)  3   4  x   3 x  x  4 x Bảng xét dấu x h(x) 1 I  0 2 3 dx  x  1 0 – 1 0 2 + 2  4  x  dx  3x 1  x2  2 5 2 5   4x     Vậy I      ln 3 0  2 1 ln 3 2 ln 3 2 11 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1 Dạng 1 b Để chứng minh... 0 3 Dạng 3 b Để tính các tích phân I  b  max  f(x), g(x) dx và J  a  min  f(x), g(x)  dx , ta thực a hiện các bước sau: Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)  f(x)  g(x) trên đoạn [a; b] Bước 2 + Nếu h(x)  0 thì max  f(x), g(x)   f(x) và min  f(x), g(x)   g(x) + Nếu h(x)  0 thì max  f(x), g(x)   g(x) và min  f(x), g(x)   f(x) 4 Ví dụ 12 Tính tích phân I   max  x 2  1, 4x... được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: 1 Trường hợp 1 17 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x)  0 x   a; b  , b y  0 , x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V   f 2 (x)dx a Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x  y  R quay quanh Ox...  b là S   f(x)  g(x) dx a Phương pháp giải toán Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)  g(x) trên đoạn [a; b] b Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x)  g(x) dx a 2.2 Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  f(x), y  g(x) là S   f(x)  g(x) dx Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn  nhất của phương trình...  a      b  Phương pháp giải toán Bước 1 Giải phương trình f(x)  g(x) Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)  g(x) trên đoạn  ;    Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x)  g(x) dx  Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  11x  6, y  6x2 , x  0, x  2 Giải Đặt h(x)  (x  11x  6)  6x2  x 3  6x2  11x  6 h(x)  0  x  1  x  2  x  3 (loại)... dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x2  4x  3, x  0, x  3 và Ox Giải Bảng xét dấu x 0 y 1 1 0 – 3 0 + 3 S    x  4x  3  dx  2 0   x 2  4x  3  dx 1 1 3  x3   x3  8 8    2x2  3x      2x2  3x   Vậy S  (đvdt)    3  3    0  1 3 3 2 Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng... nghiệm nào nữa thì ta có thể 4 2 2 4   dùng công thức  f(x)  g(x) dx     f(x)  g(x)  dx  Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 3 , y  4x Giải Ta có x 3  4x  x  2  x  0  x  2 0 S  x 2 3  4x  dx  2  0 0 Vậy S  8 (đvdt) Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x2  4 x  3 và trục hoành Giải Ta có x  4 x  3  0  t2  4t  3  0, t  x  0 2 t... 0 x  dx  1  sin 11 0 x 3 Dạng 3 b Để chứng minh A   f(x)dx  B ta thực hiện các bước sau a Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m  f(x)  M b Bước 2 Lấy tích phân A  m(b  a)   f(x)dx  M(b  a)  B a 1 Ví dụ 16 Chứng minh 2   4  x 2 dx  5 0 Giải Với  x   0; 1  : 4  4  x 2  5  2  4  x2  1 Vậy 2   4  x 2 dx  0 12 5 5 THẦY NGUYỄN QUANG... x 2  dx 2 2 R 0 R  x  4R  2  R2 x        3 0 3 3 3 Vậy V  4 R 3 (đvtt) 3 2 Trường hợp 2 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g(y)  0 y   c; d  , d x  0 , y  c và y  d (c  d) quay quanh trục Oy là V   g2 (y)dy c 2 Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : 2 x y  2  1 quay quanh Oy 2 a b Giải y2  1  y  b b2 x2 y2 a 2 y2 Phương