Kiến thức cơ bản - Luợng giác 1 Chuyên đ II ề PH・・NG TRÌNH L・・NG GIÁC Trong chủ đề lượng giác, tác giả không trình bày những dạng toán giảm tải của chương trình như: “ phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức để giải, chuyển đổi phương trình về dạng hệ phương trình, bất phương trình lượng giác, hệ phương trình lượng giác, hệ bất phương trình lượng giác…”. Để giỏi phương trình lượng giác, các em cần: 1. Nắm vững các công thức lượng giác; 2. Chia phương trình lượng giác ra thành từng loại và rèn luyện từng phần; 3. Giải nhiều bài tập để rút kinh nghiệm. Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản 1. cosu cosv u v k2       2.   k u v k2 sinu sinv u 1 v k u v k2                   3. tanu tanv u v k      4. cotu cotv u v k      Một số trường hợp đặc biệt: cosx 0 x k 2        cosx 1 x k2      cosx 1 x k2         tanx 1 x k 4        tanx 1 x k 4          tanx 0 x k      sinx 0 x k      sinx 1 x k2 2        sinx 1 x k2 2          cotx 1 x k 4        cotx 1 x k 4          cotx 0 x k 2        Ví dụ 1. Giải phương trình: 2sin 2x 4sinx 1 6           Lời giải Phương trình cho tương đương với     3sin2x cos2x 4sinx 1 0   2 2 3sinxcosx 2sin x 4sinx 0 2 3cosx sinx 2 sinx 0         Khi sinx 0 x k     Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 2 Khi 5 sinx 3cosx 2 sin x 1 x k2 3 6                  Vậy, nghiệm của phương trình là: x k ,   5 x k2 6     Ví dụ 2. 1. Giải phương trình:   cos3x sin2x 3 sin3x cos2x    2. Giải phương trình 3sin2x cos2x 2cosx 1    Đề thi Đại học khối A, A1 – 2012 3. Giải phương trình: 2(cosx 3sinx)cosx cosx 3sinx 1     Đề thi Đại học Khối B – năm 2012. Lời giải 1. Phương trình đã cho tương đương với:    cos3x 3sin3x 3cos2x sin2x 1 3 3 1 cos3x sin3x cos2x sin2x cos 3x cos 2x 2 2 2 2 3 6                       3x 2x k2 x k2 3 6 6 k2 3x 2x k2 x 3 6 10 5                                        Vậy, nghiệm của phương trình là: k2 x , 10 5      x k2 6      2. Phương trình cho 2 2 3sinxcosx 2cos x 1 2cosx 1        2cosx 3sinx cosx 1 0     cosx 0  hoặc 3sinx cosx 1   Với cosx 0 x k , k 2         Với 3 1 1 3sinx cosx 1 sinx cosx cos x cos 2 2 2 3 3                 2 x k2 x k2 3 3 ,k 3 x k2 x k2 3 3                                   Chú ý: 3 1 1 sinx cosx 1 sin x sin 2 2 6 2 6               Kiến thức cơ bản - Luợng giác 3 x k2 x k2 6 6 ,k 2 5 x k2 x k2 3 6 6                                  3. Cách 1: Phương trình cho tương đương 2 2cos x 3sin2x cosx 3sinx 1       2 2cos x 1 3sin2x cosx 3sinx      cos2x 3sìnx cosx 3sinx     sin 2x sin x 6 6                   2x x k2 6 6 2x x k2 6 6                              k2 x 3 2 x k2 3              k2 x ,k 3      Chú ý: Phương trình đã cho tương đương : cos2x 3sin2x cosx 3sinx    cos 2x cos x 3 3                   2x x k2 3 3                k2 x ,k 3      Cách 2: Phương trình đã cho tương đương : 2 2cos x 3sin2x cosx 3sinx 1       2 2cos x 1 3sin2x cosx 3sinx      cos2x 3sin2x cosx 3sinx     cos 2x cos x 3 3                   2x x k2 3 3 k2 x ,k 3 2x x k2 3 3                                  Cách 3:   2 cosx 3sinx cosx cosx 3sinx 1     2 2cos x cosx 1 2 3sinxcosx 3sinx 0             2cosx 1 cosx 1 3sinx 2cosx 1 0           2cosx 1 cosx 3sinx 1 0      1 cosx 2cosx 1 0 2 k2 x ,k 1 3 cosx 3sinx 1 cos x 3 2                                Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 4 Ví dụ 3. Giải phương trình:     2 cos x. cosx 1 2 1 sinx . sinx cosx     Lời giải Điều kiện: sinx cosx 0   Phương trình đã cho tương đương:        2 1 sin x cosx 1 2 1 sinx sinx cosx          1 sinx 1 cosx sinx sinx.cosx 0             1 sinx 1 cosx 1 sinx 0        sinx 1 x k2 k,m 2 cosx 1 x m2                         , thỏa điều kiện bài toán. Vậy, nghiệm của phương trình là: x k2 , 2      x m2     Ví dụ 4. Giải phương trình: cotx cot2x tanx 1    Lời giải. Điều kiện: cosx 0 sinx 0 sin2x 0 x k ,k 2 sin2x 0                Phương trình đã cho tương đương : cosx cos2x sinx 1 sinx sin2x cosx      2 2 2 2 2cos x cos2x 2sin x sin2x 2 cos x sin x cos2x sin2x         cos2x sin2x tan2x 1 x k 8 2          thỏa điều kiện. Vậy, nghiệm phương trình là: x k 8 2     Dạng 2. Phương trình lượng giác Nhận thấy, phương trình có sinx.cosx và sinx cosx  chúng ta đặt t sinx cosx   Ví dụ. Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4 sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x        Lời giải Phương trình đã cho tương đương:     sinx cosx . 2 2 sinx cosx sinx.cosx 0          Khi sinx cosx 0 tanx 1 x k 4          Kiến thức cơ bản - Luợng giác 5 Khi   2 2 sinx cosx sinx.cosx 0        . Đặt t sinx cosx   , t 2; 2       Phương trình    trở thành: 2 t 4t 3 0 t 3 2; 2             hoặc t 1   Với t 1   tức 1 3 sinx cosx 1 2cos x cos cos 4 4 4 2                    3 x m2 x m2 4 4 3 x m2 x m2 2 4 4                                    Vậy, nghiệm của phương trình là: x k , 4     x m2 , 2     x m2     , k,m   . Dạng 3. Phương trình bậc hai dạng lượng giác 2 acos x bcosx c 0    2 asin x bsinx c 0    2 atan x btanx c 0    2 acot x bcotx c 0    Ví dụ 1. Giải phương trình:   1 cosx 2cosx 1 2sinx 1 1 cosx      Lời giải Điều kiện: cosx 1 x k2     Phương trình đã cho tương đương : 2 1 2cos x cosx 2sinx 1 cosx        2 2 2 1 sin x 2sinx 0 2sin x 2sinx 2 0             Đặt t sinx,      t 1;1 \ 0   Phương trình    trở thành: 2 2t 2t 2 0 t 2      hoặc 1 t 2   Với 1 t 2   tức x m2 2 4 sinx sin 52 4 x m2 4                            Vậy, nghiệm của phương trình là: x m2 , 4      5 x m2 4     . Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 2cos4x 6cos x 1 3cos2x 0 cosx     Lời giải. Điều kiện: cosx 0 x k 2       Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 6 Phương trình đã cho tương đương : 2 2cos4x 6cos x 1 3cos2x 0 cosx         2 2 2 2cos 2x 1 3 1 cos2x 1 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2x 1 0               Đặt t cos2x,      t 1;1 \ 0   Phương trình    trở thành: 2 2t 3t 1 0 t 1      hoặc 1 t 2  Khi 1 t 2  tức 1 cos2x x m 2 6        Khi t 1  tức n cos2x 1 x 2     Đối chiếu điều kiện, ta được x p ,x m , 6        p,m   . Vậy, nghiệm của phương trình là: x m ,x p 6        Dạng 4. Phương trình lượng giác về dạng tích Với dạng toán này, thường quy về dạng A.B 0 A 0    hoặc B 0  Ví dụ. Giải phương trình: 3sin x sin x 2sin 5x 0 3 6 6                            Lời giải Ta thấy, sin x cos x 6 3                  nên phương trình cho viết lại: 3sin x cos x 2sin 5x 0 3 3 6                            2 sin x cos cos x sin 2sin 5x 0 3 6 3 6 6                                     sin 2sin x sin 5x 0 3x cos 2x 0 2 6 6 3                                      k sin 3x 0 x k 6 18 3 l x l cos 2x 0 12 2 3                                             Vậy, nghiệm của phương trình là: k x , 18 3     l x 12 2     . Dạng 5. Phương trình lượng giác bậc nhất Kiến thức cơ bản - Luợng giác 7   asinx bcosx c,a 0,b 0 *     Ví dụ. Giải phương trình:   4 4 4 sin x cos x 3sin4x 2    Lời giải   2 4 4 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x     2 1 1 sin 2x 2   . Phương trình đã cho 2 4 2sin 2x 3sin4x 2     1 3 1 cos4x 3sin4x 1 cos4x sin4x 2 2 2        1 cos4x.cos sin4x.sin 3 3 2       1 2 cos 4x cos 3 2 3              k x 4 2      hoặc k x 12 2      . Dạng 6. Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai Ví dụ. Giải phương trình:   3 3 5 5 cos x sin x 2 cos x sin x    Lời giải Nhận thấy cosx 0  không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho 5 cos x 0  Ta được:   2 3 2 5 1 tan x tan x(1 tan x) 2 1 tan x          5 3 2 2 3 tan x tan x tan x 1 0 tan x 1 tan x 1 0          tanx 1 x k 4          . MỘT SỐ VÍ DỤ TRỌNG TÂM Ví dụ 1. Giải các phương trình: 1. 2 1 2 5 tan x 0 2 cosx 2    2.              2 sin2x 3cos2x 5 cos 2x 6 Lời giải 1. Điều kiện: cosx 0 x k 2       Phương trình đã cho được viết lại: 2 1 1 2 5 1 0 2 cosx 2 cos x           Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 8 2 2 1 4 1 1 4 0 2 0 cosx x 2k cosx cosx 2 3 cos x                      2. Phương trình đã cho được viết lại:                     2 1 3 4 sin2x cos2x cos 2x 5 0 2 2 6                     2 4cos 2x cos 2x 5 0 6 6    Đặt          t cos 2x , 6 1 t 1    Phương trình    trở thành: 2 4t t 5 0 t 1       hoặc   5 t 1;1 4    Với t 1   tức                       7 cos 2x 1 2x 2k x k 6 6 12 Ví dụ 2. Giải các phương trình: 1. 2 tan x tanx.tan3x 2   2. 2 2tanx cotx 3 sin2x    Lời giải 1. Điều kiện: cosx 0 cos3x 0      Phương trình đã cho được viết lại:   2 sinxsin2x 2sin xcosx tanx tanx tan3x 2 2 2 cosxcosxcos3x cosxcosxcos3x         2 2 4 2 4 2 sin x cosxcos3x cos x 1 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x 1 0              2 2 k 2cos x 1 0 cos2x 0 2x k x 2 4 2                (thỏa điều kiện). 2. Điều kiện:   k sinxcosx 0 sin2x 0 x k 2         Phương trình đã cho được viết lại: 2sinx cosx 1 3 cosx sinx sinxcosx    2 2 2 2sin x cos x 3sinxcosx 1 1 sin x 3sinxcosx 1           2 sin x 3sinxcosx sinx 3cosx sinx 0 sinx 3cosx        (do điều kiện) tanx 3 x k 3        Ví dụ 3. Giải các phương trình: 1.   sin2x 4 cosx sinx 4    2. tanx 2cot2x sin2x   Lời giải 1. Phương trình đã cho tương đương:     1 sin2x 4 cosx sinx 3 0      Kiến thức cơ bản - Luợng giác 9     2 cosx sinx 4 cosx sinx 3 0          .Đặt t cosx sinx,   t 2; 2       Phương trình    trở thành: 2 t 4t 3 0,    t 2; 2       t 1   Với t 1 2cos x 1 cos x cos 4 4 4                       x 2k 2       hoặc x 2k   2. Điều kiện:   k sin2x 0 x k 2       . Đặt t tanx  Phương trình đã cho trở thành: 2 2 2 1 t 2t 1 2t t 2. 2t t 1 t 1 t        2 2 t 1 tan x 1     2 2 k sin x cos x cos2x 0 x 4 2          thỏa điều kiện. Vậy, nghiệm của phương trình là: k x 4 2     ,   k  Ví dụ 4. Giải các phương trình: 1.   2 2 tan x cot x 2 tanx cotx 6     2. 1 1 2 2sin x 4 sinx cosx           Lời giải 1. Điều kiện:   k sinxcosx 0 sin2x 0 x k 2         Phương trình đã cho viết lại:     2 tanx cotx 2 tanx cotx 8 0         Đặt t tanx cotx   , phương trình    trở thành: 2 t t 8 0 t 4       hoặc t 2  Với 2 2 sinx cosx t 4 4 sin x cos x 4sinxcosx cosx sinx           2sin2x 1      2x k2 x k 1 6 12 sin2x sin k 7 72 6 2x k2 x k 6 12                                               Với 2 1 t 2 tanx 2 tan x 2tanx 1 0 tanx             2 tanx 1 0 tanx 1 tan x k k 4 4               Vậy, nghiệm của phương trình là: x k , 4     x k , 12      7 x k 12       k  Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 10 2. Điều kiện:   k sinxcosx 0 sin2x 0 x k 2         Phương trình đã cho sinx cosx 2 2sin x 4 sinxcosx            2sin x 4 2 2sin x 4 sinxcosx                   2sin x 0 sin x 0 sin x 0 4 4 4 1 2sinxcosx 1 sin2x 1 2 sinxcosx                                                 x k sin2x sin 1 0 4 2 x k 4 2x 2k x k 2 4                                         Vậy, nghiệm của phương trình là: x k 4      Ví dụ 5. Giải các phương trình: 1. 1 1 2 2sin x 4 sinx cosx           2.     3 2 2 4cos x 2cos x 2sinx 1 sin2x 2 sinx cosx 0 2sin x 1        Lời giải 1. Điều kiện: cosx 0 k sin2x 0 x sinx 0 2           Phương trình đã cho được viết lại:   sinx cosx 2 sinx cosx sinxcosx    sinx cosx 0 sin2x 1        x k x k tanx 1 n 4 4 x sin2x 1 4 2 2x 2m x m 2 4                                            2. Điều kiện: 2 k 2sin x 1 0 cos2x 0 x 4 2          Phương trình cho viết lại:       2 4cos x sinx cosx 2cosx sinx cosx 2 sinx cosx 0       [...]...    4 Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm 2 Phương trình cho viết lại: cos2x  cos6x  4sin3x  4  0 23 Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh  (1  cos2x)(1  cos6x) 4sin3x  2  0  2cos2 x  2sin3 3x  4sin3x  2  0    x  2  k cosx  0   2 2  cos x  (sin3x  1)  0     x   2k  k    2 sin3x  1  x  3  k   2 Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm 3 Phương trình cho viết... sin x  được phương trình: 3 2 2  2  3 2     sin x    cos2 x    17 Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 1 , thì phương trình   trở thành: 3t  2 2  2  3 2 t cos x 2  3t 2  2  3 2 t  2 2  0  t  2 hoặc t  3 2 sin x 2 Với t  tức   2 1  sin2 x  3sinx  2sin2 x  3sin x  2  0  1 2 3 cos x 3 Đặt t  sinx 2     Đặt u  sin x, 1  u  1 Khi đó phương trình trở thành:... k 4 4 Phương trình đã cho  cos4x  cos2x  sin7x  sin x  2cos3xcosx  2sin4xcos3x   5 1  cos   4x   3cos4x  4cos2x  1  sin4x  3cos4x  2 2cos2x  1 2     1 3    sin4x  cos4x  cos2x  cos  4x    cos2x 2 2 6  6 Phương trình đã cho  2sin x2cos2x  2sin xcosx  1  2cosx  2cosx  1 2sin xcosx  1  0 13 Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh   7 Phương trình đã... cho   6sin xcosx  3cosx   2sin2 x  5sin x  2  0   2sin x  1  3cosx  sin x  2  0 8 Với x  x   k không là nghiệm phương trình 2   k , chia 2 vế phương trình cho cos2 x , đưa phương trình về dạng: 2 tan2 x    3  1 tan x  3  0 Bài tập 3: Giải các phương trình:   1 4 sin 4 x  cos4 x  3sin 4x  2 2 2 cot2x  cot3x   tan2x  cot3x x 3x x 3x 1 3 cosx.cos cos  sin x.sin... 0  sin 3 x  0  phương trình vô nghiệm 1 1 1 3 Phương trình đã cho  cosx  cosx  cos2x   sin x  cosx  cos2x   2 2 2  cos2 x  cosxcos2x  sinxcosx  sin xcos2x  1  cos2x  cosx  sinx   sin x  cosx  sin x    4 Phương trình đã cho  3t  2t 2  1  4t 3  3t  1  4 4  t 2 t , đặt t  cosx x 14   k hoặc x    2k 2 Kiến thức cơ bản - Luợng giác 5 Phương trình đã cho sin x... trình trở thành: 2u2  3u  2  0 , 1 phương trình này có nghiệm u  2 ( không thỏa ), u  ( thỏa) 2 1 1  5 Với u  tức sin x   x   k2 hoặc x   k2 2 2 6 6 sin x Với t  2 tức  2  2 1  sin2 x  sin x  2sin2 x  sin x  2  0 2 cos x 2 Đặt v  sin x, 1  v  1 Khi đó phương trình trở thành: 2v 2  v  2  0 ,   phương trình này có nghiệm v   2 ( không thỏa ), v  Với v  1 tức sin... 3 tan x  3  0 Bạn đọc giải tiếp phương trình cơ bản  7 Vậy, nghiệm phương trình là: x    k2 hoặc x   k2, k   6 6 Bài tập 10: Giải các phương trình 1 cos2 4x  cos2 8x  sin2 12x  sin2 16x  2 2 cos2x  cos6x  4(3sin x  4sin3 x  1) 0 3 4cos2 x  3tan2 x  4 3 cosx  2 3 tan x  4  0   4 2 2sin  x   cosx  1 12   Hướng dẫn giải 1 Phương trình cho viết lại: 1  sin2 4x  1... cot x   4 15 Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 1  7 Với tan x  cot x   4  sin2x    x    k hoặc x   k 2 12 12 4 Phương trình đã cho  sin3x  3sin2x  cos2x  3sinx  3cosx  2  0   sin3x  sin x   2sin x  3sin2x   cos2x  2  3cosx   0    2sin2x.cosx  2sin x  6.sin.cosx  2cos2 x  3cosx  1  0     2sin x  1  2cos2 x  3cosx  1  0 5 Phương trình đã cho... sin x  1  sinx  2   0   k2  k    2 Vậy, phương trình có một họ nghiệm Bài tập 9: Giải các phương trình  sin x  1  x  1 sin2x  cosx  3  2 3cos3x  3 3cos2x  8   3cosx  sinx  3 3  0   sin3x  4cos  x    3 sin3x  cos3x 6  2 cos2x   sin x(1  tan x) 3 0 2sin2x  1 sin3x  1 Hướng dẫn giải 21 Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh 1 sin2x  cosx  3  2 3cos3x  3... hoặc sinx  0 sin2x cosx   8cos2 x  cosx  8cos2 xcos2xsin x cos2x sinx   k 5 k  x   k hoặc x   hoặc x   2 24 2 24 2 3 (3) Vì sinx  0 không là nghiệm của phương trình Với sinx  0 , nhân 2 vế phương trình cho sin x , dẫn đến phương trình: 2k  2k sin16x  sin x  x  hoặc x   15 17 17 2 (2)    4 (4)  8sin xcosx  3 1  2sin2 x  12sin x  3  sin x  4cosx  3sin x  6   0 . phương trình, bất phương trình lượng giác, hệ phương trình lượng giác, hệ bất phương trình lượng giác…”. Để giỏi phương trình lượng giác, các em cần: 1. Nắm vững các công thức lượng giác;. PH・・NG TRÌNH L・・NG GIÁC Trong chủ đề lượng giác, tác giả không trình bày những dạng toán giảm tải của chương trình như: “ phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức để giải, chuyển đổi phương trình. dụ 2. 1. Giải phương trình:   cos3x sin2x 3 sin3x cos2x    2. Giải phương trình 3sin2x cos2x 2cosx 1    Đề thi Đại học khối A, A1 – 2012 3. Giải phương trình: 2(cosx 3sinx)cosx