Đang tải... (xem toàn văn)
nội dung dung của chương 1 Số phức và ứng dụng nằm trong bài giảng toán kỹ thuật nhằm trình bày về định nghĩa, biểu diễn số phức trên hệ tọa độ, các dạng biểu diễn số phức, các phép tính, các tính chất, các dạng biểu diễn số phức. Ứng dụng số phức để phân giải mạch điện ở trạng thái thường trực................
Chương CHUỖI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER Nội dung • • • • • Một số dạng tín hiệu quan trọng Khái niệm hàm tuần hồn Chuỗi Fourier Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier Phân tích phổ tín hiệu Một số dạng tín hiệu quan trọng • • • • • • • • • Tín hiệu xung vng góc Π(t) Hàm dốc (Ramp function) Hàm bước nhảy đơn vị u(t) Hàm xung lực đơn vị Tín hiệu Sgn(t) Tín hiệu xung tam giác Hàm mũ suy giảm Hàm mũ tăng dần Xung hàm mũ • • • • • • • • • Tín hiệu xung cosin Cặp phân bố δ(t) chẵn lẻ Phân bố lược Dãy xung vng lưỡng cực Dãy xung vng đơn cực Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ Tín hiệu Sinc Tín hiệu Sinc2 Tín hiệu Gausse Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu xung vng góc Π(t) Hàm dốc r(t) x (t ) = Π(t ) − 2 x (t ) = a.Π ( c 0 x(t ) = ∏(t ) = 1 b ,t < ,t > t , t ≥ r (t ) = 0 , t < r(t) t −c ) b a ⇔ x (t ) = a.Π ( t −c ) b K a r(t-a) t ,t ≥ a r (t − a) = 0 , t < a • Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ số K cho hàm K.r(t-a), dạng sóng đường thẳng có độ dốc K gặp trục t a Một số dạng tín hiệu quan trọng Hàm bước nhảy đơn vị u(t) u (t ) 0 x(t ) = u (t ) = 1(t ) = 1 1/2 ,t > ,t < 0 Xu (t −τ ) x(t ) = Xu (t −τ ) τ x (t ) X X [ t.u (t ) − (t − τ ).u(t − τ )] τ X = [ t.1(t ) − (t − τ ).1(t − τ )] τ x(t ) = τ Một số dạng tín hiệu quan trọng Tính chất hàm xung lực Hàm xung lực đơn vị ∞ δ(t) 0 δ (t ) = ∞ ,t ≠ ,t = ∞ ∫ δ (t )dt = t ∞ −∞ −∞ ∫ a.δ (t )dt = a ∫ δ (t )dt = a t ∫ δ (τ )dτ = u(t ) = 1(t ) +∞ t0 t ∫ δ (t − t −∞ ) =1 d 1(t ) = δ (t ) dt x(t) δ(t) = x(0).δ(t) x(t).δ(t – t0) = x(t0) δ(t – t0) δ(t – t0) 0 δ (t − t ) = ∞ ⇔ o −∞ ∞ ; a∈R , t ≠ t0 , t = t0 ∫ x(t ).δ (t )dt = x(0) −∞ t δ = t0 δ (t ) t 0 ∞ ∫ x(t ).δ (t − t )dt = x(t ) −∞ δ(-t) = δ(t) ∞ ∞ −∞ x (t ) ∗ δ (t ) = −∞ ∫ x(τ ).δ (t − τ ) dτ = ∫ x(t − τ ).δ (τ ) dτ = x(t ) x(t)*δ(t - t0) = x(t-t0) Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu Sgn(t) Tín hiệu xung tam giác x (t ) = Λ t ) ( x ( t ) = Sgn( t ) 1 1 , t > x ( t ) = Sgn ( t ) = , t = − , t < t −1 Hàm mũ suy giảm 1− | t | x(t ) = 0 t −1 , t ≤ , t > 1 Hàm mũ tăng dần x(t) X X e −αt x(t ) = 0 t , t ≥ 0, α > ,t < X x(t ) = (1 − e − α t )1(t ) ; t α >0 Một số dạng tín hiệu quan trọng Xung hàm mũ Tín hiệu xung cosin X t T − T t − −αt x(t ) = X e ∏ T ,α >0 π 2ω0 π 2ω0 t x(t ) = X cos(ω t ).Π π /ω Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ Tín hiệu Gausse x(t ) = e −πt X 2π π ω ω 4π 3π ω -t ω | -1 -X X e −αt sin ω t , t ≥ x(t ) = ,t < 0 x(t ) = e − πt | Một số dạng tín hiệu quan trọng Cặp phân bố δ(t) chẵn lẻ ||(t) | | (t ) = − 2 1 1 δ (t + ) + δ (t − ) 2 t ( t) 2 − − t | (t ) = δ (t + ) − δ (t − ) 2 2 | Tính chất biến đổi Fourier • • • • • • • Tính tuyến tính Tính chất đối xứng Thay đổi tỉ lệ thời gian Phép dịch thời gian Phép dịch tần số Vi phân thời gian Tích phân thời gian Vi phân miền tần số Định lý nhân chập tần số Định lý mođun Parseval Định lý nhân chập miền thời gian • Định lý điều chế • • • • Tính tuyến tính F(ω) = F(a1f1 + a2f2) = a1 F (f1) + a2 F (f2) = a1F1(ω) + a2F2(ω) Thay đổi tỷ lệ thời gian ω f (at ) ← → F a a ℑ Tính chất đối xứng F (t ) ← ℑ 2π f (− ω ) → Phép dịch thời gian f (t − t0 ) ← ℑ e − jω t0 F ( ω ) → Phép dịch tần số e jω t ℑ f (t ) ← F (ω − ω ) → Tích phân thời gian t ∫ −∞ f (t )dt ←ℑ → F (ω ) + πF (0)δ (ω ) jω Vi phân thời gian f ' (t ) ← ℑ jω F (ω ) → f n (t ) ← ℑ ( jω ) n F (ω ) → Vi phân miền tần số − jtf (t ) ←ℑ → F ' (ω ) tf (t ) ←ℑ → jF ' (ω ) ( − j ) n t n f (t ) ←ℑ F n (ω ) → Định nghĩa tích chập h(t ) = Định lý nhân chập tần số t −a ∫ f (λ ).g (t − λ )dλ = f * g = g * f f (t ).g (t ) ← ℑ → a Định lý mođun Parseval ∞ E f = ∫ f (t )dt = 2π −∞ ∞ ∫r −∞ (ω )dω F (ω ) * G (ω ) 2π Định lý nhân chập tần số ℑ [ F (ω ).G (ω )] = −1 ∞ ∫ f (λ ).g (t − λ )dλ = f (t ) * g (t ) −∞ Định lý điều chế f (t ) ← → F(ω ) f (t ).e jωot ← → F(ω − ωo ) f (t ).e − jωot ← → F(ω + ω o ) f (t ) cos ω o t ← → [ F(ω − ωo ) + F(ω + ωo )] f (t ) sin ω o t ← → [ F(ω − ω o ) - F(ω + ω o )] 2j Ví dụ Phân tích phổ tín hiệu f (t ) = 2π F (ω ) = ∞ ∫ −∞ ∞ F (ω )e jωt dω ∫ −∞ f (t )e − jωt d Ứng dụng phân tích phổ tín hiệu Phương pháp phân tích phổ ∞ • Tính F(ω ): F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt d −∞ • Khi đó: Đồ thị biểu diễn biên độ F(ω ) theo tần số gọi phổ biên độ tín hiệu f(t) Biểu diễn góc pha F(ω ) theo tần số chúng gọi phổ pha tín hiệu f(t) Ví dụ • Tìm phổ tín hiệu f(t) = e-αt 1(t); α > Giải • Tính F(ω ): F (ω ) = ∫ f (t )e ω dt = ∫ e α 1(t )e ω dt = ∫ e α ω dt = − e α + jω ∞ ∞ −j t −∞ F (ω ) = − t ∞ −j t −∞ • Phổ pha: − (α + jω ) t α + jω |F(ω)| 1/α α +ω ϕ (ω ) = −arctg π/2 e-αt.1(t) ω t ω α ∞ 0 • Phổ biên độ: | F (ω ) |= −( + j t) ϕ(ω) -π/2 Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Phân tích phổ tín hiệu Hết chương ... > n = 2k + < Biến đổi Fourier • Cặp biến đổi Fourier dạng phức: f (t ) = 2π F (ω ) = ∞ ∫ −∞ ∞ ∫ F (ω )e jωt −∞ f (t )e − jωt dt dω Ví dụ Biến đổi Fourier hàm Tính chất biến đổi Fourier • • •...Nội dung • • • • • Một số dạng tín hiệu quan trọng Khái niệm hàm tuần hồn Chuỗi Fourier Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier Phân tích phổ tín hiệu Một số dạng tín hiệu quan trọng • • • • • •... cos(nπt/p) sin(nπt/p) Và lúc n.(2p/n) = 2p chu kỳ hàm cos(nπt/p) sin(nπt/p) • Hàm tuần hồn khơng cần xác định tất giá trị biến độc lập Số 2p chu kỳ f(t) t p 2p 4p 6p Chuỗi Fourier • Chuỗi lượng giác: