Đang tải... (xem toàn văn)
nội dung dung của chương 1 Số phức và ứng dụng nằm trong bài giảng toán kỹ thuật nhằm trình bày về định nghĩa, biểu diễn số phức trên hệ tọa độ, các dạng biểu diễn số phức, các phép tính, các tính chất, các dạng biểu diễn số phức. Ứng dụng số phức để phân giải mạch điện ở trạng thái thường trực Chương 1 SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Nội dung • Định nghĩa • Biểu diễn số phức trên hệ tọa độ • Các dạng biểu diễn số phức • Các phép tính • Các tính chất • Các dạng biểu diễn số phức • Ứng dụng số phức để phân giải mạch điện ở trạng thái thường trực Định nghĩa số phức • i,j: đơn vị ảo (i 2 =j 2 =-1) • a: phần thực, a= Re[z] • b : phần ảo, b= Im[z] • a=0 z= jb: số thuần ảo⇒ • b=0 z=a: số thực⇒ • z*= a – jb: số liên hợp phức • z.z* = |z| 2 =a 2 +b 2 Biểu diễn số phức trên hệ tọa độ • Toạ độ Descartes và cực • Toạ độ cực )2( tan zar 1 22 = =+= − a b b ϕ (3) sin.zr.sin =b cos.zr.cos =a = = ϕϕ ϕϕ • Công thức liên hệ qua lại từ dạng đại số sang hệ toạ độ cực Công thức Euler (5) 2 e sin 2 e cos sincos sincos j j − = + = ⇒ −= += − − − j e e je je j j j j ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ Các dạng biểu diễn số phức • Dạng lượng giác • Dạng mũ và cực – Dạng mũ – Dạng cực • Kí hiệu: (4) )sin.(cos )sin.(cossin.cos. ϕϕ ϕϕϕϕ jz jrjrrz += +=+= (6) . )sin.(cos ϕ ϕϕ j ez jz jbaz = += += (7) ϕ ∠= zz ϕ ∠=)arg(z Ví dụ1 Biểu diễn các số phức sau trên hệ tọa độ vuông góc và chuyển chúng sang dạng cực. • i) 1 – j • ii) – 3 + 2j 4 2 41 1 tantan 2)1(1 11 2222 π π ϕ −∠⇒ −= − == =−+=+= −− a b baz 0 0000101 2222 3.14613 3.1461807.33180 3 2 tan180tan 13)2()3( ∠⇒ =+−≈+ − =+ = =+−=+= −− a b baz ϕ Ví dụ2 Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác và dạng đại số (hệ Descartes) • i) 2 ∠(0) • ii) 3∠(π) • iii) 1∠(π /2) 20sin0cos2 sincos =+= += )j.( )j.(zz ϕϕ 202 00sin2sin 20cos.2cos =+=+⇒ == == jjba zb= .za= ϕ ϕ 3sincos3 sincos −=+= += )j.( )j.(zz ππ ϕϕ 303 0180sin3sin 3180cos.3cos −=+−=+⇒ == −== jjba zb= .za= ϕ ϕ j) π j π .( )j.(zz =+= += 2 sin 2 cos1 sincos ϕϕ jjjba zb= .za= =+=+⇒ == == 10 190sin1sin 090cos.1cos ϕ ϕ Các phép tính Phép cộng Phép trừ z = z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + j (b 1 + b 2 ) z = z 1 - z 2 = (a 1 – a 2 ) + j(b 1 – b 2 ) Phép chiaPhép nhân Với: ϕ ϕ j errjbaz .=∠=+= 1 . 111111 ϕ ϕ j errjbaz =∠=+= 2 222222 . ϕ ϕ j errjbaz =∠=+= Các phép tính Phép lũy thừa Phép khai căn Một số phép tính đặc biệt z + z* = a + jb + a - jb = 2a = 2.Re[z] z.z * = z * .z =|z| 2 22* * . 1 ba jba zz z z + − == j j j j −== 2 1 . )j.(zz =+= += 2 sin 2 cos1 sincos ϕϕ jjjba zb= .za= =+=+⇒ == == 10 19 0sin1sin 090cos.1cos ϕ ϕ Các phép tính Phép cộng Phép trừ z = z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + j (b 1 + b 2 ) z = z 1 - z 2 = (a 1 . a 2 ) + j(b 1 – b 2 ) Phép chiaPhép nhân Với: ϕ ϕ j errjbaz .=∠=+= 1 . 11 111 1 ϕ ϕ j errjbaz =∠=+= 2 222222 . ϕ ϕ j errjbaz =∠=+= Các phép tính Phép lũy thừa Phép khai căn Một số phép tính đặc biệt z. 2j 4 2 41 1 tantan 2 )1( 1 11 2222 π π ϕ −∠⇒ −= − == =−+=+= −− a b baz 0 000 010 1 2222 3 .14 613 3 .14 618 07.3 318 0 3 2 tan180tan 13 )2()3( ∠⇒ =+−≈+ − =+ = =+−=+= −− a b baz ϕ Ví dụ2 Chuyển — Xem thêm —
Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Nội dung • Phương trình vi phân cấp 1 PT cĩ biến phân ly PT đẳng cấp cấp 1 PT vi phân tuyến tính cấp 1 PT bernoulli • Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính Phương trình Euler- Cauchy • Ứng dụng phân giải quá trình quá độ của mạch điện Phương trình vi phân cấp 1 • Dạng tổng quát: Nghiệm: Nghiệm tổng quát: y=f(x)+C Nghiệm riêng: y=f(x)+C0 Các dạng đặt biệt Phương pháp giải ptvp cấp 1 có biến phân ly Ví dụ Tìm nghiệm của phương trình y’= 1+x2+y2+x2y2; với y(0)=1 Ví dụ Phương pháp giải ptvp đẳng cấp cấp 1 Ví dụ • Tìm nghiệm của phương trình yx yx hay yx yx dx dy + +− = + +− = 2 52 y' 2 52 +=−−− = = Cxzz z z )ln()2ln(4)1ln(3 2 1 [...]... Ví dụ • Giải phương trình y'+ tan(x).y = cos2(x) cho y(0)=2 Phương pháp giải PT Bernoulli Phương trình vi phân cấp 2 • Dạng tổng quát: PTVP cấp 2 giảm cấp được Phương pháp giải ptvp cấp 2 không chứa y Ví dụ • Giải phương trình y’’=(y’)2 Phương Pháp giải ptvp cấp 2 không chứa x Ví dụ • Giải phương trình : y''+(y')3 y=0 PTVP tuyến tính cấp 2 Phương pháp giải ptvptt hệ số hằng Ví dụ Tìm nghiệm với các... bằng cách giải phương trình : y=x.z y y 3 ln( x −1 ) − 4 ln( x − 2 ) = ln( x ) + C y = z.x ⇒ y = 1.x y = 2.x y − 2x y−x − 4 ln( ) + 3 ln( ) − ln( x ) = C x x ⇔ y = x y = 2x − 4 ln( y − 2 x ) + 3 ln( y − x ) = C ⇔ y = x y = 2x Phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất Phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 1 không thuần nhất Ví dụ • Giải phương trình y'+ tan(x).y... không thuần nhất PTVPTT cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng • Dạng ptvp tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng Phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng Ví dụ Tìm nghiệm riêng của phương trình: y’’- 3y’- 4y = 3e2x + 2sin(x) PT Euler - Cauchy Phương pháp giải Phương trình Euler- Cauchy . phương trình y’= 1+x2+y2+x2y2; với y(0)=1 Ví dụ Phương pháp giải ptvp đẳng cấp cấp 1 Ví dụ • Tìm nghiệm của phương trình yx yx hay yx yx dx dy + +− = + +− = 2 52 y' 2 52 +=−−− = = Cxzz z z )ln()2ln(4)1ln(3 2 1 • Bước. y=x.z = = =−+−− ⇔ = = =− − + − − ⇔ = = +=−−− ⇒= xy xy Cxyxy xy xy Cx x xy x xy xy xy Cx x y x y xzy 2 )ln(3)2ln(4 2 )ln()ln(3) 2 ln(4 .2 .1 )ln()2ln(4)1ln(3 . Phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất Phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 1 không thuần nhất Ví. = cos2(x) cho y(0) =2.