http://onluyentoan.vn CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phạm Nguyễn Tuân 1 1 Kiến thức cơ bản Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C 1 ) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C 2 ). Khi đó, nếu M(x, y) là giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:  y = f(x) y = g(x) ⇔  f(x) = g(x) y = g(x) ⇔ f(x) = g(x). (∗) Phương trình (∗) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ). Và nếu giao điểm M của (C 1 ) và (C 2 ) có mang những đặc tính nào đó thì phương trình (∗) cũng sẽ tồn tại những đặc điểm tương ứng với các đặc tính đó. Từ đây suy ra, để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ), ta có thể tiến hành theo các bước sau: • Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) (tức phương trình (∗)). • Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn (thường thì, sau khi biến đổi ta sẽ thu được phương trình bậc hai, bậc ba hoặc phương trình trùng phương, . . . ). • Dựa vào điều kiện giải tích của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện đại số cho phương trình vừa biến đổi. Các kiến thức quan trọng cần nhớ khi giải toán: • Về các phương trình: ◦ Đối với phương trình bậc hai f (x) = ax 2 + bx + c = 0 (a = 0), ta có một số lưu ý quan trọng sau:  Định lý Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thì ta có      S = x 1 + x 2 = − b a P = x 1 x 2 = c a 1 Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác. 1 http://onluyentoan.vn 2 Phạm Nguyễn Tuân  Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0.  Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi      ∆ > 0 S > 0 P > 0 .  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi      ∆ > 0 S < 0 P > 0 .  Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x 0 khi và chỉ khi  ∆ > 0 f(x 0 ) = 0 . ◦ Đối phương trình bậc ba ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a = 0): Nếu đã dự đoán được phương trình có một nghiệm x = x 0 , ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích thành nhân tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi tìm cách xử lý. ◦ Đối với phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 (a = 0), ta có thể quy về phương trình bậc hai để giải (và biện luận). • Các công thức cần nhớ : ◦ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ) tùy ý, ta có AB =  (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 . ◦ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0 được tính theo công thức d (M, ∆) = |Ax 0 + By 0 + C| √ A 2 + B 2 . ◦ Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có S = 1 2 ah a = 1 2 bh b = 1 2 ch c = abc 4R = pr. Trong đó:  a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = a+b+c 2 là nửa chu vi;  h a , h b , h c là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;  R, r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. ◦ Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(a, b) và có hệ số góc k cho trước có dạng y −b = k(x −a). 2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm tọa độ các giao điểm của (C) với đường thẳng d : y = 2 − 2x. Phân tích. Đây là dạng toán tìm giao điểm quen thuộc. Đối với các bài toán loại này, ta chỉ cần lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và giải nó là tìm được các giao điểm. http://onluyentoan.vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 3 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x 3 − 3x 2 + 2 = 2 −2x ⇔ x(x 2 − 3x + 2) = 0 ⇔  x = 0 x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔    x = 0 (⇒ y = 2) x = 1 (⇒ y = 0) x = 2 (⇒ y = −2) Vậy (C) cắt d tại ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 2), B(1, 0) và C(2, −2). Ví dụ 2. Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x+m cắt đồ thị (H) : y = x+1 x−1 tại hai điểm phân biệt. Phân tích. Bài toán này là một kiểu bài toán ngược với ví dụ 1 vì lúc này ta cần xác định các giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt. Vậy ta sẽ đi lập phương trình hoành độ giao điểm và biến đổi phương trình này, sau đó ta chuyển bài toán từ điều kiện giải tích là “có hai giao điểm” về điều kiện đại số là “có hai nghiệm phân biệt”. Cụ thể, ở đây ta sẽ biến đổi về phương trình bậc hai và điều kiện để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì quá cơ bản! Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d: x + 1 x −1 = m + x ⇔  x + 1 = (x −1)(x + m) x = 1 ⇔  f(x) = x 2 − (2 − m)x −(m + 1) = 0 x = 1 Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều đó tương thích với điều kiện:  ∆ > 0 f(1) = 0 ⇔  (2 −m) 2 + 4(m + 1) > 0 1 −(2 − m) − (m + 1) = 0 ⇔  m 2 + 8 > 0 − 2 = 0 Hệ trên luôn đúng với mọi giá trị thực của m. Do vậy, với mọi m ∈ R thì điều kiện của bài toán luôn được thỏa mãn. Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng d : y = −x+3 cắt đồ thị (C m ) : y = x 3 −3(m +1)x 2 +mx +3 tại ba điểm phân biệt. Phân tích. Yêu cầu bài toán là d cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt nên rõ ràng ta cần phải tìm điều kiện sao cho phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị này có ba nghiệm phân biệt. Ở đây ta có chú ý là hệ số tự do 3 xuất hiện ở trong cả hai phương trình hàm số, điều đó cho phép ta khử hết hệ số và việc bắt được nhân tử chung x = 0 là hiển nhiên. Vậy lúc này ta chỉ cần tìm điều kiện để có thêm hai giao điểm nữa là. Để ý rằng phương trình thu được là phương trình bậc ba nên sau khi rút nhân tử chung nên ta sẽ chỉ còn một phương trình bậc hai và bài toán bây giờ chỉ là tìm điều kiện để phương trình bậc hai này có hai nghiệm phân biệt khác 0. Một công việc khá đơn giản! Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C m ): x 3 − 3(m + 1)x 2 + mx + 3 = 3 − x ⇔ x  x 2 − 3(m + 1)x + m + 1  = 0 ⇔  x = 0 f(x) = x 2 − 3(m + 1)x + m + 1 = 0 http://onluyentoan.vn 4 Phạm Nguyễn Tuân Để d cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương thích với điều kiện:  ∆ = 9(m + 1) 2 − 4(m + 1) > 0 f(0) = m + 1 = 0 ⇔  (m + 1)(9m + 5) > 0 m = −1 ⇔          m < −1 m > − 5 9 m = −1 ⇔   m < −1 m > − 5 9 Vậy, tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = (−∞, −1) ∪  − 5 9 , +∞  . Ví dụ 4. Cho hàm số y = x−2 x−3 có đồ thị (H) và một điểm A(0, m) (m là tham số). Tìm m để đường thẳng d đi qua A có hệ số góc bằng 2 cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Phân tích. Ở bài toán này có một điều đáng lưu ý đó chính là phương trình đường thẳng d chưa biết nên trước tiên ta cần xác định phương trình đường thẳng d. Sau đó ta thiết lập phương trình hoành độ giao điểm rồi đưa điều kiện giải tích về điều kiện đại số. Cụ thể là ta sẽ đưa điều kiện “có hai giao điểm phân biệt có hoành độ dương” về điều kiện “phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.” Lời giải. Do d là đường thẳng đi qua A(0, m) và có hệ số góc bằng 2 nên d có phương trình y −m = 2(x − 0). Từ đây, ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) là x −2 x −3 = 2x + m ⇔  x −2 = (2x + m)(x −3) x = 3 ⇔  f(x) = 2x 2 − (7 − m)x −(3m − 2) = 0 x = 3 Để d cắt (H) cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm dương phân biệt khác 3. Điều này tương thích với điều kiện:          ∆ > 0 S > 0 P > 0 f(3) = 0 ⇔                (7 −m) 2 + 8(3m − 2) > 0 7 −m 2 > 0 2 −3m 2 > 0 18 −3(7 − m) − 3m + 2 = 0 ⇔          m 2 + 10m + 33 > 0 7 −m > 0 2 −3m > 0 − 1 = 0 ⇔        (m + 5) 2 + 8 > 0 m < 7 m < 2 3 ⇔ m < 2 3 . Vậy, điều kiện để yêu cầu bài toán được thỏa mãn là m < 2 3 . Ví dụ 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị (C m ) : y = mx 3 − x 2 − 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm. Phân tích. Như đã biết, trục hoành có phương trình y = 0. Vậy điều kiện bài toán tương ứng với tìm m để phương trình mx 3 − x 2 − 2x + 8m = 0 có ba nghiệm âm phân biệt. Nhưng điều đáng lưu ý là lúc này ta không bắt được nhân tử chung dễ dàng như các ví dụ trước mà chúng ta cần khéo léo một chút. Việc gặp phương trình bậc ba có chứa tham số thì tham vọng http://onluyentoan.vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 5 bắt được nhân tử chung chỉ lóe sáng khi ta khử được hết tham số. Ở đây ta thấy mx 3 và 8m chỉ khử được cho nhau khi x = −2. Do đó, kết hợp với mong muốn hạ bậc phương trình đưa về dạng bậc thấp dễ xét bằng việc phân tích nhân tử, ta thấy rằng rất có thể một trong các nhân tử khi phân tích ra của phương trình là x + 2, hay nói cách khác, x = −2 là một nghiệm của phương trình. Vậy còn chờ gì nữa, ta thử ngay xem nào? Quả thật, đúng như dự đoán, x = −2 thực sự là nghiệm của phương trình. Do đó, bằng cách sử dụng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner, ta sẽ được (x + 2) ·h(x, m) = 0, trong đó h(x, m) là một tam thức bậc hai. Đặc biệt, do x = −2 là một nghiệm âm nên rõ ràng bài toán sẽ hoàn toàn được giải quyết khi phương trình h(x, m) = 0 có thêm 2 nghiệm âm phân biệt khác −2. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và trục hoành: mx 3 − x 2 − 2x + 8m = 0 ⇔ (x + 2) [mx 2 − (2m + 1)x + 4m] = 0 ⇔  x = −2 f(x) = mx 2 − (2m + 1)x + 4m = 0 Để (C m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt có hoành độ âm khác −2. Điều đó tương thích với điều kiện:                m = 0 ∆ > 0 S < 0 P > 0 f(−2) = 0 ⇔                  m = 0 (2m + 1) 2 − 16m 2 > 0 2m −1 m < 0 4 > 0 4m + 2(2m + 1) + 4m = 0 ⇔          m = 0 (2m + 1 − 4m)(2m + 1 + 4m) > 0 (2m −1)m < 0 6m + 1 = 0 ⇔                  m = 0 − 1 6 < m < 1 2 0 < m < 1 2 m = − 1 6 ⇔ 0 < m < 1 2 . Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T =  0, 1 2  . Ví dụ 6. Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt đồ thị (H) : y = x+1 x−1 tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (H). Phân tích. Bài toán buộc các giao điểm của hai đồ thị phải thuộc hai nhánh của đồ thị (H) nên ta tự hỏi có gì đặc biệt lúc này? Câu trả lời nằm ở chỗ dáng điệu của đồ thị (H). Thật vậy, nếu đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A có x A = a và B có x B = b bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có một điều đặc biệt đó là a < 1 < b. Số 1 này ở đâu ra? Đó chính là hoành độ của tiệm cận đứng. Và như vậy, ta chỉ cần tìm điều kiện tương thích sao cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 < 1 < x 2 là được. Nhưng đến đây một vấn đề đặt ra là làm sao tìm điều kiện để phương trình bậc hai mà phương trình hoành độ giao điểm cho có nghiệm thỏa điều kiện x 1 < 1 < x 2 ? Thật ra, để giải quyết điều này cũng khá đơn giản, các bạn hãy để ý rằng điều kiện trên có thể được viết dưới dạng x 1 − 1 < 0 < x 2 − 1. http://onluyentoan.vn 6 Phạm Nguyễn Tuân Do vậy, ta có thể xử lý nó bằng một trong hai cách sau: • Cách 1. Đặt ẩn mới t = x −1 và chuyển bài toán về dạng tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm t 1 < 0 < t 2 , một dạng toán cơ bản. • Cách 2. Ta có thể viết điều kiện trên dưới dạng tương đương (x 1 − 1)(x 2 − 1) < 0, rồi sau đó sử dụng định lý Viette suy ra để điều kiện thích hợp cho tham số. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H): x + 1 x −1 = mx + 1 ⇔  x + 1 = (mx + 1)(x − 1) x = 1 ⇔  f(x) = mx 2 − mx − 2 = 0 x = 1 Gọi A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) lần lượt là hai giao điểm của d và (H) thì ta có x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị (H) nên ta phải có x 1 < 1 < x 2 . (1) Cách 1. Đặt t = x − 1, ta có (1) tương đương với t 1 < 0 < t 2 . Phương trình f(x) = 0 được biến đổi thành m(t + 1) 2 − m(t + 1) −2 = 0 ⇔ mt 2 + mt − 2 = 0. (2) Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm t 1 , t 2 thỏa mãn t 1 < 0 < t 2 . Điều này tương thích với điều kiện:  m = 0 P < 0 ⇔  m = 0 − 2m < 0 ⇔ m > 0. Cách 2. Ta có (1) tương đương với (x 1 − 1)(x 2 − 1) < 0. Do vậy, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn (x 1 − 1)(x 2 − 1) < 0. Điều đó tương thích với điều kiện:      m = 0 ∆ > 0 (x 1 − 1)(x 2 − 1) < 0 ⇔      m = 0 m 2 + 8m > 0 x 1 x 2 − (x 1 + x 2 ) + 1 < 0 ⇔              m = 0  m > 0 m < −8 − 2 m − 1 + 1 = − 2 m < 0 ⇔            m = 0  m > 0 m < −8 m > 0 ⇔ m > 0. Vậy, tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = (0, +∞). Ví dụ 7. Tìm m để đường thẳng d : y = x + m + 2 cắt đồ thị (C m ) : y = x 3 + 3x 2 + mx − 1 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho BC = 4, biết rằng x A = 1. http://onluyentoan.vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 7 Phân tích. Qua các bài toán trên, ta đã biết để giải bài toán này ta cũng sẽ lập phương trình hoành độ giao điểm. Nhưng ở đây lại có một điểm đặc biệt là từ điều kiện giả thiết cho, ta có x = 1 là một nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Vậy ta cũng tách được phương trình hoành độ giao điểm thành (x − 1) · h(x, m) = 0, trong đó h(x, m) là một tam thức bậc hai. Do đó, để hoàn thành ý câu hỏi “cắt tại ba điểm phân biệt”, ta chỉ cần tìm m để phương trình h(x, m) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 là được. Bây giờ, ta sẽ khai thác ý thứ hai của bài toán, đó là độ dài BC = 4. Ở đây ta sử dụng kiến thức đã nhắc ở phần 1. Cùng với định lý Viette, kết hợp lại, ta sẽ tìm được m. Kiểm tra giá trị m này với điều kiện thu được từ ý thứ nhất, ta sẽ có kết luận cho bài toán. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C m ): x 3 + 3x 2 + mx − 1 = x + m + 2 ⇔ x 3 + 3x 2 + (m − 1)x −3 − m = 0 ⇔ (x −1)(x 2 + 4x + m + 3) = 0 ⇔  x = 1 f(x) = x 2 + 4x + m + 3 = 0 Để d cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(1, y A ), B, C thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều đó tương thích với điều kiện:  ∆  > 0 f(1) = 0 ⇔  4 −(m + 3) > 0 1 + 4 + m + 3 = 0 ⇔  m < 1 m = −8 ⇔ m ∈ (−∞, −8) ∪(−8, 1). (1) Với điều kiện này, gọi B(x 1 , y 1 ), C(x 2 , y 2 ) là hai giao điểm còn lại của d và (C m ). Lúc đó ta có x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời, do B, C thuộc d nên y 1 = x 1 + m + 2, y 2 = x 2 + m + 2. Từ đây, ta tính được BC 2 = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 = 2(x 2 − x 1 ) 2 = 2(x 1 + x 2 ) 2 − 8x 1 x 2 . Mặt khác, theo định lý Viette thì  x 1 + x 2 = −4 x 1 x 2 = m + 3 . Do vậy, ta có BC 2 = 2(−4) 2 − 8(m + 3) = 8(1 − m). Theo giả thiết, ta có BC = 4 nên suy ra 8(1 −m) = 16 ⇔ m = −1 (thỏa (1)). Vậy, có duy nhất một giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = −1. Ví dụ 8. Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt đồ thị hàm số (H) : y = x+2 x−2 tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là ngắn nhất. Phân tích. Bài toán này lại hướng điều kiện của giao điểm của hai đồ thị về khoảng cách nhỏ nhất. Để giải nó, ta tiến hành theo hai bước. Trước hết, chúng ta sẽ tìm điều kiện của m để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Sau bước này, ta sẽ tìm được một miền giá trị cụ thể cho m, tạm gọi là miền (). Tiếp theo, bằng cách gọi tọa độ của A, B, sử dụng công thức khoảng cách kết hợp với định lý Viette, ta sẽ biểu diễn được AB dưới dạng một biểu thức theo m. Bài toán được giải quyết xong khi ta khảo sát tìm cực trị của biểu thức này trên miền (). http://onluyentoan.vn 8 Phạm Nguyễn Tuân Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H): x + 2 x −2 = 2x + 3m ⇔  x + 2 = (2x + 3m)(x − 2) x = 2 ⇔  f(x) = 2x 2 + (3m − 5)x −(6m + 2) = 0 x = 2 Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2. Điều đó tương thích với điều kiện:  ∆ > 0 f(2) = 0 ⇔  (3m −5) 2 + 8(6m + 2) > 0 8 + 2(3m − 5) − (6m + 2) = 0 ⇔  9(m + 1) 2 + 32 > 0 − 4 = 0 Vì hệ này được thỏa mãn với mọi giá trị của m nên d và (H) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Lúc này, giả sử A, B có tọa độ lần lượt là A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ) thì ta có x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc d nên y 1 = 2x 1 + 3m, y 2 = 2x 2 + 3m. Và như thế, ta tính được AB 2 = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 = (x 2 − x 1 ) 2 + 4(x 2 − x 1 ) 2 = 5(x 1 − x 2 ) 2 = 5  (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2  . Theo định lý Viette, ta có    x 1 + x 2 = 5 −3m 2 x 1 x 2 = −(3m + 1) Do đó, AB 2 = 5   5 −3m 2  2 + 4(3m + 1)  = 5 4 (9m 2 + 18m + 41) = 5 4  9(m + 1) 2 + 32   5 4 · 32 = 20. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (m + 1) 2 = 0, tức m = −1. Vậy m = −1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 9. Cho hàm số y = x 3 3 − x + m có đồ thị (C m ) (m là tham số). Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại: (a) Ba điểm phân biệt. (b) Một điểm duy nhất. Phân tích. Đây là dạng toán về sự tương giao giữa đồ thị (C m ) và trục hoành với đòi hỏi quen thuộc. Nhưng cái không quen thuộc khác biệt với các ví dụ cùng dạng mà ta đã từng đề cập đó chính là ở phương trình hoành độ giao điểm, ta không dự đoán được nghiệm để phân tích nhân tử và làm đơn giản hóa vấn đề. Vậy chúng ta sẽ giải quyết nó như thế nào? Ở đây, hãy để ý rằng hàm số được cho là hàm bậc ba. Vậy những hiểu biết về dáng điệu đồ thị hàm bậc ba liệu có giúp ích gì cho ta chăng? Câu trả lời là có đó các bạn ạ! http://onluyentoan.vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 9 Chúng ta có một kết quả rất thú vị như sau: “Xét hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C). Giả sử hàm số đạt cực tại x 1 và đạt cực tiểu tại x 2 . Khi đó, ta có các kết luận quan trọng sau (căn cứ vào dáng điệu của đồ thị): • (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi y(x 1 ) ·y(x 2 ) < 0. • (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi y(x 1 ) ·y(x 2 ) > 0.” Và như thế, bài toán có thể được giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng kết quả này. Ngoài ra, chúng ta cũng có thể giải quyết bài toán theo cách khác là viết lại phương trình hoành độ giao điểm dưới dạng f(x) = g(m). Sau đó, ta tiến hành khảo sát hàm số y = f(x), lập bảng biến thiên của nó rồi từ đó suy ra kết luận cho bài toán (cơ sở của cách này chính là biện luận số nghiệm bằng đồ thị). Lời giải. Ta có hai cách giải cho bài toán này như sau: Cách 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: x 3 3 − x + m = 0 ⇔ − x 3 3 + x = m. (1) Xét hàm số y = f (x) = − x 3 3 + x với mọi x thuộc R. Ta có y  = 1 − x 2 và y  = 0 ⇔ 1 − x 2 = 0 ⇔     x = 1  ⇒ y = 2 3  x = −1  ⇒ y = − 2 3  Do đó, bảng biến thiên của f(x) trên R có dạng như sau dxd −∞ −1 1 +∞ y  − 0 + 0 − d y +∞ − 2 3  2 3 −∞ Từ đây, ta thấy: (a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt. Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m (chạy vuông góc Oy) cắt đồ thị hàm số y = − x 3 3 + x tại ba điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên, ta có T =  − 2 3 , 2 3  là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu. (b) (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m cắt đồ thị hàm số y = − x 3 3 + x tại một điểm duy nhất. Và kết quả từ bảng biến thiên cho thấy T =  −∞, − 2 3  ∪  2 3 , +∞  là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu. http://onluyentoan.vn 10 Phạm Nguyễn Tuân Cách 2. Xét hàm số y = x 3 3 − x + m với mọi x thuộc R. Ta có y  = x 2 − 1 và y  = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔     x = 1  ⇒ y = m − 2 3  x = −1  ⇒ y = m + 2 3  Rõ ràng hàm số đạt cực trị lần lượt tại x = 1 và x = −1. Từ đây, ta thấy: (a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi y(−1)y(1) < 0 ⇔  m − 2 3  m + 2 3  < 0 ⇔ − 2 3 < m < 2 3 . Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn ý (a) là T =  − 2 3 , 2 3  . (b) (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi y(−1)y(1) > 0 ⇔  m − 2 3  m + 2 3  > 0 ⇔    m < − 2 3 m > 2 3 Như thế, tập hợp các giá trị m thỏa mãn ý này là T =  −∞, − 2 3  ∪  2 3 , +∞  . Ví dụ 10. Cho hàm số y = x+3 x−1 có đồ thị (H). Gọi A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ) là hai điểm nằm trên (H) sao cho 2x 1 − y 1 − 3 = 2x 2 − y 2 − 3 = −m. Tìm m để hai điểm A, B đối xứng với qua đường thẳng ∆ : x + 2y − 6 = 0. Phân tích. Đọc đề bài toán ta thấy sự tương giao giữa hai đồ thị hình như không hiện trên đề. Nhưng nếu để ý kỹ chúng ta sẽ thấy có một điều lạ mắt xuất hiện ở đề toán. Đó chính là: 2x 1 − y 1 − 3 = 2x 2 − y 2 − 3 = −m ⇔  2x 1 − y 1 − 3 = −m 2x 2 − y 2 − 3 = −m ⇔  y 1 = 2x 1 + m − 3 y 2 = 2x 2 + m − 3 Điều này chứng tỏ A, B cùng nằm trên đường thẳng d : y = 2x + m − 3. Vậy rõ ràng để tồn tại hai điểm A, B thì phải có điều kiện của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt. Đến đấy thì bài toán tương giao đã hiện rõ. Tiếp theo, để A, B đối xứng qua ∆ thì ta cần có AB ⊥ ∆ và trung điểm I của AB phải thuộc ∆. Nhưng để ý một chút, ta thấy d ⊥ ∆ nên ở đây chỉ cần có thêm điều kiện I ∈ ∆ nữa là bài toán được giải quyết. Lời giải. Ta có 2x 1 − y 1 − 3 = 2x 2 − y 2 − 3 = −m ⇔  2x 1 − y 1 − 3 = −m 2x 2 − y 2 − 3 = −m ⇔  y 1 = 2x 1 + m − 3 y 2 = 2x 2 + m − 3 Suy ra A, B cùng thuộc đường thẳng d : y = 2x + m − 3. Mà theo giả thiết, A, B cũng thuộc (H) nên để tồn tại A, B thì d và (H) phải cắt nhau tại hai điểm phân biệt. [...]... cho dạng toán biện luận liên quan đến giao điểm của hai đồ thị và đây cũng là những ví dụ điển hình nhất cho dạng toán này Chúng tôi hy vọng rằng với những gì đã trình bày ở đây, bạn đọc sẽ tìm thấy được một chút gì đó thú vị, bổ ích Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp ích được phần nào đó cho việc học tập và nghiên cứu của chính các bạn 27 vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị ye... Chú ý Bài toán này còn có thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: “Tìm m để đồ thị hàm số y = f (x) chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau.” Ví dụ 13 Tìm m để đồ thị (Cm ) của hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1 (m là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng 13 vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị Phân tích Yêu cầu của bài toán này... ta phải so sánh lại với điều kiện tồn tại các điểm C, D để loại đi những giá trị không thỏa Có như vậy thì bài toán mới được giải quyết trọn vẹn ht Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H): x−2 =x−2⇔ x+1 (x − 2)x = 0 ⇔ x = −1 x = 0 (⇒ y = −2) x = 2 (⇒ y = 0) 25 vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị Do đó, ta có tọa độ của các điểm A, B lần lượt là A(0, −2) và B(2,... tham số) có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường thẳng d : y = −1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 tp :/ Phân tích Đầu tiên, hãy lưu ý đến yêu cầu bài toán là hoành độ của 4 giao điểm phải thỏa điều kiện nhỏ hơn 2 Bây giờ, ta hãy để ý tới phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị mà bài toán cho Quan sát các hệ số 1, −3m − 2, 3m + 1 một chút, ta dễ thấy tổng của chúng bằng... 21 vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị √ √ m2 5 2 2 5 2 2 < ⇔ 2m − 1 < 0 ⇔ − 0 ⇔ f... với một bài toán nào đó, bạn sẽ không thể nào thấy hết cái hay của những bài toán biện luận giao điểm cũng như không thể nào nắm bắt hết các kỹ năng cần có khi ứng phó với các bài toán loại này Xuất phát từ nguyên nhân như thế, chúng tôi xin được phép đề nghị ở đây một bài tập để bạn đọc thử sức và rèn luyện kỹ năng Chúc các bạn học tập và làm việc thật tốt Bài tập 1 Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm... có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ √ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 < AB < 2 3 vn Phạm Nguyễn Tuân 16 Phân tích Bài toán này đòi hỏi khoảng cách giữa hai giao điểm phải thỏa một khoảng giá trị cho trước Vậy sau khi tìm được điều kiện của m để tồn tại hai giao điểm, ta sẽ dùng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm kết hợp với định lý Viette để giải quyết bài toán. .. /o nl u Phân tích Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để các giao điểm thỏa mãn “tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng (liên quan đến các giao điểm) là nhỏ nhất” Do đó, sau khi tìm được các giá trị của m để tồn tại hai điểm A, B (sau bước này, ta sẽ có m thuộc một miền ( ) nào đó), ta sẽ áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm để biểu diễn tổng OA2 + OB 2 theo m, rồi đưa bài toán về khảo sát hàm... độ giao điểm của (H) và d: 3x + 1 = mx ⇔ x−1 3x + 1 = mx(x − 1) ⇔ x=1 f (x) = mx2 − (m + 3)x − 1 = 0 x=1 ht Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 Điều này tương thích với điều kiện:    m = 0 m = 0  m < −9    2 m > −1 ∆ > 0 ⇔ m + 10m + 9 > 0 ⇔ (1)     f (1) = 0  −4=0  m=0 Các bài toán liên quan đến sự tương giao của . các bài toán loại này, ta chỉ cần lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và giải nó là tìm được các giao điểm. http://onluyentoan.vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai. 1. http://onluyentoan.vn Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 7 Phân tích. Qua các bài toán trên, ta đã biết để giải bài toán này ta cũng sẽ lập phương trình hoành độ giao điểm. Nhưng. http://onluyentoan.vn CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phạm Nguyễn Tuân 1 1 Kiến thức cơ bản Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C 1 ) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C 2 ). Khi