Đang tải... (xem toàn văn)
Trong toán học, căn bậc hai của một số a là một số x sao cho x2 = a, hay nói cách khác là số x mà bình phương lên thì = a.1 Ví dụ, 4 và −4 là căn bậc hai của 16 vì 42 = (−4)2 = 16. Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là căn bậc hai số học, ký hiệu √a, ở đây √ được gọi là dấu căn. Ví dụ, căn bậc hai số học của 9 là 3, ký hiệu √9 = 3, vì 32 = 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm. Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là ± √a (xem dấu ±). Mặc dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số đó, việc gọi căn bậc hai thường đề cập đến căn bậc hai số học. Đối với số dương, căn bậc hai số học cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như là a12.2 Căn bậc hai của số âm có thể được bàn luận trong khuôn khổ số phức.
HỆ THỐNG KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI LỚP A - Căn bậc hai Định nghĩa: Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a Ký hiệu: a > 0: a : Căn bậc hai số a a : Căn bậc hai âm số a a = 0: Chú ý: Với a 0: ( a )2 ( a )2 a Căn bậc hai số học: Với a 0: số a gọi CBHSH a Phép phương phép tốn tìm CBHSH số a khơng âm So sánh CBHSH: Với a 0, b 0: a b a b 1.1 Điền vào ô trống bảng sau: x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x2 1.2 Tìm bậc hai số học suy bậc hai số sau: a) 121 b) 144 c) 169 d) 225 e) 256 f) 324 g) 361 h) 400 i) 0,01 j) 0,04 k) 0,49 l) 0,64 m) 0,25 n) 0,81 o) 0,09 1.3 Tính: p) 0,16 a) 0,09 b) 16 e) 25 f) c) 16 d) (4).(25) 0,25 0,16 g) 0,36 0,49 0,04 1.4 Trong số sau, số có bậc hai: a) b) 1,5 c) 0,1 d) 1.5 Trong biểu thức sau, biểu thức có bậc hai: a) (x – 4)(x – 6) + b) (3 – x)(x – 5) – c) x2 + 6x – d) 5x2 + 8x – e) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + f) x2 + 20x + 101 1.6 So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) b) c) 41 d) 47 e) f) g) 31 10 h) 12 i) 5 29 j) 19 k) l) m) + và p) 37 14 6– 15 1.7 Dùng kí hiệu 2 n) – 2 15 + q) 17 26 99 viết nghiệm phương trình đưới đây, sau dùng máy tính để tính xác nghiệm với chữ số thập phân a) x2 = b) x2 = c) x2 = 3,5 d) x2 = 4,12 e) x2 = f) x2 = g) x2 = 2,5 h) x2 = 1.8 Giải phương trình sau: a) x2 = 25 o) b) x2 = 30,25 c) x2 = d) x2 – = e) x2 = g) x2 = h) 2x2+3 =2 i) (x – 1)2 = j) x2 = (1 – )2 f) x2 + = k) x2 = 27 – 10 16 l) x2 + 2x =3 –2 1.9 Giải phương trình: a) x = 1.10 Trong số: b) x = (7) , c) x = d) x = 2 (7)2 , 72 , (7) số bậc hai số học 49 ? 1.11 Cho hai số dương a b Chứng minh rằng: a) Nếu a > b a b b) Nếu a b a > b 1.12 Cho số dương a Chứng minh rằng: a) Nếu a > a > b) Nếu a < a < 1.13 Cho số dương a Chứng minh rằng: a) Nếu a > a > a b) Nếu a < a < a Một số tính chất bất đẳng thức a b b a a b ac b c a b a c b c (cộng vế với c) a c b a b c (cộng vế với – c) a b a b (cộng vế với – b) a b a b (cộng vế với – b) a b acbd c d a b a.c b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a b a.c b.c (nếu c < 0: đổi chiều) a b 0 a.c b.d c d 0 n n * a b a b ( n ) a b 1 a b B - Căn thức bậc hai Hằng đẳng thức A A Căn thức bậc hai: Nếu A biểu thức đại số hai A gọi thức bậc A A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A định (có nghĩa) A Chú ý: a) Điều kiện có nghĩa số biểu thức: A(x) đa thức A(x) ln có nghĩa A( x ) có nghĩa B( x ) B(x) A( x ) có nghĩa A(x) có nghĩa A( x ) A(x) > b) Với M > 0, ta có: X M X M M X M X M X M X M X M Hằng đẳng thức ( A )2 A a a a a Định lí: Với số a, ta có: a a Chú ý: Tổng quát, với A biểu thức đại số, ta có: A A2 A A 1.14 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) 2x b) 5x c) 3x d) 3x e) x f) g) x 5x h) x i) 5 x 6 j) x2 k) 1 x l) x3 m) 4x n) o) x2 2x a) x 4x 3x P) x 2x b) x 2x A0 A0 c) 4x 12x e) x 8x 15 d) f) x x 1 3x 7x 20 x x2 c) 2x x 9 e) 4x x2 x 1 f) x2 x (x 1)(x 3) b) x3 2x 5x d) x 1 x2 a) c) b) x x5 a) d) 2x x 1.15 Tính a) (2) b) (3) c) d) 0,4 (0,4) e) (5) (0,1) g) (1,3) f) (0,3) h) (2) + (2) 1.16 Chứng minh rằng: a) ( 2)2 b) 2 c) 23 (4 )2 d) 17 12 2 1.17 Rút gọn biểu thức: a) (4 2) b) (2 5) c) (4 )2 d) (2 ) e) (2 ) f) g) ( 1) ( 2) 2 a) 62 (2 ) h) (2 ) ( 1) b) c) 12 d) 17 12 e) 22 12 f) 10 g) 11 h) 3 a) 62 42 3 3 3 b) 11 c) 11 d) 11 13 e) ( 4) 19 f) 82 h) 3 g) 11 a) 62 42 c) a) 62 48 10 x2 x 3 4 3 3 b) 13 d) 23 10 2 b) x 2x x2 1.18 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu dấu trị tuyệt đối): a) 9x 2x với x < b) x với x c) (x 2) với x < d) x 5x với x < e) f) 25x 3x với x 9x 3x với x g) x 16 8x x với x > a) A = 4a 4a2 2a c) C = e) E = b) B = 4x 12x 2x 5x d) D = (x 1) x 10 x 25 x 6x x3 x 1 x 2x f) F = x x 8x 16 1.19 Chứng tỏ: x 2x ( x )2 với x Áp dụng rút gọn biểu thức sau: x 2x x 2x với x 1.20 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu dấu trị tuyệt đối): a) x x với x b) x x với x c) với x x x 1 x x 1 d) x x x x với x 1.21 Với giá trị a b thì: a) a 2ab b ? ba b) a2 ( b b 1) a(1 b) ? 1.22 So sánh hai số sau (khơng dùng máy tính): a) + 2 b) + c) 16 + d) 11 1.23 Rút gọn tính giá trị biểu thức: a) A 9x 12x 3x x b) B 2x 6x x 1.24 Giải phương trình: a) 9x = 2x + b) x c) x 6x 3x d) x e) x2 f) 4x 4x g) x h) (x 2) 2x i) j) 4x 12x x l) 4x 12x 9x 24x 16 x 6x k) 4x 4x x 2x 1.25 Phân tích thành hân tử: a) x2 – b) x2 c) x2 – 13 x + 13 d) x2 – e) x2 – 2 x + f) x2 + x + 1.26 Với n số tự nhiên, chứng minh: ( n 1) n ( n 1) n Viết đẳng thức n 1; 2; 3; 4; 5; 6; 1.27 Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 2 a b c a b c 1.28 Tính: 20132 20132 2013 20142 2014 1.29 Chứng minh bất đẳng thức Côsi (Cauchy): x + y xy Dấu “ = ” xảy ? Áp dụng: Chứng minh với x, y, z số dương, ta có: 1 1 1 x y z xy yz zx C - Khai phương tích Nhân thức bậc hai D - Khai phương thương C hia thức bậc hai Với A 0, B 0: AB A B Với A 0, B > 0: A B A B 1.30 Tính: a) b) 4.(7) c) 12,1.360 d) 22.34 e) f) 75.48 g) 90.6,4 h) 2,5.14,4 b) 2,5 30 48 c) 0,4 6,4 d) 2,7 1,5 e) 10 40 f) 45 g) 52 13 h) a) 0,09.64 63 a) 132 12 d) 3132 3122 45.80 162 b) 17 c) 1172 1082 e) f) 6,82 3,2 21,82 18,2 g) 146,52 109,52 27.256 10