SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 1 1 Đại cương về phương pháp phần tử hữu hạn 1.1. Khái niệm về phương pháp Phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một ẩn hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên, FEM không tìm dạng xấp xỉ của ẩn hàm trên toàn miền V của kết cấu mà chỉ tìm trong từng miền con V e . Chính vì vậy mà FEM có thể áp dụng cho rất nhiều bài toán kỹ thuật và nhất là đối với bài toán kết cấu, trong đó ẩn hàm cần tìm có thể được xác định trên các miền phức tạp với nhiều điều kiện biên khác nhau. Như vậy, đối với FEM miền tính toán V được thay thế bởi một số hữu hạn các miền con V e được gọi là phần tử. Các phần tử này chỉ được nối với nhau bởi các điểm định trước trên biên gọi là nút. Trong phạm vị mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ theo một dạng phân bố xác định nào đó. Các hệ số của hàm xấp xỉ được gọi là các tham số hay các tọa độ tổng quát. Các tham số này lại được biểu diễn qua giá trị của hàm (và có thể cả đạo hàm của nó) tại vị trí các điểm nút trên phần tử. Các giá trị tại nút được gọi là bậc tự do của phần tử và được xem là các ẩn số cần tìm của bài toán. Như vậy các hệ số của hàm xấp xỉ có ý nghĩa vật lý xác định, do vậy nó rất dễ thỏa mãn điều kiện biên của bài toán. Đây cũng chính là ưu điểm nổi bật của FEM so với các phương pháp khác. Để có thể nghiên cứu cụ thể FEM, ta cần thống nhất một số ký hiệu và làm quen với các khái niệm sau: + Phần tử (element) là các miền con thuộc miền V của trên cấu. Do yêu cầu của phương pháp, miền V phải được rời rạc hóa thành các phần tử. Hình H-1.2 – Mô hình phần tử hữu hạn của hệ dàn không gian SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 2 + Nút (node hay joint) là các điểm định trước trên biên phần tử mà thông qua các nút này mà các phần tử được nối với nhau tạo thành một miền liên tục. + Hàm xấp xỉ (approximation function) biễu diễn dạng phân bố của ẩn hàm cần tìm theo một quy luật nào đó trong phạm vi từng phần tử. + Vectơ chuyển vị nút phần tử { } e q (hay vectơ bậc tự do của phần tử) chính là tập hợp tất các bậc tự do của các nút thuộc về phần tử đó. + Vectơ chuyển vị nút kết cấu { } q (hay vectơ chuyển vị nút tổng thể) chính là tập hợp tất cả các bậc tự do của tất cả các nút trong kết cấu. + Vectơ các tham số { } a (hay vectơ các tọa độ tổng quát) là các tham số của hàm xấp xỉ. Theo FEM, các tham số này sẽ không được tính trực tiếp mà sẽ được biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút của phần tử. + Các khái niệm hàm dạng [ ] N (shape function), ma trận độ cứng [ ] K (stiffness matrix), vectơ tải { } P (load vector)… sẽ được trình bày khi thành lập các phương trình cơ bản của FEM. Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ trong bài toán kết cấu, người ta chia làm 3 mô hình sau đây: (i) Mô hình tương thích biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. Ẩn số là các chuyển vị và đạo hàm của nó được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange hay nguyên lý thế năng toàn phần dừng. (ii) Mô hình cân bằng biễu diễn dạng gần đúng của ứng suất hoặc nội lực bên trong phần tử. Ẩn số là các lực tại nút đựơc xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano hay nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng. (iii) Mô hình hỗn hợp biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng suất trong phần tử. Coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Ẩn số được xác định từ hệ phương trình thành lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner-Helinge. Trong ba mô hình trên thì mô hình tương thích được dùng rộng rãi hơn cả. Hai mô hình còn lại chỉ sử dụng hiệu quả trong một số bài toán. Phần mềm SAP2000 sử dụng mô hình tương thích để phân tích kết cấu. 1.2. Hàm xấp xỉ 1.2.1. Lựa chọn hàm xấp xỉ Như đã trình bày ở trên, các ẩn hàm cần tìm được xấp xỉ hóa trên mỗi phần tử. Như vậy việc lựa chọn hàm xấp xỉ phải mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử. Thông thường hàm xấp xỉ hay được chọn ở dạng đa thức. Hàm xấp xỉ cũng có thể sử dụng dạng lượng giác. Ưu điểm của hàm xấp xỉ dạng đa thức: + Đa thức khi được xem là tổ hợp tuyến tính các đơn thức thì tập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính. + Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán đạo hàm và tích phân. + Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ. Ví dụ: Trong bài toán 1-D, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức như sau: SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 3 ( ) xaaxu 21 + = (xấp xỉ tuyến tính) ( ) 2 321 xaxaaxu ++= (xấp xỉ bậc 2) ( ) 3 4 2 321 xaxaxaaxu +++= (xấp xỉ bậc 3) Nếu chọn hàm xấp xỉ bậc n thì ta có: [ ] [ ] { } a)x(P a a a a x xx1xa xaa)x(u 1n 3 2 1 n21n n21 =                   =+++= + − M Bài toán 2-D: [ ] [ ] { } a)y,x(P a a a a a a xyyxyx1xyayaxayaxaa)x(u 6 5 4 3 2 1 22 6 2 5 2 4321 =                       =+++++= Bài toán 3-D: [ ] { } a)z,y,x(P)z,y,x(u = (1.1) [ ] )z,y,x(P được gọi là ma trận các đơn thức. { } a được gọi là vectơ các tham số (hay vectơ tọa độ tổng quát). 1.2.2 Chọn bậc của đa thức xấp xỉ Về nguyên tắc, nếu chọn bậc của đa thức xấp xỉ càng cao thì kết quả xấp xỉ càng chính xác. Tuy nhiên, đa thức được chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau đây: (i) Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ, tức là: + Liên tục trong phạm vi phần tử. Điều này đương nhiên thỏa mãn nếu chọn hàm xấp xỉ ở dạng đa thức. + Bảo đảm tồn tại trạng thái đơn vị trong phần tử và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi (Xem lại phương pháp biến phân của Lý thuyết đàn hồi). (ii) Đa thức xấp xỉ được chọn không làm mất tính đẳng hướng hình học: + Để đáp ứng yêu cầu này, ta có thể chọn dạng các đa thức từ tam giác Pascal (bài toán 2-D) hay từ tháp Pascal (bài toán 3-D). Đối với xấp xỉ của bài toán 1-D thì yêu cầu này tự nhiên thỏa mãn. SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 4 Hình H-1.2 – (a) Tam giác Pascal - (b) Tháp Pascal Thí dụ: Với bài toán 2-D, muốn dùng hàm xấp xỉ đến bậc 2, ta sẽ lấy các số hạng đến tầng thứ 2 của tam giác Pascal, khi đó hàm xấp xỉ sẽ là: xyayaxayaxaa)y,x(u 6 2 5 2 4321 +++++= Với bài toán 3-D, hàm xấp xỉ bậc 2 sẽ được lấy đến tầng thứ 2 của tháp Pascal: xzazyaxyazayaxazayaxaa)z,y,x(u 1098 2 7 2 6 2 54321 +++++++++= (c) Số tham số trong vectơ { } a phải bằng số bậc tự do của phần tử { } e q : + Yêu cầu này cần được đảm bảo, như thế mới có thể nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút. Muốn tăng bậc của đa thức xấp xỉ lên, ta cũng phải tăng số bậc tự do của phần tử lên, ta sẽ có được các phần tử bậc cao. 1.3. Hàm dạng Vectơ các bậc tự do { } e q của phần tử (hay vectơ chuyển vị nút phần tử) là tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phần tử. Các bậc tự do này chính là ẩn số cần tìm của bài toán khi phân tích theo phương pháp phần tử hữu hạn. Sau khi lựa chọn hàm xấp xỉ, chúng ta phải biểu diễn các đa thức xấp xỉ theo vectơ chuyển vị nút phần tử { } e q . Ta nói rằng, các đa thức này được nội suy theo { } e q . Thực chất là ta phải đảm bảo rằng giá trị của đa thức xấp xỉ (hay đạo hàm của nó) tại các điểm nút thuộc phần tử phải đồng nhất bằng bậc tự do của phần tử. Hay nói cách khác, nếu ta thay thế tọa độ các điểm nút trên phần tử vào trong hàm xấp xỉ thì phải cho giá trị đúng bằng chuyển vị nút. Trong trường hợp tổng quát, nếu phần tử có r nút, ta có: { } e q )rnode(u )2node(u )1node(u ≡               SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 5 Ta thay tọa độ các nút vào các đa thức xấp xỉ, thực hiện đồng nhất và biểu diễn theo (1.1), ta có: { } [ ] { } { } e rrr 222 111 rrr 222 111 qaAa )]z,y,x(P[ )]z,y,x(P[ )]z,y,x(P[ )z,y,x(u )z,y,x(u )z,y,x(u )rnode(u )2node(u )1node(u ≡=               =               =               (1.2) Trong đó [ ] A là ma trận vuông kích thước bằng số bậc tự do của phần tử và chỉ chứa tọa độ các điểm nút của phần tử. Từ (1.2) ta có: { } [ ] { } e 1 q.Aa − = (1.3) Thay (1.3) vào (1.1), ta có: { } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { } ee 1 e qNq.A)z,y,x(Pa)z,y,x(P)z,y,x(u === − (1.4) Trong đó : [ ] [ ] [ ] 1 Az)y,P(x,N − = (1.5) được gọi là ma trận các hàm nội suy hoặc ma trận các hàm dạng. Thực chất là ma trận [ ] N dùng để biểu diễn các hàm xấp xỉ theo vectơ chuyển vị nút phần tử { } e q hay nội suy theo { } e q . Nhìn vào biểu thức (1.4), có thể thấy, chuyển vị của các điểm bên trong phần tử được tính theo các chuyển vị nút của phần tử bằng ma trận các hàm dạng [ ] N . Đối với bài toán kết cấu, các thành phần của ma trận [ ] N biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử ứng với các chuyển vị nút bằng đơn vị. Thí dụ 1-1: Tìm ma trận các hàm dạng của phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục có 2 nút (hình H-1.3). Do thanh chỉ chịu kéo (nén) nên mỗi nút chỉ có một bậc tự do là chuyển vị theo phương chịu kéo (nén). Do vậy vectơ chuyển vị nút sẽ là: { } { } { } T ji T e 21 e u,uq,qq == Do vectơ chuyển vị nút chỉ có hai thành phần, do đó ta chỉ có thể xấp xỉ hàm chuyển vị đến bậc 1 (chứa 2 tham số): ( ) [ ] [ ] { } a)x(P a a x1xaaxu 2 1 21 =       =+= Để biểu diễn chuyển vị xấp xỉ trên theo { } e q , ta thực hiện thay tọa độ các điểm nút vào )x(u và thực hiện đồng nhất, ta có: [ ] { } { } e 2 1 21 1 qaA a a L1 01 Laa a )Lx(u )0x(u )2node(u 1) (nodeu ≡=             =       + =       = = =       Như vậy [ ] [ ]         − =⇒       = − L 1 L 1 01 A L1 01 A 1 Từ (1.5) ta có ma trận các hàm dạng của phần tử thanh chịu kéo (nén): Hình H - 1. 3 SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 6 Hình H-1.4 [ ] [ ][ ] [ ] [ ] )x(N)x(N L x L x 1 L 1 L 1 01 x1A)x(PN 21 1 e =             −=         − == − Cuối cùng ta có thể xấp xỉ )x(u theo vectơ chuyển vị nút phần tử như sau: [ ] { } 21 2 1 e q L x q L x 1 q q L x L x 1qN)x(u +       −=                   −== Thí dụ 1-2: Tìm ma trận các hàm dạng của phần tử dầm chịu uốn 2 nút (H-1.4). Đối với dầm chịu uốn, mỗi nút có 2 bậc tự do là thành phần chuyển vị thẳng góc với dầm )x(v và góc xoay dx dv =θ . Như vậy, vectơ bậc tự do của phần tử sẽ là: { } { } { } T jjii T 4321 e ,v,,vq,q,q,qq θθ== Do vậy, hàm xấp xỉ chuyển vị )x(v có thể xấp xỉ đến bậc 3 (chứa 4 tham số): [ ] [ ] { } a)x(P a a a a xxx1xaxaxaa)x(v 4 3 2 1 323 4 2 321 =               =+++= Hàm xấp xỉ góc xoay: [ ]               =++==θ 4 3 2 1 22 432 a a a a x3x210xa3xa2a dx dv )x( Để biểu diễn chuyển vị và góc xoay xấp xỉ trên theo { } e q , ta thực hiện thay tọa độ các điểm nút vào )x(v và )x( θ và thực hiện đồng nhất, ta có: [ ] { } { } e 4 3 2 1 2 32 2 432 3 4 2 321 2 1 2 2 1 1 qaA a a a a L3L210 LLL1 0010 0001 La3La2a LaLaLaa a a )Lx( )Lx(v )0x( )0x(v ==                           =               ++ +++ =               =θ = =θ = Như vậy [ ] [ ]             − −−− =⇒             = − 2323 22 1 2 32 L/1L/2L/1L/2 L/1L/3L/2L/3 0010 0001 A L3L210 LLL1 0010 0001 A SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 7 Ma trận các hàm dạng được xác định như sau: [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 4321 2323 22 32 1 NNNN L/1L/2L/1L/2 L/1L/3L/2L/3 0010 0001 xxx1A)x(PN =             − −−− == − Trong đó: 3 3 2 2 1 L x 2 L x 31N +−= ; 2 32 2 L x L x 2xN +−= ; 3 3 2 2 3 L x 2 L x 3N −= ; 2 32 4 L x L x N +−= Hàm chuyển vị được nội suy qua vectơ các bậc tự do của phần tử: [ ] { } 44332211 e qNqNqNqNqN)x(v + + + = = 1.4. Các phương trình cơ bản của FEM 1.4.1. Ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải phần tử Bài toán kết cấu giải giải bằng FEM theo mô hình tương thích tức là ta chọn ẩn cơ bản là chuyển vị. Sau khi tìm được chuyển vị, ta mới tìm tiếp các thành ứng suất, biến dạng. Chuyển vị được xấp xỉ hóa bằng các đa thức xấp xỉ và được nội suy qua vectơ chuyển vị nút phần tử { } e q : { } [ ] { } e e qNu = Theo phương trình Cauchy của Lý thuyết đàn hồi (xem thêm bài tập 1 ở phần bài tập cuối chương), ta có thể tính được các thành phần biến dạng: { } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { } ee ee qBqNu = ∂ = ∂ = ε (1.6) Trong đó: [ ] [ ] [ ] NB ∂ = được gọi là ma trận tính biến dạng. (1.7) Để tính ứng suất của các điểm thuộc phần tử, ta áp dụng định luật Hooke. Nếu bỏ qua thành phần ứng suất và biến dạng ban đầu, ta có: { } [ ] { } ee D ε = σ (1.8) Thay (1.6) vào (1.8), ta được: { } [ ] [ ] { } [ ] { } ee e qSqBD = = σ (1.9) Trong đó: [ ] [ ] [ ] BDS = được gọi là ma trận tính ứng suất. (1.10) Để tìm được phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, ta dùng các nguyên lý biến phân Lagrange (tương tự như các phương pháp Ritz và Galerkin trong phương pháp biến phân). Thế năng toàn phần của phần tử sẽ là: { }( ) { } { } { } { } { } { } ∫∫∫ −−σε=∏ eee S e T V e T V e T ee e dSupdVugdV 2 1 u (1.11) Thay các kết quả từ (1.5), (1.6) và (1.9) vào (1.11), ta sẽ biểu diễn được thế năng của phần tử theo chuyển vị nút { } e q , cụ thể: { }( ) { } [ ] [ ][ ] ( ) { } { } [ ] { } { } [ ] { } ∫∫∫ −−=∏ eee S e T V e T V e TT e e e dSqNpdVqNgdVqBDBq 2 1 u (1.12) Có thể viết gọn dưới dạng: SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 8 { }( ) { } [ ] { } { } { } e T ee e T e e e PqqKq 2 1 u −=∏ (1.13) Trong đó: [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ = e V T e dVBDBK gọi là ma trận độ cứng phần tử. (1.14) { } [ ] { } [ ] { } ∫∫ += ee S e T V e T e dSpNdVgNP gọi là vectơ tải phần tử. (1.15) Để ý phép tính ma trận độ cứng (1.14) và do [ ] D là ma trận đối xứng nên [ ] e K cũng là ma trận đối xứng. 1.4.2. Ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể Giả sử rằng kết cấu được chia thành N phần tử bởi R nút. Số bậc tự do của mỗi nút là s. Mỗi phần tử có r nút. Như vậy: + Số bậc tự do của phần tử sẽ là ne = r x s. + Số bậc tự do của cả hệ sẽ là n = R x s. Vectơ chuyển vị nút phần tử { } e q sẽ có kích thước (ne x 1) Vectơ chuyển vị nút tổng thể { } q sẽ có kích thước (n x 1) Thực chất, { } e q là một thành phần của { } q , do đó giữa hai vectơ chuyển vị nút phần tử và tổng thể sẽ có mối quan hệ với nhau theo biểu thức: { } [ ] { } qLq e e = (1.16) Trong đó: [ ] e L (ne x n) gọi là ma trận định vị phần tử. Ma trận này cho thấy hình ảnh sắp xếp của { } e q trong { } q . Thí dụ 1-3: Hãy biểu diễn vectơ chuyển vị nút { } e q của các phần tử theo vectơ chuyển vị nút { } q của kết cấu dàn phẳng như trên hình H-1.6. Kết cấu gồm N = 6 phần tử, tổng số nút R = 4 nút, mỗi nút có s = 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị trong mặt phẳng dàn, mỗi phần tử có r = 2 nút. Như vậy, vectơ { } q sẽ có tất cả R x s = 4 x 2 = 8 thành phần thành phần, cụ thể: { } { } T 87654321 qqqqqqqqq = Vectơ chuyển vị nút phần tử { } e q sẽ có 2 x 2 = 4 thành phần và có thể tùy ý quan niệm điểm đầu i và điểm cuối j của phần tử: { } { } T 6521 1 qqqqq = ; { } { } T 2143 2 qqqqq = ; { } { } T 4387 3 qqqqq = { } { } T 6587 4 qqqqq = ; { } { } T 6543 5 qqqqq = ; { } { } T 2187 3 qqqqq = Ta biểu diễn vị trí sắp xếp của các { } e q trong { } q bằng ma trận định vị [ ] e L : Hình H-1.6 SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 9 { }                           = 8 2 1 1 q q q 00100000 00010000 00000010 00000001 q M { }                           = 8 2 1 2 q q q 00000010 00000001 00001000 00000100 q M { }                           = 8 2 1 3 q q q 00001000 00000100 10000000 01000000 q M { }                           = 8 2 1 4 q q q 00100000 00010000 10000000 01000000 q M { }                           = 8 2 1 5 q q q 00100000 00010000 00001000 00000100 q M { }                           = 8 2 1 6 q q q 00000100 00000010 10000000 01000000 q M Trong tất cả các trường chuyển vị khả dĩ, trường chuyển vị thực phải làm cho thế năng toàn phần của hệ đạt giá trị dừng (theo nguyên lý biến phân về chuyển vị). Do vậy, ta cần thiết phải tìm được thế năng toàn phần của hệ, sau đó từ điều kiện dừng sẽ tìm ra trường chuyển vị { } u . Từ (1.13), ta có thế năng toàn phần của hệ được biểu diễn theo { } q : { } [ ] [ ] [ ] { } { } [ ] { } ∏ ∑∑ ==       −=∏= N 1e e T e ee T e T N 1e e qLPqLKLq 2 1 (1.17) Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng:              = ∂ = ∂ = ∂ ⇔=∂ ∏ ∏ ∏ ∏ 0 q 0 q 0 q 0 n 2 1 M hay viết gọn ở dạng ma trận: { } 0 q = ∂ ∂ ∏ (1.18) Thay (1.17) vào (1.18) và thực hiện đạo hàm riêng với biến số là bậc tự do tương ứng, ta sẽ nhận được hệ phương trình: [ ] { } { } 0PqK =− (1.19) Trong đó: [ ] [ ] [ ] [ ] ∑ = = N 1e ee T e LKLK gọi là ma trận độ cứng tổng thể (2.20) { } [ ] { } ∑ = = N 1e e T e PLP gọi là vectơ tải tổng thể (1.21) Phương trình (1.19) chứa ẩn hàm là các chuyển vị nút { } q . Tuy nhiên, khi ta áp dụng các nguyên lý thế năng để thành lập phương trình này, ta chưa áp đặt điều kiện biên cho SAP2000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 10 hệ kết cấu. Do vậy ma trận [ ] K là suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Ta phải đưa thêm vào các điều kiện biên để đảm bảo hệ là bất biến hình. Sau khi áp đặt điều kiện biên cho { } q (áp đặt điều kiện biên tại các nút), phương trình (1.19) sẽ trở thành: [ ] { } { } 0PqK *** =− (1.22) Phương trình (1.22) chính là hệ phương trình cơ bản của FEM. Các nhận xét: + Ma trận [ ] e K là đối xứng nên [ ] * K cũng đối xứng. + Trong công thức (1.20) và (1.21), để xác định [ ] K và { } P ta dùng ma trận định vị phần tử [ ] e L , thực chất là sắp xếp các phần tử của [ ] e K và { } e P vào đúng vị trí của nó trong [ ] K và { } P . Trong thực hành, ta không dùng công thức này mà sẽ dùng một ma trận chỉ số để tiện lợi hơn trong quá trình ghép nối phần tử. + Về mặt cơ học, phương trình (1.22) biễu diễn điều kiện cân bằng của vật thể tại các điểm nút của kết cấu. Chú ý: đối với các nút có lực tập trung tại nút (thường gặp trong hệ dàn), ta phải kể thêm các ngoại lực tập trung tại nút { } n P vào vectơ tải { } P . 1.4.3. Ghép nối phần tử bằng ma trận chỉ số Ma trận cứng và vectơ tải tổng thể có thể tính trực tiếp từ công thức (1.20) và (1.21). Tuy nhiên, để tiện lợi ta dùng hệ thống chỉ số để đánh số cho các bậc tự do của nút như sau: 1. Hệ thống chỉ số tổng thể: ta thực hiện đánh số thứ tự các bậc tự do trong tập hợp các bậc tự do đang xét trong { } q . Chỉ số đánh từ 1, 2, 3, …, n = R x s. 2. Hệ thống chỉ số phần tử: ta thực hiện đánh số thứ tự các bậc tự do trong phần tử { } e q . Chỉ số được đánh từ 1, 2, …, ne = r x s. Ta lập ma trận chỉ số [ ] b sao cho với các thành phần ij b chính là chỉ số tổng thể tương ứng với bậc tự do thứ j của phần tử thứ i. Do vậy ma trận [ ] b sẽ có số hàng bằng số phần tử N và số cột bằng số bậc tự do của phần tử ne. Khi sử dụng ma trận chỉ số [ ] b để xây dựng ma trận cứng tổng thể [ ] K và vectơ tải tổng thể { } P , ta cần nhớ rằng mỗi thành phần e ij K của ma trận cứng phần tử e K được cộng thêm vào phần tử mn K của ma trận cứng tổng thể [ ] K với ei bm = và ej bn = . Tương tự, mỗi phần tử e i P của vectơ { } e P sẽ được cộng thêm vào phần tử m P của { } P với ei bm = . Thí dụ 1-4: Lập ma trận chỉ số của hệ dầm liên tục sau để xây dựng ma trận cứng tổng thể [ ] K và vectơ tải tổng thể { } P (hình H.1-5). Chỉ số cục bộ Phần tử Nút i Nút j (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 (3) 5 6 7 8 q 1 1 2 q q 4 3 q q 5 6 q q 8 7 q 1 2 3 2 3 3 Hình 1 - 5 [...]... tiên c a chương trình mang tên SAP (Structural Analysis Program) ra i vào năm 1970 Các phiên b n k ti p là SAP3 , SAP- IV… B ph n m m mang tính thương m i u tiên là SAP8 0 (SAP- VI), ư c phát tri n b i cơng ty Computer & Structure Inc – CSI SAP2 000 (SAP- VII) là m t bư c t phá c a h ph n m m SAP SAP2000 ã tích h p các ch c năng phân tích và thi t k k t c u thành m t Ngồi ra, SAP2 000 còn ư c b sung thêm các... ph i ư c hi u ch nh b ng cách “c ng thêm” bi u mơmen M0 khi xem các nút b g n c ng (hình H.1-8) 6 6 3 1 3 7 Μq 7 Μo 7 Hình 1.8 Email: binh.lv@ou.edu.vn 20 Μ SAP2 000 2 Ph n m m phân tích k t c u SAP2 000 2.1 Gi i thi u ph n m m SAP2 000 B ph n m m SAP2 000 ư c giáo sư Edward L Wilson và các c ng s ( i h c California, Berkeley, M ) nghiên c u l p ra d a trên các phương pháp s và phương pháp ph n t h u h n... có Pentium 100) h a: VGA hay SVGA + Card + Máy in, máy v Ngư i dùng cài t ph n m m SAP2 000 theo hư ng d n c a nhà s n xu t 2.5 C u trúc c a SAP2 000 Chương trình ư c c u trúc dư i d ng file th c thi chương trình (Sap2 000.exe), nó s l n lư t g i các t p tin và hàm ph tr (*.DLL) trong q trình th c hi n File d li u c a SAP2 000 có ph n m r ng là *.SDB và *.S2K i v i file S2K, ngư i dùng có th dùng m t ph... tích mi n t n s , ph th i gian, t i tr ng ng t… Email: binh.lv@ou.edu.vn 21 SAP2 000 + Phiên b n ADVANCE b sung thêm các ph n t phi tuy n, phân tích ph th i gian phi tuy n b ng phương pháp ch ng ch t mơ hình ho c tích phân tr c ti p, phân tích bài tốn n nh (buckling analysis)… 2.3 Kh năng phân tích k t c u c a SAP2 000 Trong SAP2 000 V7.42 ngư i dùng có th mơ t nhi u lo i t i tr ng khác nhau như l c t p... hòa và t i tr ng di ng… Các lo i bài tốn k t c u mà SAP2 000 có th th c hi n g m có: + Bài tốn phân tích tĩnh (static analysis) + Bài tốn tính t n s dao ng riêng và các d ng dao ng (modal analysis) + Bài tốn tính áp ng c l c h c (response analysis) v i t i tr ng ngồi thay i theo th i gian hay ph gia t c 2.4 Cài t ph n m m SAP2 000 (7.42) Ph n m m SAP2 000 ch y trên h i u hành WINDOWS 95/98/NT Ngồi ra phiên... n phân tích (processing) n bi u di n k t qu (post-processing) u có giao di n h a tr c quan (visual graphics) d s d ng Do v y ph n m m SAP2 000 hi n nay ang ư c s d ng r ng rãi trong nghiên c u cũng như tính tốn thi t k cơng trình 2.2 Các phiên b n chính c a SAP2 000 SAP2 000 V7.42 có các phiên b n sau: + Phiên b n phi tuy n (Nonlinear Version) có kh năng phân tích các bài tốn tĩnh, ng l c h c, phi tuy... binh.lv@ou.edu.vn Define → Frame section… Define → Shell section… Define → Nllink properties… Analyze → Run… Display → Show… Design → Steel/concrete… 23 SAP2 000 3 Phân tích k t c u v i SAP2 000 3.1 Bài th c hành s 1 - H dàn 3.1.1 Các quy ư c cơ b n SAP2 000 s d ng ma tr n c ng c a ph n t thanh ch u l c t ng qt (frame element) cho các k t c u d ng thanh i v i thanh dàn, do ch có thành ph n l c d c xu t... tin d ng JOB lưu d li u c a SAP2 000 dư i d ng nh phân Các t p tin DXF lưu d li u mơ hình k t c u d ng c a AUTOCAD SAP2 000 h tr mơi trư ng làm vi c tương t như m t ph n m m CAD Tồn b q trình xây d ng mơ hình ư c th c hi n b ng các i tư ng i m, ư ng th ng, tam giác… Sau khi các i tư ng này ư c gán các c trưng cơ lý riêng thì chúng tr thành các ph n t c a k t c u1 1 i v i SAP9 0 tr v trư c, ngư i dùng... i t o ra các lo i nút, ph n t … sau ó n i chúng l i v i nhau thành mơ hình k t c u Vi c làm này gây t n kém nhi u th i gian khai báo d li u nh p vào Email: binh.lv@ou.edu.vn 22 SAP2 000 2.6 Trình t phân tích k t c u b ng SAP2 000 Khi th c hi n phân tích m t bài tốn k t c u, ngư i dùng thư ng th c hi n theo trình t các bư c sau ây: Dùng các cơng c xây d ng hình h c ho c l y t thư vi n k t c u m u (Templates)... 12  1   q ' 2  168 EJ  3  K t qu chính là chuy n v xoay t i nút 1 và nút 2 Bư c 5: Tính tốn n i l c Xác nh mơmen trong ph n t Chú ý n góc nghiêng α c a m i ph n t Email: binh.lv@ou.edu.vn 19 SAP2 000 M1  EJ  6a 0 − 4a 2  = 3 2 M 2  (1) a − 6a 0 2a 0 0     − 6a 0 − 2a 2  1 qa 3 − 5 qa 2 7  ×  =   2  6a 0 4a  168 EJ  0  84 1  0   3    M1  EJ 0 − 6a − 4a . SAP2 000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 1 1 Đại cương về phương pháp phần tử hữu hạn 1.1 được rời rạc hóa thành các phần tử. Hình H-1.2 – Mô hình phần tử hữu hạn của hệ dàn không gian SAP2 000 Email: binh.lv@ou.edu.vn 2 + Nút (node hay joint) là các điểm định trước trên biên. dùng rộng rãi hơn cả. Hai mô hình còn lại chỉ sử dụng hiệu quả trong một số bài toán. Phần mềm SAP2 000 sử dụng mô hình tương thích để phân tích kết cấu. 1.2. Hàm xấp xỉ 1.2.1. Lựa chọn hàm