Đang tải... (xem toàn văn)
TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2001–2014) MÔN GIẢI TÍCH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ Giai đoạn 2001 – 2014 Môn Giải tích Biên soạn L A T E X Mai Mẫn Tiệp Email maimantiep@gmail.com Homepage maimantiep.wordpress.com Lưu hành nội bộ Cần Thơ, 2014 TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2001–2014) MÔN GIẢI TÍCH L A T E X by Mai Mẫn Tiệp ∗ Ngày 13 tháng 5 năm 2014 Lưu ý a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút. b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào. c) Nếu đề thi có hai phần Giải tích cơ sở (Giải tích cổ điển) và Giải tích hàm (Giải tích hiện đại) thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thi riêng. d) Câu tô màu đỏ có thể đánh máy không chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất mờ. e) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học Cần Thơ mà tác giả chưa cập nhật, xin liên hệ email maimantiep@gmail.com. f) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn L A T E X của ebook này, nhưng phải ghi rõ đội ngũ thực hiện. Tài liệu [1] Nguyễn Chí Phương, Blog cùng Phương giải toán: nguyenchiphuong.wordpress.com [2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ: gs.ctu.edu.vn ∗ Email: maimantiep@gmail.com 2 1 Giải tích, năm 2001 Câu 1 Cho hàm u(x , y ) = lnsin x y , với x (t ) = 3t 2 , y (t ) = t 2 + 1. Tìm du dt . Câu 2 Tính cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = y 3 −x 2 −2x y −x −2y. Câu 3 Tính I = ˆ AB (x 2 + y 2 )dl , với AB là 1 4 cung đường tròn tâm O , bán kính R nằm ở góc vuông thứ nhất. Câu 4 Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi ∞ n=1 (n + 1)x 2n (2n + 1) . Câu 5 Cho T f = ˆ 1 −1 t |t | f (t )dt , ∀ f ∈C [−1;1] . Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ C [−1;1] vào . Tìm T . Câu 6 Cho D = (x ; y ; z ): x 2 + y 2 + z 2 + x y + y z + z x ≤1 . Chứng minh rằng D compăc trong 3 . —————HẾT————— 3 2 Giải tích, năm 2002 Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của f (x , y ) = y 2 x + 2x 2 −4x y + 5x . Câu 2 Tính I = ¨ D (x + 2y )(y −x ) 2 dx dy, biết rằng D là miền giới hạn bởi các đường y = x + 1, y = x + 4, x = −2y, x = −2y + 4. Câu 3 Tính I = ˆ C (y + 2x e y )dx + (x + x 2 e y )dy, với C là đường cong nối từ (1;0) tới (2;ln2). Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y −5y + 4y = e x . Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất y ∈C [0;1] : y (t ) = ˆ t 0 y (x ) cos(t − x ) 2 dx . Câu 6 Chứng minh rằng tập hợp A compăc trong 2 với A = (x ; y ): x 2 + 3 2 x y + y 2 ≤1 . —————HẾT————— 4 3 Giải tích, năm 2003 Câu 1 . • Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f : D ⊂ n →, trong đó D là tập đóng giới nội. • Áp dụng với f (x , y , z) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng. Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ n=1 (2x + 1) n 2n.3 n . Câu 3 Tính I = ¨ D x 2 + y 2 dx dy, với D = (x ; y ): x 2 + y 2 ≤2y . Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y −6y + 9y = 3x 2 −1. Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co rằng phương trình y (t ) = ˆ 1 0 ds 1 + ( t − y (s )) 2 có nghiệm duy nhất y ∈C [0;1] . Câu 6 Cho toán tử T : C [−1;3] → với T f = ˆ 3 −1 x (x −2)f (x ) dx , ∀ f ∈C [−1;3] . a) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục. b) Tính T . Câu 7 Trên không gian C [a ,b ] ,a < b đặt f 1 = ˆ b a f (t ) dt , f ∈C [a ,b ] . a) Chứng minh rằng . 1 là một chuẩn. b) Chứng mình rằng C [a ,b ] với chuẩn . 1 là không đầy đủ. —————HẾT————— 5 4 Giải tích, năm 2004 Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = (x 2 + y 2 )e −(x 2 +y 2 ) −(x 2 + y 2 ). Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L I = ˛ L x 2 y 2 dx + y x 3 dy, với L tạo bởi x = 0, y = x , y = x −2. Câu 3 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương ∞ n=1 a n hội tụ thì lim n→∞ na n = 0. Câu 4 Viết nghiệm của phương trình vi phân y −4y + 3y = x 2 + 1 thỏa mãn điều kiện ban đầu y (0) = 2, y (0) = 10. Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A = f ∈C [0;1] : f ≤5 và ˆ 1 0 f (x ) dx ≥2 là một tập mở trong C [0;1] , với f = max 0≤t ≤1 f (t ) . Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn x (t ) = 3t + 2 ˆ 2 0 arctan(t − x (s )) ds có nghiệm x ∈C [0;2] . —————HẾT————— 6 5 Giải tích, năm 2005, đợt 1 Câu 1 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theo p,q +∞ n=1 n p n q + sin 2 n . Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L I = ˛ L x y 2 dx + 3y x 2 dy. Câu 3 Tính gần đúng giá trị của biểu thức bằng phép tính vi phân A = arcsin0,51 + 3 8,25. Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi ∞ n=1 (−1) n−1 (x −5) n n . Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 3y + y −4y = e 2x (x −1). Câu 6 Cho A = (x ; y ; z ) ∈ 3 : x ≥0, x + y + z < 1 . Chứng minh rằng A không mở, không đóng trong 3 . Câu 7 Đặt f (x ) = x 3 −2 và T x = x − f (x ) f (x ) . a) Chứng minh rằng có tập hợp D ⊂ (0;+∞) sao cho D là tập đóng và T (D ) ⊂ D . b) Chứng minh rằng T có điểm bất động thỏa mãn phương trình x 3 −2 = 0. Câu 8 Chứng minh rằng tồn tại hàm f ∈C [0;1] thỏa mãn f (t ) = 1 2 ˆ 1 0 f (s )arctan[2(t −s)] ds . —————HẾT————— 7 6 Giải tích, năm 2005, đợt 2 Câu 1 . a) Tính tích phân đường theo chiều dương của L I = ˛ L e x y (1 + x y )dx + x 2 dy , trong đó L là nửa đường elip x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 với y ≤0, a > 0, b > 0. b) Cho D = (x ; y ): x 2 + y 2 ≤2y , tính tích phân kép I = ¨ D (x + y ) 2 dx dy. Câu 2 . a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân A = 4 16,16 + sin(ln1,273). b) Tính khoảng cách từ điểm A(3; 0) đến đường cong y = x 2 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến. Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi +∞ n=1 (−1) n (2x −4) n n.2 n . Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 7y + y −3y = x 2 + 3x −2. Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp sau mở trong C [0;2] B = f ∈C [0;2] : f (x ) < 6, ∀ x ∈[0;2] ∩ f ∈C [0;2] : ˆ 1 0 f (x ) dx < 5 . Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈C [0;2] f (t ) = 30t + 3 + 5 ˆ 2 0 e −[ t −f (s )] 2 ds. —————HẾT————— 8 7 Giải tích, không rõ năm A ( Giải tích 2006) Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân K = ˚ V x y z dx dy dz , với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0 ≤ z ≤ x y . Câu 2 (2,0 điểm). Tính tích phân đường I = ˆ L x y dl , với L là đường giao tuyến của các mặt z = 2−x 2 −2y 2 và z = x 2 từ điểm A(0;1;0) đến B (1;0;1). Câu 3 (1,5 điểm). Tìm cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = 2x 3 + 12x y −6y 2 + 3. Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y + 4y + 4y = 2e 2x (x 2 + 2x + 10). Câu 5 (1,5 điểm). Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C [−3;3] , với A = f ∈C [−3;3] : f (x ) < 5, ∀ x ∈[0;1] ∩ f ∈C [−3;3] : ˆ 1 0 f (x ) dx < 5 . Câu 6 (1,5 điểm). Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình f (t ) = 4t + 3 + 5sin[f (t )] 2 ; f (0) = 1 có nghiệm f ∈C [0;k] thỏa mãn f ∈C [0;k] . Câu 7 (1,0 điểm). Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh ρ(x , y ) = d (x , y ) 1 + d (x , y ) , ∀ x, y ∈ E cũng là một khoảng cách trong E . —————HẾT————— 9 8 Giải tích, năm 2006 Câu 1 Tính tích phân I = ˆ 2 0 ˆ 4−y 2 0 (4 − x 2 ) 3 2 dx dy. Câu 2 Tính tích phân đường I = ˆ L x y dl , trong đó L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 − x 2 −2y 2 và z = x 2 từ điểm A(0;1; 0) đến B (1;0; 1). Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = sin x + cos y + cos(x + y ), trên miền D = (x ; y ): 0 ≤ x ≤ 3π 2 ,0 ≤ y ≤ 3π 2 . Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau a) y + 4y + 4y = 2e 2x (x 2 + 2x + 10), b) (x 2 + y 2 + x )dx + y dy = 0. Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C [0;3] . với A = f ∈C [0;3] : f (x ) < 7, ∀ x ∈[0;3] ∩ f ∈C [0;3] : ˆ 2 1 f (x ) dx < 5 . Câu 6 Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình f (t ) = 4t + 3 + 5cos[f (t )] 2 ; f (0) = 1 có nghiệm f ∈C [0;k] thỏa mãn f ∈C [0;k] . Câu 7 Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh rằng với x , y ∈ E thì ρ(x , y ) = d (x , y ) 1 + d (x , y ) cũng là một khoảng cách trong E . —————HẾT————— 10 [...]... —————HẾT————— 14 13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01 I Giải tích cơ sở Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y − x y và tập D = (x ; y ) ∈ 2 : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 2y − y 2 a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f (x , y ) trên miền D , ¨ b) Tính tích phân I = f (x , y ) dx dy D Câu 2 Tính tích phân đường (3;2) ˆ e x −y (1 + x + y ) dx + (1 − x − y ) dy I= (−2;1) Câu 3 y2 a) Giải phương trình... 17 16 Giải tích, năm 2013, đợt 2, đề số 03 I Giải tích cơ sở Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f (x , y ) = 2x 2 − y 2 − y trên miền D = (x ; y ): x 2 + y 2 ≤ 1 Câu 2 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt z = 5 − x 2 − y 2 và z = 4 x 2 + y 2 Câu 3 Tính tích phân x 2 + y 2 dx + y x y + ln x + x2 + y 2 dy , C trong đó C là đường tròn (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 Câu 4 Giải phương... và xác định chuẩn của A —————HẾT————— 15 14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 I Giải tích cơ sở Câu 1 Tìm cực trị của hàm ẩn z = z (x , y ), z > 0, xác định bởi phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 11 = 0 Câu 2 Tính thể tích vật thể nằm trên mặt phẳng O x y và giới hạn bởi mặt paraboloid z = x 2 + y 2 và mặt trụ x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) Câu 3 Tính tích phân mặt sau " I= x z 2 dy dz + (x 2... khi và chỉ khi A biến dãy Cauchy thành dãy Cauchy —————HẾT————— 18 17 Giải tích chuyên ngành, năm 2014, đợt 1, đề số 03 I Giải tích cơ sở Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm z = x 2 + y 2 trên hình tròn 2 D= 2 x − 2 + y − 2 ≤9 Câu 2 Tính tích phân ¨ I= x+ y dx dy , D 2 2 trong đó D là hình tròn x + y ≤ 1 Câu 3 Tính tích phân đường sau ˆ 2(x 2 + y 2 ) dx + (x + y )2 dy , AB C A trong... định chuẩn của A —————HẾT————— 19 18 Giải tích cơ sở, năm 2014, đợt 1, đề số 01 I Giải tích cổ điển Câu 1 Tìm m để hàm số sau đây liên tục trên toàn miền xác định của nó 1 + cos x ,nếu x = π, f (x ) = (x − π)2 m ,nếu x = π Câu 2 Tìm cực trị của hàm số sau f (x , y ) = x 3 + y 3 − 3x y + 10 Câu 3 Giải phương trình vi phân y − 7y + 6y = 74 sin x ¨ Câu 4 Tính tích phân sau (x +y +z ) dS , với S =... 2 (a > 0) và z = 0 Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S Câu 4 a) Giải phương trình vi phân y+ 2 3 dx + x − 2 dy = 0, y (1) = 1 x2 y b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình y +3y +2y = x (e −x − e −2x ) II Giải tích hàm Câu 5 Cho không gian metric (X , d ), (Y , ρ) và ánh xạ f : X → Y Trên X × Y ta xét metric d ∗ (x , y ), (x , y ) = d (x , x ) + ρ(y , y ), và xét tập hợp G = (x , y ), (x... định chuẩn của A —————HẾT————— 16 15 Giải tích, năm 2013, đợt 1, đề số 02 I Giải tích cơ sở Câu 1 Cho hàm số f (x , y ) = x e y − y e x và điểm A(0; 1) a) Tính đạo hàm theo hướng Di ={0;1} f (A) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số F (x , y ) = Du ={x ,y } f (A), với x 2 + y 2 = 1 Câu 2 Cho D = (x ; y ): 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 Tính ¨ 1 y− I= dx dy x D Câu 3 Tính tích phân đường ˛ dy arctan (O m An O... trình ˆ 1 t −[t − f (s )]3 f (t ) = e ds 2 0 có nghiệm duy nhất f ∈ C[0;1] —————HẾT————— 12 11 Giải tích, không rõ năm B ( Giải tích 2010) Câu 1 (2,0 điểm) Cho miền D giới hạn bởi y = x 3 , y = x ≥ 0 Hãy • Biểu diễn miền D , • Tính diện tích của D , ¨ • Tính I = (x 2 + y 2 ) dx dy D Câu 2 (1,5 điểm) Tính tích phân đường ˆ I = (4x 2 − 4y 2 ) dx + (ln y − 8x y ) dy , C với C = C1 ∪ C2 , mà C1 = (x ;...9 Giải tích, năm 2007 Câu 1 (2,5 điểm) Tích phân bội Cho một miền V giới nội bởi các mặt z = 0, y = z , y = x 2 và y = 1 Hãy a) Biểu diễn miền V , b) Tính thể tích khối V , ˚ c) Tính tích phân bội ba I = (x + y ) dx dy dz V Câu 2 (1,0 điểm) Tính tích phân đường ˆ I = (2x 2 − 2y 2 ) dx + (ln y − 4x y ) dy , L với L là đường... ánh xạ tuyến tính liên tục trên C[0,1] Tìm chuẩn của nó —————HẾT————— 11 10 Giải tích, năm 2009, đề số 02 Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kì ˆ I = (x 2 + y 2 )(x dx + y dy ) C Câu 2 (2,0 điểm) Cho miền D giới nội bởi (x 2 + y 2 )2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ) Hãy • Tính diện tích của miền D , ¨ • Tính tích phân I = x y dx dy D Câu 3 (1,5 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số . y (1 + x y )dx + x 2 dy , trong đó L là nửa đường elip x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 với y ≤0, a > 0, b > 0. b) Cho D = (x ; y ): x 2 + y 2 ≤2y , tính tích phân kép I = ¨ D (x + y ) 2 dx dy. Câu. > 0). Câu 3 Tính tích phân mặt sau I = " S x z 2 dy dz + (x 2 y −z 3 )dz dx + (2x y + y 2 z )dx dy, với S là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a > . ) < 5, ∀ x ∈[0;1] ∩ f ∈C [−3;3] : ˆ 1 0 f (x ) dx < 5 . Câu 6 (1,5 điểm). Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình f (t ) = 4t + 3 + 5sin[f (t )] 2 ; f (0) = 1 có nghiệm f ∈C [0;k] thỏa