Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 6 Lý thuyết phi mô men
Chương LÝ THUYẾT PHI MÔ MEN 6.1 KHÁI NIỆM CHUNG Trong thực tế kỹ thuật thường gặp trường hợp vỏ, nhóm lực mơ men uốn, mơ men xoắn lực cắt nhỏ đến mức bỏ qua so với nhóm lực màng Khi đó, xem vỏ tồn nhóm lực màng trạng thái ứng suất, biến dạng trạng thái phi mô men Trong trạng thái này, ứng suất phân bố theo chiều dày vỏ 6.1.1 Trạng thái nội lực, biến dạng Trong trạng thái phi mô men, nội lực vỏ tồn nhóm lực màng N1 , N S ≠ M = M = H = Q1 = Q2 = (6.1) Biến dạng vỏ tồn mặt cong: ε1 , ε γ ≠ χ1 = χ2 = χ = (6.2) 6.1.2 Điều kiện tồn trạng thái phi mô men Trong kết cấu vỏ, trạng thái cân phi mô men tồn phụ thuộc vào tải trọng tác dụng lên vỏ, vào cấu tạo liên kết vỏ liên kết tựa Dưới nêu số nguyên tắc để đảm bảo tác dụng tải trọng, vỏ xuất nhóm lực màng, hình 6-1: Hình học vỏ trơn, khơng gãy góc, độ cong chiều dày vỏ thay đổi liên tục đặn; Tải trọng tác dụng lên vỏ tải trọng phân bố liên tục đặn, không chịu lực mơ men tập trung; Tại vị trí gãy khúc, liên kết vỏ cần gia cường vành tăng cứng để ngăn cản biến dạng lớn ngăn cản tập trung ứng suất, hình 6-1a; Liên kết nối đất phải đảm bảo phản lực theo phương tiếp tuyến với mặt vỏ, hình 6-1b; Liên kết biên vỏ cho phép dịch chuyển tự theo phương pháp tuyến với mặt vỏ, hình 6-1c Hình 6-1a 91 Hình 6-1b Hình 6-1c 6.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA LÝ THUYẾT VỎ PHI MÔ MEN 6.2.1 Phương trình cân Từ hệ phương trình cân lý thuyết mô men tổng quát (5.36), ý đến (6.1), hệ phương trình cân theo lý thuyết phi mơ men có dạng: k1 N1 + k N − p3 = (6.3a) ∂ ( BN1 ) ∂ ( A S ) ∂B + − N2 + ABp1 = ∂α A ∂β ∂α (6.3b) ∂ ( AN ) ∂ ( B S ) ∂A + − N1 + ABp2 = ∂β B ∂α ∂β (6.3c) 2 đó: N1 , N - lực dọc phân bố theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ α β ; S - lực trượt; p1 , p2 - tải trọng phân bố theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ α β ; p3 - tải trọng phân bố theo phương pháp tuyến; k1 , k2 - độ cong đường cong tọa độ α β Hệ phương trình cân theo lý thuyết vỏ phi mơ men có 03 phương trình, có 02 phương trình đạo hàm riêng 01 phương trình đại số 6.2.2 Phương trình hình học vật lý Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị quan hệ biến dạng - nội lực vỏ, ý đến (6.1) (6.2), phương trình hình học phương trình vật lý suy 92 từ (5.6) ÷ (5.11) (5.39) có dạng: ε1 = ∂u v ∂A w + + = ( N1 − µN ) A ∂α AB ∂β r1 Eδ (6.4a) ε2 = ∂v u ∂B w + + = ( N − µN1 ) B ∂β AB ∂α r2 E δ (6.4b) γ= B ∂ v A ∂ u S ÷+ ÷= A ∂α B B ∂β A Gδ (6.4c) 6.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT PHI MƠ MEN ĐỐI VỚI VỎ XOAY Khảo sát vỏ xoay hệ tọa độ cầu, hình 4-6 Chọn tọa độ cong α = ϑ , β = ϕ (góc theo đường cong kinh tuyến đường cong vĩ tuyến) Từ hình 4-6: dS1 = dSϑ = Ad α = r1d ϑ = rϑd ϑ rút ra: A = rϑ (6.5a) dS = dSϕ = Bd β = rd ϕ = r2 sinϑd ϕ = rϕ sinϑd ϕ rút ra: B = r = rϕ sinϑ (6.5b) đó: r1 = r1 ( ϑ ) = rϑ bán kính cong đường cong kinh tuyến; r2 = r2 ( ϑ) = rϕ bán kính cong đường cong vĩ tuyến; r = r ( ϑ) - bán kính vịng trịn vĩ tuyến; Do r1 = r1 ( ϑ ) , r2 = r2 ( ϑ ) nên tham số Lame phụ thuộc vào biến ϑ , nghĩa là: A = A ( ϑ) , B = B ( ϑ) Như vậy, tham số hình học vỏ xoay không phụ thuộc biến tọa độ cong ϕ theo phương vịng 6.3.1 Phương trình cân Đối với vỏ xoay, ký hiệu thành phần nội lực, tải trọng hình 6-2: N1 = N ϑ N = N ϕ S = Sϑ = Sϕ r1 = rϑ r2 = rϕ p1 = pϑ p2 = pϕ p3 = pr Thay tham số Lame A , B vào hệ phương trình cân lý thuyết vỏ phi mơ men (6.3), nhận hệ phương trình cân vỏ xoay: Nϕ rϕ + Nϑ = pr rϑ ∂ ( N ϑrϕ sinϑ) + ∂S rϑ − N ϕrϑcosϑ = − pϑrϕrϑsinϑ ∂ϑ ∂ϕ ∂N ϕ ∂ϕ rϑ + ∂ ( Srϕ sinϑ) + Srϑcosϑ = − pϕrϕrϑsinϑ ∂ϑ (6.6a) (6.6b) (6.6c) 93 Hình 6-2 Nội lực phân tố vỏ 6.3.2 Phương trình hình học vật lý Thay tham số Lame A , B vào phương trình hình học vật lý (6.4) nhận phương trình hình học phương trình vật lý vỏ xoay: εϑ = ∂u w + = ( N ϑ − µNϕ ) rϑ ∂ϑ rϑ E δ (6.7a) εϕ = ∂v u w + cosϑ + = ( Nϕ − µNϑ ) r ∂ϕ r rϕ Eδ (6.7b) γ= ∂ v ∂u u S ÷+ ÷= rϑ ∂ϑ r r ∂ϕ A Gδ (6.7c) 6.4 TÍNH VỎ XOAY CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG TRỤC 6.4.1 Các dạng tải trọng đối xứng trục Các dạng tải trọng đối xứng trục thường gặp thực tế tính tốn thiết kế: Áp lực pháp tuyến tác dụng lên vỏ bình chứa khí pϑ = pϕ = pr = const , N / m (6.8) Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên vỏ bình chứa chất lỏng pϑ = pϕ = pr = γ.h N / m (6.9) đó: γ - trọng lượng riêng chất lỏng, N / m3 h - chiều cao chất lỏng bình chứa, [ m] Tải trọng thân Ký hiệu pV tải trọng thân kết cấu vỏ đơn vị diện tích, 94 N / m Tải trọng pV phân tích thành thành phần theo phương pháp tuyến tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến, hình 6-3: pr = − pV cosϑ (6.10a) pϑ = pV sinϑ (6.10b) pϕ = (6.10c) Hình 6-3 Tải trọng thân Hình 6-4 Tải trọng khơng phụ thuộc hình dạng vỏ Tải trọng phân bố theo phương thẳng đứng không phụ thuộc hình dạng vỏ, hình 6-4 Ký hiệu pS , N / m tải trọng phân bố đơn vị diện tích theo phương thẳng đứng khơng phụ thuộc hình dạng vỏ Tải trọng pS phân tích thành thành phần theo phương pháp tuyến tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến: pr = − pS cos ϑ (6.11a) pϑ = pS sinϑcosϑ (6.11b) pϕ = (6.11c) Như vậy, vỏ chịu tải trọng đối xứng trục, thành phần tải trọng tiếp tuyến với đường cong vĩ tuyến pϕ = , thành phần tải trọng pháp tuyến pr thành phần tải trọng theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến pϑ không phụ thuộc biến tọa độ cong ϕ 6.4.2 Xác định nội lực vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục Trong trường hợp vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, rút nhận xét: - Lực trượt S = - Đạo hàm theo biến ϕ không Nội lực N ϑ , N ϕ không thay đổi theo phương vịng, nghĩa khơng phụ thuộc biến tọa độ cong ϕ ; - Phương trình (6.6c) hệ phương trình cân đồng khơng 95 Từ nhận xét trên, hệ 02 phương trình cân vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục có dạng (6.12) (6.13): Nϑ Nϕ + = pr rϑ rϕ (6.12) d ( rN ϑ ) − N ϕ rϑcosϑ = − pϑrrϑ dϑ (6.13) Từ (6.12) rút ra: N N ϕ = pr − ϑ ÷rϕ rϑ (6.14) Thay (6.14) vào (6.13): r d ( N ϑr ) = rϑcosϑ pr rϕ − ϕ N ϑ ÷− rrϑ pϑ dϑ rϑ r Chú ý rϕ = nhân hai vế (6.15) với sinϑ nhận được: sinϑ d sinϑ ( N ϑr ) + N ϑrcosϑ = rrϑ ( pr cosϑ − pϑ sinϑ) dϑ d Để xác định sinϑ ( N ϑr ) lấy đạo hàm tích: dϑ d d ( N ϑrsinϑ) = sinϑ ( N ϑr ) + N ϑrcosϑ dϑ dϑ (6.15) (6.16) rút ra: sinϑ d d ( N ϑr ) = ( N ϑrsinϑ) − N ϑrcosϑ dϑ dϑ (6.17) Thay (6.17) vào (6.16): d ( N ϑrsinϑ) = rrϑ ( pr cosϑ − pϑ sinϑ ) dϑ lấy tích phân từ ϑ0 → ϑ , hình 6-5, nhận được: N ϑ r.sinϑ = ϑ ∫ rr ( p cosϑ − p sinϑ) d ϑ + C ϑ r ϑ ϑo Nhân hai vế với 2π N ϑ sinϑ.2πr = ϑ ∫ ( p cosϑ − p sinϑ) 2πr.r d ϑ + 2πC r ϑ ϑo Từ (6.18) hình 6-5 có nhận xét: 96 ϑ (6.18) - Vế trái (6.18): N ϑ sinϑ.2πr hợp lực N ϑ lên phương thẳng đứng tiết diện khảo sát ϑ ; - Vế phải (6.18) hình chiếu lên phương thẳng đứng tải trọng tác dụng vỏ, đó: ( pr cosϑ − pϑ sinϑ) thành phần thẳng đứng tải trọng pϑ , pr ; 2πr.rϑ d ϑ = 2πr.dSϑ diện tích vành trịn phân tố tiết diện khảo sát ϑ có chiều cao phân tố dSϑ Do đó, biểu thức tích phân hợp lực tải trọng theo phương thẳng đứng tác dụng lên vỏ từ ϑ0 → ϑ ; Thành phần 2πC hợp lực lên phương thẳng đứng tải trọng q tác dụng biên ϑo , tương ứng bán kính b Hình 6-5 Vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục Biểu thức (6.18) biên vỏ hở ( ϑ0 ≠ ) dạng rút gọn: N ϑ sinϑ.2πr = Qtd = Qtd ,1 + Qtd ,2 (6.19) đó: Qtd ,1 = ϑ ∫ ( p cosϑ − p sinϑ) 2πr.r d ϑ ϑ r ϑ (6.20) ϑo Qtd ,2 = 2πC = 2πbq (6.21) Nếu biên kín ϑ0 = → Qtd ,2 = Từ (6.19): Nϑ = Qtd Qtd = 2πrsinϑ 2πrϕ sin 2ϑ (6.22) Nội lực N ϕ xác định theo (6.14) ( Nếu xét hệ tọa độ trụ với tọa độ cong α = z , β = ϕ A = + ( r ') ) 1/ 97 B = r ( z ) , tiến hành tương tự nhận được: Nϑ ( z ) = − Nϕ ( z ) = − ( + ( r ') ) 1/ r r.r '' + ( r ') z ∫ r ( pϑ − r ' pr ) dz + C zo ( N ϑ + r + ( r ') ) 1/ pr (6.23) (6.24) đó: r = r ( z ) - phương trình đường cong kinh tuyến; zo - tọa độ biên vỏ; r ' , r '' - đạo hàm bậc bậc r ; C - số tích phân xác định biên zo có tải trọng tác dụng biên, khơng có tải trọng tác dụng biên C = Hình 6-6 Vỏ cầu 6.4.3 Tính vỏ cầu chịu tải trọng đối xứng trục Để xác định tổng tải trọng Qtd lên phương thẳng đứng tải trọng thân trọng lượng chất lỏng, trước hết cần xác định diện tích thể tích vỏ cầu Thể tích V diện tích U chỏm cầu, hình 6-6, xác định theo công thức: V = πh ( 3r0 − h ) U = 2πr0 h = π ( r + h ) (6.25) (6.26) Với toàn vỏ cầu: πr0 (6.27) U = 4πr02 Hình 6-7 Vỏ chóp cầu (6.28) V= Dưới đây, xác định lực màng vỏ cầu số trường hợp: Vỏ cầu chịu tải trọng thân Ký hiệu pV tải trọng thân kết cấu vỏ đơn vị diện tích, N / m tổng tải trọng Qtd chỏm cầu, hình 6-7, xác định công thức: Qtd = − pV U = −2πpV r0 h = −2πpV r02 ( − cosϑ ) thay vào (6.22) ý r = r0 sinϑ : 98 (6.29) 2πpV r02 ( − cosϑ) Qtd p r (6.30) =− =− V 2πrsinϑ 2πrsinϑ + cosϑ Từ (6.14), lực dọc N ϕ theo phương tiếp tuyến với đường cong vĩ tuyến Nϑ = xác định công thức: N ϕ = − pV r0 cosϑ − ÷ + cosϑ (6.31) Nhận xét: - Từ (6.30), lực dọc N ϑ theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến luôn lực nén với giá trị ϑ , tăng từ đỉnh vòm đến đáy, trừ ϑ = 1800 N ϑ = - Từ (6.31), lực dọc N ϕ mang dấu (-) chịu nén mang dấu (+) chịu kéo Khi ϑ thay đổi từ ϑ = 00 đến ϑ = 510 49' , lực dọc N ϕ lực nén ϑ > 510 49' lực dọc N ϕ lực kéo Nhận xét cần ý đến vỏ chế tạo vật liệu bê tơng - Khi ϑ = 900 N ϑ = − pV r0 N ϕ = pV r0 Tại đỉnh vòm cầu ϑ = Nϑ = Nϕ = − nên pV r0 2 Vỏ cầu chứa chất lỏng Xét vỏ cầu chứa chất lỏng đặt vành tựa ϑ = ϑ0 , hình 6-8 Hình 6-8 a Xét vỏ cầu phía vành tựa ϑ < ϑ0 Trước hết cần xác định tổng tải trọng Qtd từ ϑ = → ϑ theo phương thẳng đứng Tải trọng pháp tuyến chất lỏng gây ra, hình 6-8: pr = γh = γr0 ( − cosϑ ) (6.32) Từ (6.20), ϑ Qtd = ∫ γr0 ( − cosϑ ) cosϑ2πr0 sinϑr0 d ϑ = 99 ϑ 1 = 2πγr03 ∫ ( − cosϑ ) cosϑsinϑd ϑ = πγr03 − cos ϑ 1 − cosϑ ÷ 3 (6.33) thay vào (6.22): Qtd γr02 2cos ϑ Nϑ = = 1 − ÷ 2πrsinϑ + cosϑ (6.34) thay pr N ϑ vào (6.14) Nϕ = γr02 2cos ϑ − 6cosϑ + ÷ + cosϑ (6.35) b Xét vỏ cầu phía vành tựa ϑ ≥ ϑ0 Tổng tải trọng Qtd , hình 6-9, xác định công thức: Qtd = Qtd ,0 + R0 (6.36) đó: Qtd ,0 - tổng tải trọng từ ϑ = → ϑ xác định theo (6.33); R0 - tổng phản lực liên kết tựa, trọng lượng chất lỏng chứa vỏ R0 = Hình 6-9 γπr03 (6.37) Thay (6.33) (6.37) vào (6.36): 1 Qtd = Qtd ,0 + R0 = πr03 γ − cos ϑ 1 − cosϑ ÷ + πr03 γ 3 (6.38) Thay (6.38) vào (6.22): Nϑ = Qtd γr 2cos ϑ = 5− ÷ 2πr0 sinϑ − cosϑ (6.39) Từ (6.14), N ϕ = γr02 ( − cosϑ ) − N ϑ = γr02 2cos ϑ − 6cosϑ − ÷ − cosϑ (6.40) Lực dọc N ϑ có bước nhảy ∆N ϑ ϑ = ϑ0 Biểu thức ∆N ϑ nhận trực tiếp từ (6.39) (6.34) ϑ = ϑ0 từ (6.22): ∆N ϑ = 100 Hình 6-10 R0 , thay R0 từ (6.37) r = r0 sinϑ0 , nhận được: 2πrsinϑ0 ∞ ∞ n =1 n =0 pϕ = ∑ pϕn sinnϕ + ∑ pϕn cosnϕ (6.61c) prn , pϑn , pϕn prn , pϑn , pϕn hàm biến ϑ ; tổng thứ biểu diễn tải trọng đối xứng, tổng thứ hai biểu diễn tải trọng phản đối xứng qua mặt phẳng kinh tuyến ϕ = , hình 6-16 Tương tự cho nội lực: ∞ ∞ n =0 n =1 ∞ ∞ n =0 n =1 N ϑ = ∑ N ϑn cosnϕ + ∑ N ϑn sinnϕ (6.62a) N ϕ = ∑ N ϕn cosnϕ + ∑ N ϕn sinnϕ (6.62b) ∞ ∞ n =1 n=0 S = ∑ Sn sinnϕ + ∑ S n cosnϕ (6.62c) Thay (6.61), (6.62) vào (6.60) nhận hệ phương trình cân vi phân thường, ví dụ cho trường hợp tải trọng đối xứng với thành phần thứ n : Hình 6-16 r S dN ϑn rϕ + 1 + ÷N ϑn cotg ϑ + n ϕ n = rϕ ( − pϑn + prn cotg ϑ ) d ϑ rϑ rϑ sinϑ (6.63a) r dS n N n + ϕ Sn cotg ϑ + n ϑn = rϕ − pϕn + prn ÷ dϑ rϑ sinϑ sinϑ (6.63b) Trường hợp tải trọng phản đối xứng, hệ phương trình cân có dạng tương tự (6.63) với việc thay tải trọng, nội lực thành phần phản đối xứng, ví dụ prn → prn , N ϑn → N ϑn , Việc giải (6.63) vỏ cầu, vỏ trụ vỏ nón dễ dàng Dưới nghiên cứu tính vỏ xoay với 01 thành phần chuỗi tải trọng Nghiệm toán xác định phương pháp chồng nghiệm 6.5.2 Trạng thái màng vỏ cầu chịu tải trọng tổng quát Xét trường hợp tải trọng đối xứng, thay rϑ = rϕ = r0 vào (6.63), sau biến đổi nhận được: dN ϑn n + N ϑn cotg ϑ + S n = r0 ( − pϑn + prn cotg ϑ ) dϑ sinϑ dS n n n + Sn cotg ϑ + N ϑn = r0 − pϕn + prn ÷ dϑ sinϑ sinϑ Đổi biến đặt: U n = N ϑn + S n 104 Vn = N ϑn − S n (6.64a) (6.64b) (6.65) thay vào (6.64) nhận phương trình độc lập với U n Vn : dU n n n + cosϑ + 2cotg ϑ + prn ÷ = ÷U n + r0 pϑn + pϕn − dϑ sinϑ sinϑ (6.66a) dVn n n − cosϑ + 2cotg ϑ − prn ÷ = ÷Vn + 2r0 pϑn − pϕn + dϑ sinϑ sinϑ (6.66b) Cả phương trình (6.66) có dạng: y' + P ( x ) y + Q ( x ) = (6.67) P ( x ) dx − P ( x ) dx y = C − ∫ Q ( x )e ∫ dx e ∫ nghiệm (6.67) có dạng: (6.68) với C số tích phân Sử dụng (6.68) cho (6.66), ví dụ cho phương trình (6.66a) so sánh với (6.67): P = 2cotg ϑ + ý là: e n n + cosϑ Q = r0 pϑn + pϕn − prn ÷ sinϑ n sinϑ dϕ ∫ sinϕ = e n lg tgϕ / = tg n ϕ 2 cotg ϕd ϕ e∫ = e 2lg sinϕ = sin 2ϕ sau biến đổi nhận được: ϑ C − r p + p − n + cosϑ p sin 2ϑtg n ϑ d ϑ Un = Un ∫ ϑn ϕn rn ÷ sin ϑ sinϑ (6.69a) ϑ C − r p − p − n − cosϑ p sin 2ϑcotg n ϑ d ϑ Vn = ∫ ϑn ϕn rn ÷ Vn sin ϑ sinϑ (6.69b) cotg n tg n đó, CUn , CVn số tích phân Từ (6.65): N ϑn = U n + Vn Sn = U n − Vn (6.70) Dưới sử dụng công thức trên, xét trường hợp vỏ cầu chịu tải trọng gió Trong trường hợp này, xem tải trọng đối xứng qua mặt phẳng kinh tuyến ϕ = , tính gần với thành phần chuỗi: pϑ = pϕ = ; pr = pr1cosϕ = − pV sinϑcosϕ (1) So sánh với (6.61): n = , prn = pr1 = − pV sinϑ (2) Tải trọng pV tích áp lực gió diện tích đón gió Thay (1) vào (6.69): 105 ϑ C − r p ( + cosϑ ) sin 2ϑtg ϑ d ϑ U1 = U1 V ∫ sin ϑ (3) ϑ C + r p ( − cosϑ ) sin ϑcotg ϑ d ϑ V1 = V ∫ V1 sin ϑ (4) cotg tg + cosϑ ϑ − cosϑ ( − cos 2ϑ) ý tg = từ (3): − cosϑ CU − r0 pV sin3ϑd ϑ U1 = + cosϑ ∫ sin ϑ Sau tích phân biến đổi: + cosϑ cos 3ϑ U1 = CU + r0 pV cosϑ − ÷ sin3ϑ (5) tiến hành tương tự: V1 = − cosϑ cos 3ϑ CV − r0 pV cosϑ − ÷ sin3ϑ (6) thay (5), (6) vào (3.70): N ϑ = N ϑ1cosϕ = U1 + V1 cosϕ = cosϕ cos 3ϑ = ( CU + CV ) + ( CU − CV ) cosϑ + 2r0 pV cosϑ cosϑ − ÷ sin3ϑ S = S1sinϕ = = (7) U1 − V1 sinϕ = sinϕ cos 3ϑ ( CU − CV ) + ( CU + CV ) cosϑ + 2r0 pV cosϑ − ÷ sin3ϑ (8) Do tải trọng phân bố liên tục có giá trị hữu hạn nên N ϑ S phải có giá trị hữu hạn tất điểm mặt vỏ, kể điểm ϑ = Do đó, từ (7), biểu thức [ ] N ϑ ϑ = phải không: cos 3ϑ ( CU + CV ) + ( CU − CV ) cosϑ + 2r0 pV cosϑ cosϑ − ÷ = ϑ=0 rút ra: CU = − r0 pV đạo hàm bậc biểu thức 106 (9) [ ]: d [ dϑ cos 3ϑ = ( CU − CV ) sinϑ − 2r0 pV sinϑ cosϑ − ÷+ cosϑsin ϑ ] với ϑ = , biểu thức không nên không xác định số tích phân Đạo hàm tiếp: d2 [ d ϑ2 ] = ( CV − CU ) cosϑ − 2r0 pV cosϑ cosϑ − cos 3ϑ 2 ÷− 2sin ϑ + 3cos ϑsin ϑ với ϑ = , nhận được: d2 [ d ϑ2 ] ϑ=0 = ( CV − CU ) − 2r0 pV 1 − rút CV − CU = 1 ÷ 3 pV r0 , thay CU theo (9), nhận được: CV = pV r0 3 (10) thay CU CV vào (7), (8): pV r0 cosϕ 2cosϑ − 3cos ϑ + cos ϑ 2 sin ϑ p r sinϕ − 3cosϑ + cos 3ϑ S =− V 2sin3ϑ Do N ϑ + N ϕ = pr r0 nên N ϕ = pr r0 − N ϑ , thay pr từ (1) nhận được: Nϑ = − (11) (12) N ϕ = − pV r0 sinϑcosϕ − N ϑ = pV r0cosϕ 2cosϑ − 3cos 2ϑ + cos 4ϑ ) − sinϑ (13) ( 2sin ϑ Tại ϑ = biểu thức xác định nội lực có dạng vơ định , sử dụng qui tắc Lopitan, nhận được: N ϑ = N ϕ = S = 6.5.3 Trạng thái màng vỏ nón chịu tải trọng tổng quát Xét vỏ nón chịu tải trọng tổng quát, hình 6-17, với thay biến ϑ → s và: rϑ → ∞ , α = ϑ = const , r = s.cosϕ , rϕ = s.cotg ϑ , rϕ d ϑ = ds Với tham số hình học vỏ nón, hệ phương trình cân theo lý thuyết phi mơ men (6.6) có dạng, [21]: N ϕ = pr scotg α (6.71a) ∂ ( N s s ) ∂S + − N ϕ + ps s = ∂s ∂ϕ cosα (6.71b) ∂ ( S s ) ∂N ϕ + + S + pϕ s = ∂s ∂ϕ cosα (6.71c) 107 Hình 6-17 Từ (6.71a) rút ra: lực màng N ϕ theo phương vòng tính trực tiếp khơng phụ thuộc N s S Nghiệm (6.71) tìm dạng chuỗi (6.62) tương ứng với tải trọng khai triển chuỗi Fourie (6.61), hệ phương trình cân (6.71) phụ thuộc biến s Lực màng N ϕ theo phương vòng tương ứng với thành phần tải trọng thứ n , từ (6.71a) có dạng: N ϕn = prn scotg α (6.72) thay (6.72) vào phương trình (6.71b), (6.71c) nhận hệ phương trình vi phân thường phụ thuộc biến s : dN sn n + N sn + S n = − psn + prn cotg α ds s s.cosα dS n n + Sn = − pϕn + prn ds s sinα (6.73a) (6.73b) Áp dụng (6.68), từ (6.73b) suy ra: Sn = e ∫ − ds s ds n ∫ 2s An − ∫ pϕn − prn ÷e ds sinα Sau tích phân Sn = s2 n An − ∫ pϕn − prn ÷s ds sinα (6.74) Tương tự cho (6.73a): 1 n N sn = Bn − ∫ S n + spsn − sprn cotg α ÷ds s cosα (6.75) Trình tự tính tốn sau: tính Sn theo (6.74), thay vào (6.75) xác định N sn Các số tích phân An , Bn xác định từ điều kiện biên Xét vỏ nón chịu tải trọng pháp tuyến (tải trọng gió) prn = − psinαcosϕ ( prn = − psinα , n = ) Từ (6.72): N ϕn = prn s.cotg α = − p.s.cosα từ (6.74), lực trượt: S n = ( (1) ) 1 A1 − p ∫ s ds = A1 − ps ÷ s s (2) thay vào (6.75): 1 p.s A1 A B 1 N sn = B1 − ∫ − + p.s.cosα ÷ds = − − s + p.s − sin α ÷ s s cosα 3cosα s cosα 108 (3) Các số tích phân A1 , B1 xác định từ điều kiện biên - Xét vỏ có liên kết hình 6-18 Lực màng N ϕ tính theo (1) theo phương vịng khơng đổi khơng phụ thuộc liên kết tựa Hằng số tích phân A1 (2) nhận từ điều kiện đỉnh nón, s = (điểm kỳ dị), lực trượt S n có giá trị hữu hạn nên A1 = Tương tự, từ (3): B1 = Từ (6.62) (2), (3): S = S n sinϕ = − p.s.sinϕ p.s N s = N sn cosϕ = − ( − 3sin2α ) cosϕ Hình 6-18 (4) (5) - Xét vỏ có liên kết hình 6-19 Lực màng N ϕ theo phương vịng khơng đổi khơng phụ thuộc liên kết tựa Từ điều kiện biên, s = l lực trượt S n = nên từ (2) rút ra: A1 = pl , thay vào (2) ý (6.62): S = S n sinϕ = l − s3 p sinϕ s (6) thay s = l vào (3) ý N sn ( l ) = , rút ra: B1 = − pl sin α , thay vào (3), sau biến đổi: 2cosα N s = N sn cosϕ = p l − s3 l − s − sin α ÷cosϕ (7) cosα 3s 2s Hình 6-19 Tại s = điểm kỳ dị bậc 2, tương ứng đỉnh, lực nằm ngang mô men xác định từ điều kiện cân với ngoại lực điều kiện liên kết vỏ cột 6.6 XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG CỦA VỎ XOAY 6.6.1 Quan hệ biến dạng chuyển vị Trong tính tốn thiết kế, ngồi việc xác định trạng thái ứng suất, nội lực cần xác định biến dạng chuyển vị vỏ Chuyển vị vỏ gồm 03 thành phần: 109 - Chuyển vị u theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ α = ϑ (đường cong kinh tuyến); - Chuyển vị v theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ β = ϕ (đường cong vĩ tuyến); - Chuyển vị w theo phương pháp tuyến qui ước dương hình 6-20 Để xác định biến dạng chuyển vị, giả thiết biết N ϑ , N ϕ , S Từ định luật Hook theo lý thuyết đàn hồi, thành phần biến dạng trạng thái màng xác định qua nội lực công thức: εϑ = ( Nϑ − µNϕ ) Eδ εϕ = ( Nϕ − µNϑ ) Eδ γ= 2( 1+ µ) S Eδ (6.76) Hình 6-20 Trước hết cần xác định quan hệ biến dạng chuyển vị, sau sử dụng (6.76) xác định chuyển vị qua thành phần nội lực Ký hiệu chiều dài phân tố theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến AC = dsϑ chiều dài phân tố theo phương tiếp tuyến với đường cong vĩ tuyến AB = dsϕ Sau biến dạng điểm A chuyển dịch đến điểm A’ tương ứng với thành phần chuyển vị: u , v , w Nếu điểm A chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường kinh tuyến u điểm C có chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến: u+ 110 ∂u & d ϑ = u + ud ϑ (dấu chấm ( * ) đạo hàm theo biến ϑ ) ∂ϑ Nếu điểm A chuyển vị theo phương pháp tuyến w điểm C có chuyển ∂w & d ϑ = w + wd ϑ ∂ϑ Xác định biến dạng εϑ : Để biểu diễn biến dạng ε ϑ theo phương tiếp tuyến với vị theo phương pháp tuyến: w+ ' đường cong kinh tuyến qua chuyển vị w u , cần tìm dsϑ (sau biến dạng) biểu diễn qua thành phần biến dạng Từ hình 6-20, bỏ qua chuyển vị 3C ' so với bán kính cong rϑ từ 02 tam giác đồng dạng ( ∆012 ) ( ∆0 A ' C ') : ' dsϑ r +w = ϑ ( 12 ) rϑ & & Đoạn ( 12 ) dsϑ + u + ud ϑ − u = dsϑ + ud ϑ , thay biểu thức vào biểu thức trên, rút ra: ' dsϑ = w rϑ + w & & ( dsϑ + ud ϑ) = 1 + ÷( dsϑ + ud ϑ) rϑ rϑ Biến dạng ε ϑ = ' ∆dsϑ dsϑ − dsϑ ' = , thay dsϑ vào ý dsϑ = rϑ d ϑ , sau biến dsϑ dsϑ đổi nhận được: ε ϑ = εϑ = w 1 & w + u 1 + ÷ rϑ rϑ 1 ∂u & ( w + u) = w + ÷ rϑ rϑ ∂ϑ bỏ qua w (nhỏ so với đơn vị) thì: rϑ (6.77) Xác định thành phần biến dạng εϕ theo phương tiếp tuyến với đường cong vĩ tuyến (phương vịng) Hình chiếu chuyển vị ∆r điểm A (dịch chuyển đến điểm A’) lên phương vng góc với trục vỏ, hình 6-21 là: ∆r = u.cosϑ + w.sinϑ (6.78) Hình 6-21 ' Để xác định dsϕ sử dụng 02 tam ' ' giác đồng dạng ( ∆S12 ) ( ∆SA B ) , hình 6-20, rút ra: Từ hình 6-21, chiều dài đoạn 12 dsϕ + ' dsϕ 12 = r + u.cosϑ + w.sinϑ r ∂v d ϕ = dsϕ + v 'd ϕ , suy ra: ∂ϕ 111 w u w u ' dsϕ = ( dsϕ + v 'd ϕ ) 1 + cosϑ + sinϑ ÷ Sau biến đổi bỏ qua so với r r r r đơn vị ý r = rϕ sinϑ nhận được: εϕ = ' dsϕ − dsϕ dsϕ = ' ( v + u.cosϑ + w.sinϑ) = r1 ( v' + w + u.cotgϑ) r ϕ (6.79) ' (dấu phảy ( * ) đạo hàm * theo biến ϕ ) Xác định biến dạng trượt γ : Để xác định biến dạng trượt γ , khảo sát thay đổi góc vng phân tố trước sau biến dạng cạnh AB = dsϕ AC = dsϑ phân tố vỏ, hình 6-22 Khi điểm A chuyển vị đến A’, chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong vĩ tuyến v (phương vòng), chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến u Điểm B chuyển vị đến điểm B’ với chuyển vị v + v ' d ϕ u + u ' d ϕ Tương tự, điểm C chuyển vị đến điểm C’ với chuyển vị v + v ' d ϑ u + u ' d ϑ Biến dạng trượt γ tổng góc xoay Hình 6-23 Hình 6-22 cạnh dsϕ dsϑ : γ = γ1 + γ u' u dϕ u' γ1 = = r ' B Từ hình 6-22: v rd ϕ + v 'd ϕ r 1+ r ' v' Trong biểu thức bỏ qua so với đơn vị Tương tự: r r + dr & v + vd ϑ − v & r = v − v dr γ2 = rϑ d ϑ rϑ rϑ r d ϑ 112 (6.80) (6.81) Từ hình 6-23, dr = dsϑcosϑ = rϑcosϑd ϑ , rút ra, dr = rϑcosϑ dϑ (6.82) Thay (6.82) vào (6.81), nhận được: & v v − cosϑ rϑ r Biến dạng trượt γ tổng (6.80) (6.83): γ2 = γ = γ1 + γ = & v v u' − cosϑ + rϑ r r (6.83) (6.84) Với ý r = rϕ sinϑ , từ (6.84): γ = γ1 + γ = & v v u' − cotg ϑ + rϑ rϕ rϕ sinϑ (6.85) Các biểu thức (6.77), (6.79) (6.85) xác định thành phần biến dạng qua chuyển vị u , v , w Sử dụng (6.76) xác định thành phần nội lực N ϑ , N ϕ , S qua chuyển vị u , v , w 6.6.2 Chuyển vị vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục Giải hệ phương trình (6.6) xác định nội lực N ϑ , N ϕ , S từ (6.76) xác định thành phần biến dạng ε ϑ , ε ϕ , γ sau sử dụng (6.77), (6.79) (6.85) xác định thành phần chuyển vị Trong mục dẫn biểu thức xác định chuyển vị vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục Với vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, rút nhận xét: - Đường trịn vĩ tuyến sau biến dạng có dạng hình trịn nên chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường trịn vĩ tuyến v = - Góc trượt γ = → S = - Đạo hàm theo biến ϕ không Chuyển vị u , w nội lực N ϑ , N ϕ không thay đổi theo phương vịng, nghĩa khơng phụ thuộc biến tọa độ cong ϕ Từ (6.77) (6.79), εϑ = 1 du w+ ÷ rϑ dϑ (6.86) εϕ = ( w + u.cotg ϑ) rϕ (6.87) Khử w từ (6.86) (6.87): 113 rϑε ϑ − rϕεϕ sinϑ = du du cosϑ d u − u.cotg ϑ ÷ = −u = sinϑ d ϑ sin ϑ d ϑ sinϑ sinϑ d ϑ rút ra: r ε −r ε u = sinϑ ∫ ϑ ϑ ϕ ϕ d ϑ + C sinϑ (6.88) Thay vào (6.87) r ε −r ε w = εϕ rϕ − u.cotg ϑ = εϕ rϕ − cosϑ ∫ ϑ ϑ ϕ ϕ d ϑ + C sinϑ (6.89) Thí dụ xác định chuyển vị vỏ cầu chịu áp lực khí p Trong trạng thái pr0 nên biến dạng ε ϑ = ε ϕ , nên giá trị biểu thức tích phân (6.88) khơng, đó: u = Csinϑ Biểu thức xác định với giá trị ϑ Hằng số tích phân C xác định từ điều kiện ϑ = , chuyển vị u = nên C = u = Thay u vào (6.89) ý đến (6.76b), nhận được: phi mô men, lực màng vỏ cầu Nϑ = Nϕ = pr0 pr02 w = ε ϕ rϕ = (6.90) ( − µ ) r0 = (1− µ ) Eδ 2 Eδ 6.6.3 Xác định ∆r góc xoay α vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục Trong tính tốn vỏ, ngồi việc xác định nội lực cần xác định gia số bán kính ∆r góc xoay α tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến, hình 6-24 Xác định ∆r Gia số bán kính ∆rϕ vỏ xoay, chịu tải trọng đối xứng trục xác định trực tiếp từ biến dạng: εϕ = ∆rϕ rϕ Gia số ∆r hình chiếu ∆rϕ lên phương vng góc với trục vỏ, hình 6-24, nên: Hình 6-24 ∆r Do vậy, rút ra: ∆r = r.εϕ , với ε ϕ xác định qua nội lực, nhận được: r r ∆r = (6.91) ( N ϕ − µN ϑ ) Eδ Xác định góc xoay α Góc xoay α góc hợp tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến điểm ε= A trước biến dạng điểm A’ sau biến dạng, hình 6-20 Khi điểm A chuyển vị 114 đến điểm tương ứng với góc xoay góc xoay u từ điểm đến điểm A’ tương ứng với rϑ dw dw u = Góc xoay ngược chiều với góc xoay theo chiều dsϑ rϑ d ϑ rϑ dương chuyển vị dw Do đó: u dw 1 dw − = u − (6.92) ÷ rϑ rϑ d ϑ rϑ dϑ Góc α dương pháp tuyến hợp với trục vỏ góc: α + ϑ > ϑ Ví dụ góc α hình 6-24 mang giá trị âm Thay chuyển vị u , w từ (6.88), (6.89) vào α= (6.92), nhận được: α= r ε −r ε d ( rϕ ε ϕ ) 1 dw u− = sinϑ ∫ ϑ ϑ ϕ ϕ d ϑ + C ÷− − ( rϑε ϑ − rϕε ϕ ) cotg ϑ + ÷ rϑ d ϑ rϑ sinϑ dϑ d ( rϕε ϕ ) r ε −r ε + sinϑ ∫ ϑ ϑ ϕ ϕ d ϑ + C ÷ = ( rϑεϑ − rϕ ε ϕ ) cotg ϑ − sinϑ dϑ rϑ (6.93) Biểu diễn qua nội lực: d rϕ ( N ϕ − µN ϑ ) (6.94) rϑ ( N ϑ − µN ϕ ) − rϕ ( N ϕ − µN ϑ ) cotg ϑ − dϑ * Thí dụ 1: Xét vỏ cầu bán kính r0 chịu tải trọng pháp tuyến p , hình 6-25 Lực α= E δrϑ màng xác định công thức: N ϕ = N ϑ = pr0 pr = 2 sinϑ Thay vào (6.91), pr ∆r = ( 1− µ) Eδsinϑ Thay vào (6.94): α = (6.95a) (6.95b) * Thí dụ 2: Xét với vỏ cầu chịu tải trọng thân pV , lực màng xác định theo công thức: Nϑ = − pV r0 + cosϑ Hình 6-25 N ϕ = − pV r0 cosϑ − ÷ + cosϑ Thay vào (6.91), (6.94) với ý rϕ = rϑ = r0 , nhận được: ∆r = r ( N ϕ − µNϑ ) = − pV rr0 + + cos ữ E E δ cos (6.96) 115 α= d ( Nϕ − µN ϑ ) ( + µ ) ( N ϑ − N ϕ ) cotg ϑ − Eδ dϑ =− pV r0 pV r0 d + µ − cosϑ ÷cotg ϑ − ( + µ ) sinϑ ( + µ ) cosϑ − ÷ = − Eδ dϑ + cosϑ Eδ + cosϑ (6.97) * Thí dụ 3: Xét với vỏ nón chịu tải trọng pháp tuyến p , lực màng xác định theo pr pr Nϕ = công thức: N ϑ = Thay vào (6.91), nhận được: sinϑ sinϑ pr (6.98) ( − µ) Eδsinϑ Trước xác định α với vỏ nón, thay biến ϑ biến s , mục 6.5.3 thay ∆r = vào (6.76): Eδα = cotg ϑ ( N ϑ − µN ϕ ) − d s ( N ϕ − µN ϑ ) đó, N ϑ = cotg ϑ ps ds N ϕ = pscotg ϑ , sau biến đổi: E δα = − cotg ϑ pr sinϑ (6.99) Góc α mang giá trị âm ngược chiều với góc ϑ theo chiều dương Bảng 6-1 Một số kết chuyển vị nội lực vỏ trạng thái màng ( δ - chiều dày vỏ; E , µ - mơ đun đàn hồi hệ số Poisson vật liệu vỏ) Bình trụ trịn chịu áp lực pháp tuyến N ϕ = p.r cường độ p Nϑ = 1 p.r pr r = ữ E α=0 Vỏ cầu chịu tải trọng pháp tuyến cường độ p Nϕ = Nϑ = α=0 ∆r = 116 p.r0 Vỏ cầu chịu tải trọng thẳng đứng phân pr ( − µ ) pr0 r = ( 1− µ) E δsinϑ E δ Nϑ = − pS r0 bố cường độ ps 1 N ϕ = − pS r0 cos ϑ − ÷ 2 pS r02 sinϑ0 ( + µ − 2cos 2ϑ0 ) Eδ pr α = − S ( + µ ) sin 2ϑ0 Eδ ∆r = Vỏ cầu chịu tải trọng thân Nϑ = − pV r0 + cosϑ N ϕ = − pV r0 cosϑ − ÷ + cosϑ pV - trọng lượng riêng vật liệu vỏ đơn vị diện tích Vỏ nón chịu tải trọng pháp tuyến ∆r = − pV rr0 + cos0 ữ E δ + cosϑ0 pV r0 ( + µ ) sinϑ0 Eδ pr ps Nϑ = = cotg ϑ sinϑ pr Nϕ = = pscotg ϑ α=− pr ( − µ) E δsinϑ pr cotg ϑ α=− E δ sinϑ p scosϑ Nϑ = S sin ϑ ∆r = Vỏ nón chịu tải trọng phân bố thẳng đứng Nϕ = pS scos 3ϑ sinϑ ∆r = pS r µ − cos ϑ ÷ E δsinϑ pS rcosϑ + µ − ( + µ ) cos ϑ E δsin ϑ p s Nϑ = − V 2sin ϑ α=− Vỏ nón chịu tải trọng thân N ϕ = − pV scotg 2ϑ ∆r = pV sr µ − cos ϑ ÷ E δsin ϑ 117 α= pV r ( + µ ) cos ϑ − µ + ÷ E δsin ϑ Chúc bạn thành công 118 ...Hình 6- 1 b Hình 6- 1 c 6. 2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA LÝ THUYẾT VỎ PHI MƠ MEN 6. 2.1 Phương trình cân Từ hệ phương trình cân lý thuyết mô men tổng quát (5. 36) , ý đến (6. 1), hệ phương... Srϑcosϑ = − pϕrϕrϑsinϑ ∂ϑ (6. 6a) (6. 6b) (6. 6c) 93 Hình 6- 2 Nội lực phân tố vỏ 6. 3.2 Phương trình hình học vật lý Thay tham số Lame A , B vào phương trình hình học vật lý (6. 4) nhận phương trình hình... r2 E δ (6. 4b) γ= B ∂ v A ∂ u S ÷+ ÷= A ∂α B B ∂β A Gδ (6. 4c) 6. 3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT PHI MÔ MEN ĐỐI VỚI VỎ XOAY Khảo sát vỏ xoay hệ tọa độ cầu, hình 4 -6 Chọn