Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 10 Tính vỏ bằng phương pháp phần tử hữ hạn
Chương 10 TÍNH VỎ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết tính toán vỏ mỏng dựa trên 02 giả thiết của Kirchhoff- Love. Trên hình 10-1 biểu diễn các thành phần nội lực của phân tố vỏ, trong đó ký hiệu: - Nhóm lực màng: x N , y N , xy N , yx N - Nhóm lực uốn, xoắn: x Q , y Q , x M , y M , xy M , yx M Nếu tuân theo qui luật đối ngẫu: xy yx N N= , xy yx M M= . Hình 10-1. Nội lực vỏ 10.1. CÁC LOẠI PHẦN TỬ VỎ Tính toán vỏ theo phương pháp phần tử hữu hạn có thể sử dụng 03 loại phần tử: phần tử vỏ phẳng, phần tử vỏ cong và phần tử vỏ khối, [12]. 10.1.1. Phần tử vỏ phẳng Kết cấu vỏ là vật thể được giới hạn bởi 2 mặt cong có chiều dày δ . Khi giải bài toán vỏ bằng PP PTHH có thể tính với phần tử vỏ là phần tử phẳng. Phần tử vỏ phẳng là loại phần tử xuất hiện sớm nhất khi sử dụng PP PTHH tính vỏ. Việc thừa nhận phần tử vỏ là phần tử phẳng làm giảm tính chất phức tạp của bài toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác của kết quả tính. Phần tử vỏ phẳng là phần tử kết hợp của 02 phần tử màng và phần tử tấm 246 dựa trên nhận xét, [5]: Khi xét cân bằng phần tử chỉ thiết lập được 05 phương trình, riêng phương trình thứ sáu 0 z M = ∑ luôn thỏa mãn do định luật đối ngẫu của ứng suất tiếp. Đối với phần tử vỏ phẳng không tồn tại các chuyển vị xoay iz θ quay quanh trục z tại các nút i . Song, ta vẫn đưa các thành phần chuyển vị này vào phương trình cân bằng để tránh khó khăn khi giải bài toán phải nghịch đảo ma trận độ cứng, mà ma trận độ cứng trong bài toán vỏ có thể là ma trận suy biến. Các lực nút theo phương trục x là ix R và theo phương trục y là iy R tại nút i chỉ ảnh hưởng đến biến dạng trong mặt phẳng trung bình chứ không ảnh hưởng đến biến dạng uốn; còn các lực nút theo phương trục z là iz R và mô men uốn xoay quanh trục x là ix M , mô men uốn xoay quanh trục y là iy M tại nút i chỉ ảnh hưởng đến biến dạng uốn của phần tử chứ không ảnh hưởng đến biến dạng trong mặt phẳng trung bình. V.Z Vlatxop đã chứng minh kết luận trên chỉ đúng cho vỏ thoải. Trong [12] đã tóm tắt những nhược điểm của phần tử vỏ phẳng do Gallagher đưa ra: 1. Vỏ là vật thể được giới hạn bởi 02 mặt cong nên các phương trình vi phân biểu diễn điều kiện cân bằng, chuyển vị, biến dạng, ứng suất của vỏ phụ thuộc các yếu tố hình học của vỏ như: tham số Lamê, bán kính cong,…Do đó, các phương trình vi phân trong bài toán vỏ không đồng nhất với các phương trình vi phân trong kết cấu màng và tấm mỏng chịu uốn. 2. Sự không liên tục của góc xoay giữa các phần tử liền kề có thể gây ra mô men uốn ở những vùng mà thực tế không có mô men uốn. 10.1.2. Phần tử vỏ cong Phần tử vỏ cong nhằm kể đến tính chất “cong” của phần tử, xuất hiện vào cuối năm 1960. Trong [12] đã tóm tắt những khó khăn khi tính toán bằng phần tử vỏ cong: 1. Khó chọn lý thuyết tính toán vỏ phù hợp với việc xây dựng các tính chất cơ học của phần tử vỏ cong. 2. Khó mô tả dạng hình học của vỏ có kể đến các yếu tố hình học mặt cong của phần tử. 3. Khó thỏa mãn các điều kiện tương thích hơn so với sử dụng phần tử vỏ phẳng. 10.1.3. Phần tử vỏ khối Khi phân tích vỏ bằng PP PTHH, ngoài sử dụng các loại phần tử nêu trên còn sử dụng phần tử vỏ khối (3 chiều) như phần tử vỏ khối 8 nút hoặc phần tử bậc cao đồng tham số 20 nút. Song, việc sử dụng phần tử vỏ khối để tính toán vỏ phức tạp nên dẫn đến việc giảm bậc tổng quát của phần tử bằng cách sử dụng giả thiết của Mindlin: 247 “phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng vẫn thẳng và không nhất thiết phải vuông góc với mặt trung bình”. Với giả thiết này, chuyển vị và góc xoay tại nút trên mặt trung bình được xem là các bậc tự do độc lập. Phần tử vỏ với việc sử dụng giả thiết của Mindlin có thể tính cho cả vỏ dày. Trong chương này giới thiệu 02 kiểu phần tử vỏ: phần tử vỏ phẳng tứ giác đồng tham số 4 nút và phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 04 nút của Kanok-Nukulchai. 10.2. PHẦN TỬ VỎ PHẲNG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 04 NÚT Phần tử vỏ phẳng là phần tử kết hợp giữa phần tử màng và phần tử tấm chịu uốn và cắt. Xét phần tử vỏ phẳng tứ giác đồng tham số 4 nút, hình 10-2. Hình 10-2. Phần tử vỏ phẳng tứ giác 4 nút đồng tham số. Véc tơ chuyển vị nút của phần tử { } e q có kích thước 24x1 với các véc tơ chuyển vị { } i q tại nút i , ( ) 1 4i = ÷ có dạng: { } { } { } { } { } { } 1 2 3 4 T e q q q q q= (10.1) { } { } { } 0 T T i i i i xi yi zi i i i xi yi q u v w u v w= θ θ θ = θ θ (10.2) Phần tử tấm đồng tham số 04 nút chịu uốn và cắt đã xét trong chương 3 nên trong chương này chỉ xét phần tử màng và ghép nối các ma trận của phần tử tấm chịu uốn, cắt và phần tử màng thành phần tử vỏ phẳng. 10.2.1. Phần tử màng Dưới đây, sẽ dẫn ra các công thức cơ bản của PP PTHH cho phần tử màng tứ giác đồng tham số 04 nút trong hệ tọa độ chung OXYZ. 1. Ma trận hàm dạng [ ] m B và ma trận biến dạng - chuyển vị [ ] m D Véc tơ toạ độ (hình học) { } { } T X x y= và hàm chuyển vị { } m U xác định vị trí 248 và chuyển vị của điểm bất kỳ trong phần tử xét trong hệ tọa độ chung OXYZ được nội suy qua hàm nội suy i N , dưới dạng: { } 4 1 i i i i x x X N y y = = = ∑ (10.3) { } [ ] { } 4 1 i i m m m i i u u U N B q v v = = = = ∑ (10.4) trong đó: { } m X - véc tơ toạ độ nút của phần tử màng trong hệ tọa độ chung. { } { } 1 1 2 2 3 3 4 4 T m X x y x y x y x y= (10.5) { } m q - véc tơ chuyển vị nút của phần tử màng trong hệ tọa độ chung. { } { } 1 1 2 2 3 3 4 4 T m q u v u v u v u v= (10.6) Khi biểu diễn véc tơ chuyển vị theo các nút i , ( ) 1 4i = ÷ : { } { } { } { } { } { } 1 2 3 4 T m q q q q q= (10.7) với chuyển vị tại nút i : { } { } T i i i m q u v= (10.8) từ (10.5), ma trận hàm dạng [ ] m B - ma trận biểu diễn chuyển vị tại điểm bất kỳ trong phần tử qua chuyển vị nút ( ) , i i u v tại nút i , ( ) 1 4i = ÷ , có dạng: [ ] 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 m N N N N B N N N N = (10.9) Trong đó hàm nội suy i N , ( ) 1 4i = ÷ : ( ) ( ) 1 1 . 1 . 4 i i i N r r s s= + + (10.10) với i r , i s là toạ độ tự nhiên tại nút i, với 1 4i = ÷ . Từ (10.10), hàm nội suy i N với giá trị i r , i s tại nút 1 4i = ÷ : ( ) ( ) 1 1 1 4 r s N − − = ( ) ( ) 2 1 1 4 r s N + − = ( ) ( ) 3 1 1 4 r s N + + = ( ) ( ) 4 1 1 4 r s N − + = (10.11) Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị của phần tử màng theo PP PTHH: { } { } [ ] { } [ ] [ ] { } T x y xy m m m m m D q B qε = ε ε γ = = ∂ rút ra ma trận biến dạng - chuyển vị: [ ] [ ] [ ] m m D B= ∂ với ma trận [ ] ∂ là ma trận toán tử vi phân trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng 249 của lý thuyết đàn hồi: [ ] 0 0 x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.12) Từ ma trận hàm dạng [ ] m B theo (10.9) và ma trận toán tử vi phân (10.12), rút ra ma trận biến dạng - chuyển vị [ ] m D : [ ] 3 1 2 4 3 1 2 4 3 3 1 1 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 m N N N N x x x x N N N N D y y y y N N N N N N N N y x y x y x y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.13) Do xét trong hệ tọa độ tự nhiên nên cần thiết lập quan hệ đạo hàm của một đại lượng nào đó đối với các biến ( ) ,r s trong hệ tọa độ tự nhiên và đạo hàm của đại lượng đó đối với biến ( ) ,x y trong hệ tọa độ Descartes. Theo qui tắc tính đạo hàm hàm hợp: x y r x r y r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y s x s y s ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ dưới dạng ma trận: [ ] x y x x r r r J x y y y s s s ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.14) trong đó [ ] J là ma trận Jacobian. Chú ý đến (10.3) và (10.11): [ ] 1 1 3 1 2 4 2 2 3 3 3 1 2 4 4 4 x y NN N N x y x y r r r r r r J x y x y N N N N s s s s s s x y ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 x y s s s s x y J r r r r x y x y − − − + − + = − − − + + − (10.15) 250 Từ (10.14) đạo hàm đối với biến ( ) ,x y trong hệ tọa độ Descartes được xác định qua đạo hàm riêng theo biến ( ) ,r s trong hệ tọa độ tự nhiên: [ ] 1 x r J y s − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ (10.16) Khai triển các đạo hàm riêng của hàm nội suy i N theo biến ,x y trong (10.13) qua các đạo hàm riêng của hàm nội suy i N theo biến ,r s theo (10.16): [ ] 3 1 2 4 3 1 2 4 1 3 1 2 4 3 1 2 4 N N N N NN N N x x x x r r r r J N N N N N N N N y y y y s s s s − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.17a) Ký hiệu: [ ] * * 1 * 11 12 * * 21 22 J J J J J J − = = (10.18) Khai triển (10.17.a), nhận được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 4 * * 11 12 * * 3 1 2 4 21 22 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 4 N N N N s s s s J J x x x x N N N N r r r r J J y y y y ∂ ∂ ∂ ∂ − − − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − − − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ (10.17b) 2. Ma trận độ cứng của phần tử màng [ ] m K Giới hạn xét phần tử có chiều dày δ không đổi trên toàn bộ phần tử, ma trận độ cứng của phần tử màng được xác định bằng công thức: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 T m m m m S K D E D dS= δ ∫ (10.19) Với [ ] 0 m E là ma trận đàn hồi của vật liệu trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng theo lý thuyết đàn hồi: ( ) ( ) 0 2 2 2 0 [ ] 2 2 0 2 1 0 0 1 m E E µ = µ −µ −µ (10.20) Trong trường hợp tổng quát, khi ma trận độ cứng [ ] m K tính theo (10.19) không tính được dưới dạng tường minh thì có thể tính bằng tích phân số, thường dùng phép cầu phương Gauss. Trong trường hợp này: 251 [ ] detdS dxdy J drds= = (10.21) trong đó [ ] det J là định thức của ma trận Jacobian. Ký hiệu: ( ) [ ] [ ] [ ] 0 , T r s m m m F D E D = (10.22) Sử dụng phép tích phân cầu phương Gauss 2x2, ma trận độ cứng của phần tử màng [ ] m K được xác định: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1 2 2 , , 1 1 1 1 i i i j r s r s m i j K F det J drds F det J + + = = − − = δ = δ α α ∑∑ ∫ ∫ (10.23) với i r , i s - toạ độ điểm cầu phương Gauss. i α , j α - trọng số tích phân. Ma trận độ cứng của phần tử màng kiểu tứ giác tương ứng với chuyển vị { } i m q tại các nút i , 1 4i = ÷ , trong đó ma trận con có kích thước 2x2, có dạng: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 m m m m m m m m m m m m m m m m m K K K K K K K K K K K K K K K K K = (10.24) 3. Ma trận khối lượng của phần tử màng [ ] m M Ma trận khối lượng được xác định theo công thức tổng quát: [ ] [ ] [ ] T m m m S M B B dS= δ ρ ∫ (10.25) trong đó: ρ - khối lượng vật liệu của phần tử trên một đơn vị thể tích; [ ] m B - ma trận hàm dạng xác định theo (10.10). Tích phân (10.25) có thể sử dụng phép cầu phương Gauss 2x2 tương tự như đối với ma trận độ cứng. Ký hiệu: ( ) [ ] [ ] , T r s m m F B B = ρ [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1 2 2 , , 1 1 1 1 det det i i i j r s r s m i j M F J drds F J + + = = − − = δ = δ α α ∑∑ ∫ ∫ (10.26) Ma trận khối lượng của phần tử màng kiểu tứ giác tương ứng với chuyển vị { } i m q tại các nút i , 1 4i = ÷ , trong đó ma trận con có kích thước 2x2, có dạng: 252 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 m m m m m m m m m m m m m m m m m M M M M M M M M M M M M M M M M M = (10.27) 4. Véc tơ lực nút qui đổi của phần tử màng { } m R Xét trường hợp tải trọng tác dụng phân bố trong mặt phẳng của phần tử. Véc tơ tải trọng tại điểm bất kỳ trong phần tử có dạng: { } x S y p p p = (10.28) với x p , y p là cường độ tải trọng phân bố theo trục x , y . Véc tơ lực nút qui đổi của phần tử màng có dạng: { } { } 1 1 2 2 3 3 4 4 T m m m m m m m m x y x y x y x y m R R R R R R R R R= (10.29) được xác định bằng công thức: { } [ ] { } T S m m S R B p dS= ∫ (10.30) Tích phân (10.30) có thể sử dụng tích phân số theo phép cầu phương Gauss. Ký hiệu: ( ) [ ] { } , T s r s m F B p = { } ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1 2 2 , , 1 1 1 1 i i i j r s r s m i j R F det J drds F det J + + = = − − = = α α ∑∑ ∫ ∫ (10.31) 5. Véc tơ ứng suất và nội lực của phần tử màng Ứng suất và nội lực phân bố của phần tử màng được xác định theo công thức trạng thái ứng suất phẳng của lý thuyết đàn hồi. { } { } [ ] { } [ ] [ ] { } 0 0 T x y xy m m m m m m E E D qσ = σ σ τ = ε = (10.32) Nội lực của vỏ trong trạng thái màng: { } { } { } { } /2 /2 T x y xy m m m N N N N dz δ −δ = = σ = δ σ ∫ (10.33) Với x N , y N là lực dọc theo phương trục x , y và xy N là lực trượt. 10.2.2. Các ma trận của phần tử vỏ phẳng tứ giác 04 nút đồng tham số Các ma trận của phần tử vỏ được tổ hợp từ các ma trận tương ứng với các trạng thái màng, trạng thái uốn có kể đến biến dạng cắt theo giả thiết Mindlin. Chỉ số “ m ” tương ứng với trạng thái màng, chỉ số “ t ” tương ứng với trạng thái uốn, cắt của tấm, phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với chuyển vị xoắn. 253 Căn cứ vào thứ tự chuyển vị nút trong véc tơ chuyển vị nút { } e q theo (10.1), ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử vỏ có dạng (10.34) và (10.35). [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 12 13 14 11 12 13 14 21 22 23 24 21 22 23 24 31 32 33 34 31 32 33 34 41 42 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m t t t t m m m m t t t t e m m m m t t t t m m m K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 44 41 42 43 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m t t t t K K K K K (10.34) Trong (10.34) phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với các chuyển vị nút zi θ . Các ma trận [ ] m ij K của phần tử màng có kích thước 2x2 được xác định theo (10.24), với ( ) 1 4i = ÷ , ( ) 1 4j = ÷ tương ứng với { } i m q ; còn các ma trận [ ] t ij K của phần tử tấm uốn có kích thước 3x3 được xác định theo (3.86), với ( ) 1 4i = ÷ , ( ) 1 4j = ÷ tương ứng với chuyển vị { } i t q . [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 12 13 14 11 12 13 14 21 22 23 24 21 22 23 24 31 32 33 34 31 32 33 34 41 42 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m t t t t m m m m t t t t e m m m m t t t t m m m M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 44 41 42 43 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m t t t t M M M M M (10.35) Trong (10.35) phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với các gia tốc zi θ && với 254 ( ) 1 4i = ÷ . Các ma trận [ ] m ij M của phần tử màng được xác định theo (10.27) tương ứng với gia tốc { } i m q && với ( ) 1 4i = ÷ , ( ) 1 4j = ÷ ; còn các ma trận [ ] t ij M của phần tử tấm uốn được xác định theo (3.91) với ( ) 1 4i = ÷ , ( ) 1 4j = ÷ tương ứng với gia tốc { } i t q && . Véc tơ lực nút qui đổi do tải trọng tác dụng trong phần tử có kích thước 24x1, dưới dạng theo các nút i , ( ) 1 4i = ÷ : { } { } { } { } { } { } 1 2 3 4 T e R R R R R= (10.36) trong đó véc tơ lực nút qui đổi { } i R tại nút i , ( ) 1 4i = ÷ có kích thước 6x1 được tổ hợp từ trạng thái màng, trạng thái uốn tấm và trạng thái xoắn: { } { } 0 T m m t t t i xi yi zi xi yi R R R F M M= (10.37) 10.3. PHẦN TỬ VỎ CONG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 4 NÚT Trong mục này sẽ đưa ra các công thức cơ bản của PP PTHH cho phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút, xét trong hệ tọa độ chung do Kanok-Nukulchai đề xuất, được xây dựng từ phần tử khối có sử dụng giả thiết Kirchhoff-Love và giả thiết Mindlin. Trên hình 10-3, ký hiệu O’X’Y’Z’ là hệ tọa độ địa phương với các véc tơ đơn vị ' 1 e r , ' 2 e r và ' 3 e r , còn OXYZ là hệ tọa độ chung với các véc tơ đơn vị i r , j r , k r . Hình 10-3. Phần tử vỏ cong tứ giác 04 nút đồng tham số. Trong hệ tọa độ chung, tại mỗi nút i , ( ) 1 4i = ÷ có 06 thành phần chuyển vị gồm: 03 chuyển vị thẳng i u , i v , i w và 03 chuyển vị xoay xi θ , yi θ , zi θ : { } { } T i i i i xi yi zi q u v w= θ θ θ (10.38) 255 [...]... (10. 108) Chú ý đến ký hiệu D ' ( 1, i ) theo (10. 100) , biểu thức (10. 108) có dạng: ∂v ' ÷ = l2 D ' ( 1, i ) ui + m2 D ' ( 1, i ) vi + n2 D ' ( 1, i ) wi ∂x ' i (10. 109) Kết hợp (10. 107) và (10. 109) theo (10. 105), nhận được: γ x ' y ' = ( l1 D ' ( 2, i ) + l2 D ' ( 1, i ) ) ui + ( m1.D ' ( 2, i ) + m2 D ' ( 1, i ) ) vi + + ( n1.D ' ( 2, i ) + n2 D ' ( 1, i ) ) wi Từ (10. 101) và (10. 104), (10. 110) ,... biến dạng - chuyển vị [ D ] e xác định từ công thức { ε} e = [ D ] e { q} e 1 Véc tơ biến dạng của phần tử vỏ Phần tử vỏ cong được xây dựng từ phần tử khối Lý thuyết tính toán vỏ thừa nhận biến dạng theo phương pháp tuyến ε z = 0 nên 05 thành phần biến dạng còn lại , của phần tử khối được xác định theo công thức Cauchy của lý thuyết đàn hồi Véc tơ biến dạng của phần tử vỏ trong hệ tọa độ địa phương tương... điểm bất kỳ trong phần tử được nội suy qua hàm nội suy N i , ( i = 1 ÷ 4 ) và tọa độ hay chuyển vị tại các nút 1 Hàm nội suy N i Hàm nội suy N i của phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút trong hệ tọa độ tự nhiên có dạng tương tự như của phần tử vỏ phẳng 04 nút, theo (10. 10) 2 Tọa độ của điểm bất kỳ trong phần tử Trong hệ tọa độ chung, tọa độ ( x, y, z ) tại điểm bất kỳ trong phần tử được xấp xỉ qua... (10. 39) { q} e = { { q1} { q2 } { q3 } { q4 } } Như vậy, véc tơ chuyển vị nút { q} e của phần tử có kích thước 24x1 Tương tự, véc tơ lực nút qui đổi { R} e của phần tử có kích thước 24x1: T { R} e = { { R1} { R2 } { R3 } { R4 } } T (10. 40) với: { Ri } = { Rxi Ryi Rzi M xi M yi M zi } T (10. 41) 10. 3.1 Hàm dạng cho hình học và chuyển vị Phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút là phần tử mà hình... tọa độ địa phương tại nút i ), hình 1 0-4 Hình 1 0-4 Góc xoay pháp tuyến và chuyển vị do xoay pháp tuyến Các thành phần chuyển vị thẳng được xác định bằng công thức: ui' α '2i 1 ' ' vi = t.δi −α1i w' 2 0 i (10. 61) * * * Các thành phần chuyển vị ui , vi , wi dọc theo các trục tọa độ ( x, y, z ) được xác ' ' ' định qua các chuyển vị ui , vi , wi và côsin chỉ phương của... ∂x ' i (10. 123) Thay (10. 122), (10. 123) vào (10. 121) (γ ) x' y' i = t δi θ xi ( n1m3i − m1n3i ) D ' ( 2, i ) + ( − m2 n3i + n2 m3i ) D ' ( 1, i ) + 2 { +θ yi ( −n1l3i + l1n3i ) D ' ( 2, i ) + ( −n2l3i + l2 n3i ) D ' ( 1, i ) + } + θ zi ( −l1m3i + m1l3i ) D ' ( 2, i ) + ( −l2 m3i + m2l3i ) D ' ( 1, i ) Sắp xếp (10. 118), (10. 120), (10. 124) vào (10. 112) nhận được: 275 (10. 124) [... 1, i ) theo (10. 100) nhận được: ∂w ' ÷ = l3 D ' ( 1, i ) ui + m3 D ' ( 1, i ) vi + n3 D ' ( 1, i ) wi ∂x ' i (10. 130) Kết hợp (10. 129) và (10. 130): ( γ x ' z ' ) i = ( l1D ' ( 3, i ) + l3 D ' ( 1, i ) ) ui + ( m1D ' ( 3, i ) + m3 D ' ( 1, i ) ) vi + ( n1D ' ( 3, i ) + n3 D ' ( 1, i ) ) wi (10. 131) ∂v ' ∂w ' + ÷ ∂z ' ∂y ' * Xác định γ y ' z ' = (10. 132) Từ (10. 88) và (10. 98): *... Chú ý đến ký hiệu D ' ( 2, i ) theo (10. 103): ∂w ' ÷ = l3 D ' ( 2, i ) ui + m3 D ' ( 2, i ) vi + n3 D ' ( 2, i ) wi ∂y ' i Kết hợp (10. 133) và (10. 134): 277 (10. 134) ( γ ) = ( l D ' ( 3, i ) + l D ' ( 2, i ) ) u + ( m D ' ( 3, i ) + m D ' ( 2, i ) ) v + ( n D ' ( 3, i ) + n D ' ( 2, i ) ) w y 'z ' i 2 3 i 2 3 i 2 3 i (10. 135) Thay (10. 131), (10. 135) vào (10. 127) rút ra: [ D1si ] l1 D ' (... ui' + n2i vi' (10. 62) Thay (10. 61) vào (10. 62) và viết dưới dạng ma trận: 260 ui* l1i * 1 vi = t.δi m1i w* 2 n1i i −l2 i ' α − m2i 2i α' − n2i 1i (10. 63) ' Góc xoay α1i , α '2i của pháp tuyến quay quanh trục x ' , y ' trong hệ tọa độ địa phương được xác định qua chuyển vị xoay θ xi , θ yi , θ zi trong hệ tọa độ chung và các cô sin chỉ phương giữa hai... ∂s ∂t (10. 80) Chú ý đến (10. 69), các đạo hàm chuyển vị u , v , w theo biến tọa độ tự nhiên r , s, t có dạng (10. 81) Như vậy, các đạo hàm riêng chuyển vị u ' , v ' , w ' theo biến ( x ', y ', z ') của véc tơ biến dạng (10. 72) trong hệ tọa độ địa phương đã được biểu diễn qua các đạo hàm riêng chuyển vị nút u , v, w trong hệ tọa độ chung theo biến r , s, t bằng các công thức (10. 73), (10. 79) và (10. 81) . lực vỏ 10. 1. CÁC LOẠI PHẦN TỬ VỎ Tính toán vỏ theo phương pháp phần tử hữu hạn có thể sử dụng 03 loại phần tử: phần tử vỏ phẳng, phần tử vỏ cong và phần tử vỏ khối, [12]. 10. 1.1. Phần tử vỏ phẳng Kết. PHẦN TỬ VỎ PHẲNG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 04 NÚT Phần tử vỏ phẳng là phần tử kết hợp giữa phần tử màng và phần tử tấm chịu uốn và cắt. Xét phần tử vỏ phẳng tứ giác đồng tham số 4 nút, hình 1 0-2 . . Chương 10 TÍNH VỎ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết tính toán vỏ mỏng dựa trên 02 giả thiết của Kirchhoff- Love. Trên hình 1 0-1 biểu diễn các thành phần nội lực của phân tố vỏ, trong