Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014   !"#$%    Nhóm học sinh lớp 10 Toán Phạm Trung Vinh Nguyễn Phúc Nghiệp WWW.ToanCapBa.Net Trang 1 KHÓA: 2009-2012 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, lượng giác là một phần quan trọng trong toán phổ thông nói chung và toán chuyên nói riêng.Và hôm nay chúng em mang đến quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm toán. Không chỉ dừng lại ở các bài toán lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng dụng to lớn của lượng giác vào việc giải một số bài toán đại số. Ở đa số các bài toán, chúng em đều có phần nhận xét cá nhân, những suy nghĩ và hướng đi mới. Do vậy mỗi phần, mỗi chương sẽ thực sự thể hiện cả một quá trình tìm tòi và suy nghĩ của chúng em. Sự tìm tòi có thể khác nhau nhưng đều có chung một mục đích: đó là đi đến sự tiến bộ. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng quyển chuyên đề khó có thể tránh được những thiếu sót. Rất mong tài liệu này sẽ nhận đựơc sự góp ý của thầy cô và các bạn. Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn đã đọc và cho góp ý, cũng như bỏ qua những thiếu sót trong lần viết chuyên đề này của chúng em. Tập thể học sinh lớp 10 Toán 2009 - 2012 Phần đầu của chuyên đề ta sẽ xét các vấn đề chung của phương trình lượng giác (những kiến thức cơ bản về lượng giác, điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác và các bài toán liên quan đến việc tìm số k nguyên trong công thức biểu diễn nghiệm của phương trình). Trong chương này chúng tôi phân loại phương trình lượng giác theo cách giải nó. Phần cuối của chương dành để trình bày các phương pháp giải các hệ phương trình lượng giác cơ bản nhất.  !"#$%&'() WWW.ToanCapBa.Net Trang 2 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 &'()*+, / • 2 2 sin cos 1 α α + = • sin tan cos α α α = ( với 2 k π α π ∀ ≠ + ,k ∈ Z ) • cos cot sin α α α = ( với x k π ∀ ≠ ,k ∈ Z ) • 2 2 1 tan 1 cos α α + = ( với 2 k π α π ∀ ≠ + ,k ∈ Z ) • 2 2 1 cot 1 sin α α + = ( với x k π ∀ ≠ ,k ∈ Z ) • tan cot 1 α α = ( với 2 k π α ∀ ≠ ,k ∈ Z ) #,012034504/ • ( ) sin 2 sinx k x π + = • ( ) cos 2 cosx k x π + = • ( ) tan tanx k x π + = • ( ) cot cotx k x π + = #'6/ • ( ) sin sinx x − = − • ( ) cos cosx x − = • ( ) tan tanx x − = − • ( ) cot cotx x − = − #-7/ • ( ) sin sinx x π − = • ( ) cos cosx x π − = − • ( ) tan tanx x π − = − • ( ) cot cotx x π − = − #/ WWW.ToanCapBa.Net Trang 3 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 • sin cos 2 x x π   − =  ÷   • cos sin 2 x x π   − =  ÷   • tan cot 2 x x π   − =  ÷   • cot tan 2 x x π   − =  ÷   #,012483/ • sin cos 2 x x π   + =  ÷   • cos sin 2 x x π   + = −  ÷   • tan cot 2 x x π   + = −  ÷   • cot tan 2 x x π   + = −  ÷   #,0124/ • ( ) sin sinx x π + = − • ( ) cos cosx x π + = − • ( ) tan tanx x π + = • ( ) cot cotx x π + = 9):/ • ( ) ( ) sin sin cos sin cos ,x y x y y x x y ± = ± ∀ ∈ ¡ • ( ) ( ) cos cos cos sin sin ,x y x y x y x y ± = ∀ ∈ m ¡ • ( ) tan tan tan , , 1 tan tan 2 x y x y x y x y k x y π π ±   ± = ∀ ± ≠ +  ÷   m WWW.ToanCapBa.Net Trang 4 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 • ( ) ( ) cot cot 1 cot , , cot cot x y x y x y x y k y x π ± = ∀ ± ≠ ± m 9);'9/ • sin 2 2sin cosx x x= • 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x = − = − = − • 2 2tan 2 tan 2 ,2 1 tan cot tan 2 x x x x k x x x π π   = = ∀ ≠ +  ÷ − −   • ( ) 2 cot 1 cot tan cot 2 ,2 2cot 2 x x x x x x k x π − − = = ∀ ≠ 9)'9/ • 1 cos sin 2 2 x x − = ± • 1 cos cos 2 2 x x + = ± • 1 cos 1 cos tan 2 1 cos sin x x x x x − − = ± = + 9);-/ • 3 sin3 3sin 4sinx x x = − • 3 cos3 4cos 3cosx x x = − • 3 2 3tan tan tan3 ,3 1 3tan 2 x x x x x k x π π −   = ∀ ≠ +  ÷ −   • ( ) 3 2 cot 3cot cot3 ,3 3cot 1 x x x x x k x π − = ∀ ≠ − 9)-</ • ( ) 2 1 sin 1 cos2 2 x x = − WWW.ToanCapBa.Net Trang 5 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 • ( ) 2 1 cos 1 cos2 2 x x = + • 2 1 cos2 tan 1 cos2 2 x x x k x π π −   = ∀ ≠ +  ÷ +   • ( ) 2 1 cos2 cot 1 sin 2 x x x k x π + = ∀ ≠ − • 3 3sin sin3 sin 4 x x x − = • 3 3cos cos3 cos 4 x x x + = 9) tan 2 x t =  / • 2 2 sin 1 t x t = + • 2 2 1 cos 1 t x t − = + • 2 2 tan , 1 2 2 t x x x k t π π   = ∀ ≠ +  ÷ −   9)-='>?>/ • ( ) ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 x y x y x y x y = + + − >     • ( ) ( ) ( ) 1 cos sin sin cos 2 y x x y y x y x = + − − >     • ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 2 x y x y x y = + + −     • ( ) ( ) 1 sin sin cos cos 2 x y x y x y = − + − −     9)-='>>?/ WWW.ToanCapBa.Net Trang 6 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 • sin sin 2sin cos 2 2 x y x y x y + − + = • cos cos 2cos cos 2 2 x y x y x y + − + = • sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y + − − = • cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y + − − = − • ( ) sin tan tan , cos cos 2 x y x y x y k x y π π ±   ± = ∀ ≠ +  ÷   • ( ) ( ) sin cot cot , sin sin y x x y x y k x y π ± ± = ∀ ≠ 0=@#. A7/ • sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x π π     + = + = −  ÷  ÷     • sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x π π     − = − = − +  ÷  ÷     • tan cot 2cot 2 2 x x x x k π   + = − ∀ ≠  ÷   • 2 tan cot sin 2 2 x x x k x π   − = ∀ ≠  ÷   • 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4 x x x + = + • 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 x x x + = + • 2 1 sin 2cos 4 2 x x π   + = −  ÷   • 2 1 sin 2sin 4 2 x x π   − = −  ÷   • 2 cos 4 1 tan cos x x x π   −  ÷   + = • 2 sin 4 1 tan cos x x x π   −  ÷   − = WWW.ToanCapBa.Net Trang 7 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 &'()2/ • sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 A B C A B C + + = • cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C A B C + + = + • tan tan tan tan tan tanA B C A B C + + = • cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A + + = • 2 2 2 cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C + + = − • 2 2 2 sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C + + = + • sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C+ + = • cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C + + = − − • cot cot cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C + + = • tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + =  *"+,-.$/$01&' Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan trọng. Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau : • Để tan x có nghĩa, điều kiện là ( ) 2 x k k π π ≠ + ∈¢ • Để cot x có nghĩa, điều kiện là ( ) x k k π ≠ ∈¢ Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường được tiến hành như sau : • Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. • Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng. • So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai. WWW.ToanCapBa.Net Trang 8 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 B:C6DE/ • Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt điều kiện. • Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan và cot, dùng cung bù cho hàm cos.  2,34-"$05$%+67/$01&' Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường hợp sau đây : • Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của biến. • Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt. Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau : • Giải phương trình lượng giác như bình thường. • Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình. • Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm. Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác. Nếu để ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm theo một diều kiện phụ nào đó. Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương trình cụ thể nào đó. 8 !/$01&'$9:/ FG2, / • ( ) ( ) 2 sin sin 1 2 n u v k u v u v n n u v k π π π π = +  = ⇔ ⇔ = − + ∀ ∈  = − +  ¢ • ( ) 2 cos cos 2 u v k u v k u v k π π = +  = ⇔ ∀ ∈  = − +  ¢ • ( ) tan tan , 2 v l u v k l u v k π π π  ≠ +  = ⇔ ∀ ∈   = +  ¢ WWW.ToanCapBa.Net Trang 9 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 • ( ) cot cot , v l u v k l u v k π π ≠  = ⇔ ∀ ∈  = +  ¢ FG2'H-G/ • ( ) sin 0u u k k π = ⇔ = ∀ ∈ ¢ • ( ) sin 1 2 2 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) sin 1 2 2 u u k k π π = − ⇔ = − + ∀ ∈ ¢ • ( ) cos 0 2 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) cos 1 2u u k k π = ⇔ = ∀ ∈ ¢ • ( ) cos 1 2u u k k π π = − ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) tan 0u u k k π = ⇔ = ∀ ∈ ¢ • ( ) tan 1 4 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) tan 1 4 u u k k π π = − ⇔ = − + ∀ ∈ ¢ • ( ) cot 0 2 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) cot 1 4 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) cot 1 4 u u k k π π = − ⇔ = − + ∈ ¢ ; ",I-<J2:2C6*+K#/ Có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) sin 1 sin 0 cos 2 cos 0 ; 0 tan 0 tan 3 cot 0 cot 4 b u a a u b b u a u b a a a u b b u a a u b b u a − = + = − = + = ≠ → + = − = + = − = WWW.ToanCapBa.Net Trang 10 [...]... = π + k π   4 2 Ví dụ 2 : Giải phương trình lượng giác sau : 4sin 3 x − 1 = 3sin x − 3 cos x (1) Lời giải ( 1) ⇔ ( 3sin x − 4sin 3 x ) − 3 cos x = −1 ⇔ sin 3 x − 3 cos 3x = −1 π   −π  ⇔ sin  3 x − ÷ = sin  ÷ 3   6  π −π  3 x − 3 = 6 + k 2π ⇔ ( k ∈ ¢) 3 x − π = 7π + k 2π  3 6  π 2π   x = 18 + k 3 ⇔ ( k ∈ ¢)  x = π + k 2π  2 3  Dạng 2 : Phương trình có tham số WWW.ToanCapBa.Net... 6 3 tan x 2 sin x − 1 − 3 3 1 + cos x sin x x x + cos 4 2 2 − tan 2 x sin x = 1 − sin x + tan 2 x 1 − sin x 2 sin 4 π 1  4 4 7 sin x + cos x  x + ÷ = 4 4  8 cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x cos x = cos x + 8cos x cos 3 3 x 9 cos3 x cos 3 x + sin 3 x sin 3 x = 2 4 10 cos3 4 x = cos 3x cos3 x + s in3x sin 3 x Bài 2 : Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm 1 3cos x = cos x − 5 2 sin... ) 4 (3) Nếu m < 2, m ≠ 0  −2 + 4 − 2m = tan α  tan x = m 2) ⇔  (  −2 − 4 − 2m = tan β  tan x = m   x = α + kπ ⇔ ( k ∈ ¢) y = β + kπ  Bài tập tự rèn luyện Bài 1 : giải các phương trình lượng giác sau 1 4sin 3 x + 3cos 3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 2 sin x + cos x − 4sin 3 x = 0 2 3 sin x ( tan x + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3 π 3 4 8cos  x + ÷ = cos 3 x 3  π  2 sin 3  x... thức tổng quát là: x = k 2π kπ = 6 3 Nhận xét : Qua bài toán này ta thấy rõ vai trò của việc kết hợp các góc lượng giác dưới dạng một công thức tổng quát đơn giản hơn Hơn nữa, đây còn là bài toán về việc giải hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại các nghiệm ngoại lai... ≠ 0 thì chia hai vế của phương trình cho sin 2 x dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn cot x Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với Cách giải tương tự như phương trình thuần và cos x : nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho cos3 x sin x a sin 3 x + b cos3 x + c sin 2 x cos x + d sin x cos 2 x +hoặc sin 3 x và chú ý áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản + e sin x +... Cho phương trình sin x + m cos x = 1( 1) a Giải phương trình với m = − 3 b Tìm m để (1) vô nghiệm 2 c Định m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của phương trình m sin x + cos x = m ( 2 ) Bài 8 : Giả sử a 2 + b 2 ≠ 0 và c là 1 số bất kì Chứng minh rằng trong 2 phương trình sau a cos x + b sin x = c a cot x + b tan x = c 2 ít nhất có một phương trình có nghiệm b Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối... Các dạng phương trình lượng giác hay gặp : a Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : Dạng 1 : Phương trình không có tham số Ví dụ 1 : Giải phương trình sau 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + 3 sin 4 x = 2 (1) Lời giải WWW.ToanCapBa.Net Trang 23 WWW.ToanCapBa.Net Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn ( 1) ⇔ 4 1 −   1 2  sin 2 x ÷ + 3 sin 4 x = 2 2   1 − cos 4 x  ⇔ 4 − 2 ÷+ 3 sin 4 x = 2 2   ⇔ 3 sin 4... của phương trình là : x= π mπ + và m ≠ 5n + 1 , n ∈ Z 20 5 Nhận xét : ta nhận thấy đối với bài toán này việc biểu diễn bằng đường tròn lượng giác đã ttrở nên khó khăn và khó chính xác Do đó ta hãy xem phương pháp hai WWW.ToanCapBa.Net Trang 16 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 5 Phương trình lượng giác có một vế là tổng hữu hạn : a) Cơ sở của phương trình : Dạng phương trình. .. số phương pháp khác giải phương trình lượng giác : 1 Phương pháp tích số :  f ( x) = 0 Với điều kiện x ∈ D f thì phương trình : f ( x ) g ( x ) = 0 ⇔  g ( x) = 0   x ∈ D f ∩ Dg   Hay phương trình : f ( x ) g ( x ) = 0 ⇔   f ( x ) = 0   g ( x ) = 0  WWW.ToanCapBa.Net Trang 22 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014 2 Phương pháp đặt ẩn số phụ : Đặt f(x) = t, đưa phương trình. .. bài toán trên trở thành tìm m để hệ  có nghiệm  −1 ≤ t ≤ 1( 3)  Ta có f ' ( t ) = 2t − 4 và có bảng biến thiên sau : t -1 1 f'(t) f(t) 2 0 6 2 Vậy hệ (1) và (3) có nghiệm ⇔ min f(t) ≤ 2m ≤ max f(t) với -1 ≤ t ≤ 1 ⇔ -2 ≤ 2m ≤ 6 ⇔ -1 ≤ m ≤ 3 WWW.ToanCapBa.Net Trang 25 WWW.ToanCapBa.Net Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 5/20/2014 Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là -1 ≤ m ≤ 3 Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình . học sinh lớp 10 Toán Phạm Trung Vinh Nguyễn Phúc Nghiệp WWW .ToanCapBa. Net Trang 1 KHÓA: 2009-2012 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW .ToanCapBa. Net 5/20/2014 Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như. bản nhất.  !"#$%&'() WWW .ToanCapBa. Net Trang 2 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW .ToanCapBa. Net 5/20/2014 &'()*+, / • 2. = − • ( ) tan tanx x π − = − • ( ) cot cotx x π − = − #/ WWW .ToanCapBa. Net Trang 3 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW .ToanCapBa. Net 5/20/2014 • sin cos 2 x x π   − =  ÷   • cos sin 2 x