Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 1 PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU —————————————————— Chủ biên Godunov Sergey Konstantinovich Dịch bởi nhóm VnCFD Research Group NHÀ XUẤT BẢN “KHOA HỌC” MATXCƠVA 1976 Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 2 Lời giới thiệu Cuốn sách của tác giả Godunov S.K. mang tên “PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU”. Khi dịch sang tiếng Việt chúng tôi quyết định đổi tên thành “KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC TÍNH TOÁN GODUNOV, LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG” cho phù hợp với bản chất nội dung của nó. Cuốn sách này là một tài liệu giá trị, như một chuyên đề trình bày phương pháp số giải các hệ phương trình vi phân dạng hyperbol tựa tuyến tính cùng lời giải cho rất nhiều dạng bài toán thường gặp trong động lực học chất khí, động lực học khí quyển và nhiều lĩnh vực khác của ngành cơ học chất lưu. Bên cạnh những vấn đề cổ điển, một đòi hỏi mới đặt ra cho phương pháp tính là phương pháp phải đảm bảo được tính “thích ứng” với những “đặc thù” của từng dạng bài toán cụ thể. Từ đó nảy sinh ra các vấn đề như sử dụng lưới chuyển động, khớp sóng xung kích, các dạng điều kiện biên khác nhau, … Tất cả những yêu cầu trên, cả cổ điển và hiện đại, đều được trình bày cụ thể trong cuốn sách này. Cuốn sách là tài liệu bổ ích cho đông đảo bạn đọc đến từ nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, dành cho các nghiên cứu sinh, sinh viên chuyên ngành phương pháp tính và ứng dụng phương pháp tính vào các bài toán môi trường chất lưu liên tục. Các phương pháp tính hiện đại kết hợp với sự phát triển công nghệ tính toán đã và đang chứng minh thế mạnh và tương lai ưu thế của CFD. Các vấn đề được trình bày trong cuốn sách rất cơ bản nhưng lại vô cùng quan trọng, là nền tảng triết lý để am hiểu phương pháp. Thấy được tầm quan trọng này, nhóm chúng tôi quyết định chuyển thể nội dung sang tiếng Việt để đông đảo bạn đọc có thể tiếp cận được Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 3 nó. Hi vọng rằng, với những nổ lực của chúng tôi, các bạn sẽ có trong tay cuốn tài liệu vô cùng quý báu này. Do hạn chế về mặt thời gian và đặc thù công việc các thành viên của nhóm, thời gian đầu chúng tôi chưa thể dịch toàn vẹn cuốn sách. Những vấn đề được xem là quan trọng cũng như cơ bản nhất được ưu tiên trình bày trước. Bạn đọc quan tâm có thể đề nghị chúng tôi dịch các bài, các chương còn lại. Mọi ý kiến đóng góp để hoàn thiện hơn về mặt nội dung từ phía bạn đọc được chúng tôi đón nhận và biết ơn. VnCFD Research Group Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 4 Phụ lục Lời tác giả Phần I. Cơ sơ lý thuyết Chương I. Xây dựng sơ đồ sai phân cho các hệ phương trình hyperbol tuyến tính Bài 1. Âm học một chiều Bài 2. Sơ đồ sai phân Bài 3. Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ Bài 4. Các ví dụ minh họa lời giải bằng phương pháp số Bài 5. Sơ đồ cho bài toán hỗn hợp Bài 6. Nghiên cứu độ chính xác của sơ đồ trên biên Bài 7. Âm học hai chiều Bài 8. Tính ổn định của sơ đồ hai chiều cho âm học Bài 9. Sơ đồ tường minh một chiều cho hệ hyperbol bất kì Bài 10. Sơ đồ tường minh hai chiều cho hệ hyperbol bất kì Bài 11. Các sơ đồ sai phân không tường minh Chương II. Các hệ hyperbol tựa tuyến tính hai biến Bài 12. Động lực học khí một chiều không ổn định Bài 13. Phân rã gián đoạn Bài 14. Sơ đồ sai phân cho các bài toán động lực học khí một chiều Bài 15. Các dạng điều kiện biên cho các bài toán một chiều Bài 16. Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ một chiều Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 5 Bài 17. Minh họa sơ đồ một chiều cho các bài toán không ổn định Bài 18. Dòng chảy siêu âm hai chiều không ổn định Bài 19. Bài toán “tương tác hai dòng chảy siêu âm phân bố đều” Bài 20. Các ví dụ minh họa độ chính xác của sơ đồ ổn định Bài 21. Sơ đồ không tường minh một chiều cho các bài toán tựa tuyến tính Chương III. Xây dựng các sơ đồ sai phân cho các bài toán nhiều chiều Bài 22. Các định luật bảo toàn và các phương trình động lực học khí Bài 23. Lưới chuyển động và các phương pháp đơn giản nhất để tạo lưới chuyển động Bài 24. Các công thức sơ đồ cho các bài toán hai chiều không ổn định Bài 25. Tính ổn định và chọn giá trị “bước” thời gian Bài 26. Sơ đồ cho các dòng chảy siêu âm không gian không ổn định Bài 27. Sơ đồ cho các dòng chảy không gian Chương IV. Lời giải các bài toán động lực học khí trong các hệ tọa độ cong bất kì Bài 28. Hệ thống hóa các phương pháp mô tả bức tranh dòng chảy Bài 29. Hệ tọa độ không ổn định để khớp các biên di động. Chọn tham số Bài 30. Các phương trình động lực học chất khí ở dạng định luật bảo toán cho hệ tọa độ cong tuyến tính Bài 31. Tính toán tọa độ các điểm biên trong quá trình di chuyển Bài 32. Phương trình cho xây dựng lưới Bài 33. Hoàn thiện các thuật toán xây dựng lưới trên máy Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 6 Bài 34. Hệ phương trình sai phân cho các bài toán động lực học khí không ổn định trong hệ tọa độ cong tuyến tính cục bộ Bài 35. Tính toán các đại lượng thủy động trên lớp trung gian Bài 36. Một số điểm lưu ý về nguyên tắc tái xây dựng phương pháp Phần II. Minh họa các tính năng của phương pháp tính Chương V. Các bài toán động lực học khí không ổn định Bài 37. Nhiễu xạ sóng xung kích trên vật thể hai chiều Bài 38. Tương tác sóng xung kích hình cầu với mặt phẳng Bài 39. Nổ vật thể không đối xứng cầu Bài 40. Một số bài toán động lực học khí không ổn định trong kênh dẫn Bài 41. Truyền sóng xung kích trong một trường khí dẫn trong ống tròn khi có từ trường Bài 42. Tính toán va đập của các bản kim loại Chương VI. Tính toán các dòng chảy hỗn hợp bằng phương pháp thiết lập Bài 43. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval hai chiều Bài 44. Các dòng chảy hỗn hợp trong lưới phẳng Bài 45. Giãn nở quá tới hạn của luồng khí vào không gian rộng Bài 46. Va chạm “chuẩn” của luồng siêu âm với tường Bài 47. Chảy bao các vật thể phẳng và đối xứng trục Bài 48. Chảy bao vật thể không gian với vận tốc gần âm Bài 49. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval không gian Chương VII. Các dòng siêu âm ổn định Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 7 Bài 50. Chảy phẳng và chảy đối xứng trục của khí lý tưởng Bài 51. Dòng chảy trong phần không gian giãn của các ống phun không gian Bài 52. Giãn nở khuyết của các luồng khí thoát ra từ ống phun với mặt cắt đầu ra không tròn Bài 53. Tương tác hông của các luồng siêu âm đối xứng trục với các mặt rắn Bài 54. Chảy bao vật thể nón Bài 55. Chảy bao các vật thể đuôi nhọn với vận tốc siêu âm Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 8 CHƯƠNG I. XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL TUYẾN TÍNH BÀI 1. ÂM HỌC MỘT CHIỀU Phương trình âm học một chiều. Các định luật bảo toàn. Lời giải tổng quát và lời giải khi có điều kiện biên. Bài toán về phân rã gián đoạn. Đầu tiên chúng ta xem xét hệ phương trình vi phân mô tả sự lan truyền sóng âm phẳng 1 .0 ,0 1 2 00 0             x u c t p x p t u   (1.1) Trong đó u — vận tốc môi trường truyền sóng, p — áp suất trong môi trường đó (hay chính xác hơn, là các dao động nhỏ của vận tốc và áp suất so với giá trị của chúng trong môi trường ổn định, những dao động này được gây ra bởi sự truyền sóng âm trong môi trường đó). Các hằng số 00 ,c  phụ thuộc vào từng môi trường: 0  — mật độ của môi trường, 2 0 c đặc trưng cho độ nén của môi trường. Lấy tích phân hệ (1.1) theo một miền bất kỳ với biên  trên mặt phẳng biến tx, và chuyển sang dạng tích phân đường, ta được: .0 ,0 0 2 0 0       udtdx c p pdtudx   (1.2) 1 Để tìm hiểu thêm về phương trình âm học, có thể tìm hiểu thêm ở quyển [88], bài 63 hoặc hai chương đầu của quyển [76]. Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 9 Tích phân đầu tiên tương ứng với định luật bảo toàn động lượng, tích phân thứ hai — định luật bảo toàn khối lượng. Ngoài ra chúng ta có thể nhận được đinh luật bảo toàn năng lượng bằng cách sau. Trong hệ (1.1), nhân phương trình đầu với u 0  , phương trình sau với   2 00 cp  , sau đó lấy tổng theo hai vế ta có được:   .0 22 2 00 22 0                pu xc pu t   (1.3) Tương tự như trên, ta thu được đẳng thức tích phân, nó sẽ được gọi là định luật bảo toàn năng lượng sóng âm 2 . .0 22 2 00 22 0             pudtdx c pu   (1.4) Quay trở lại hệ (1.1), qua một vài biến đổi không mấy phức tạp thì chúng ta có thể đưa hệ về dạng đơn giản hơn, về sau này ta sẽ gọi nó là dạng chính tắc. Có thể thu được dạng chính tắc bằng cách sau, nhân phương trình thứ hai với   00 1 c  , sau đó lấy phương trình thứ nhất cộng và trừ đi phương trình vừa nhận được, ta thu được hai phương trình dưới đây: .0 ,0 00 0 00 00 0 00                                                 c p u x c c p u t c p u x c c p u t   (1.5) Nếu ký hiệu ,, 0000 Z c p uY c p u   (1.6) thì hệ (1.5) sẽ chuyển về dạng đơn giản sau 2 Về định luật bảo toàn năng lượng trong âm học, có thể xem bài 64 trong [88] hoặc chương 4 của [76]. Vấn đề này cũng được thảo luận trong [114] tr 249-256. Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group 10 ,0,0 00             x Z c t Z x Y c t Y (1.7) Từ đó ta có được     tcxgZtcxfY 00 ,  , trong đó f và g — là các hàm khả vi bất kỳ. Từ (1.6) ta thu được lời giải tổng quát cho hệ phương trình (1.1):             . 2 , 2 1 00 00 00 tcxgtcxf c p tcxgtcxfu    (1.8) Các đại lượng ZY, trong (1.6) được gọi là các bất biến Riemann. Công thức   tcxf c p u 0 00   chỉ ra rằng, đại lượng 00 c p uY   không đổi dọc theo đường thẳng consttcx  0 , tức là đồ thị hàm số )(xY chuyển dịch sang phải với vận tốc 0 c trong suốt quá trình. Tương tự, đại lượng 00 c p uZ   không đổi dọc theo đường thẳng consttcx  0 , đồ thị của nó di chuyển sang trái với cùng vận tốc đó. Điều này giải thích tại sao mà người ta gọi 0 c là vận tốc lan truyền sóng âm trong môi trường hay vận tốc âm thanh. Các đường thẳng        00 c dt dx consttcx trên mặt phẳng tx, được gọi là các đường đặc trưng của hệ (1.1). Công thức cho pu, trong (1.8) chỉ là lời giải tổng quát cho hệ (1.1), để thu được nghiệm duy nhất, ta cần đưa thêm vào (1.1) điều kiện đầu và điều kiện biên. Ví dụ, nếu như ta có điều kiện đầu như sau [...]... sai phân theo phương pháp đường đặc trưng Để tìm lời giải số cho các bài toán chứa phương trình vi phân đạo hàm riêng, chúng ta cần phải thay thế các hàm số liên tục bằng tập hợp các điểm rời rạc Để đơn giản, chúng ta chia miền tính toán thành các lớp theo tọa độ không gian nhờ các điểm x j với khoảng chia bằng nhau và bằng h , tức là x j  x j 1  h với mọi chỉ số nguyên j Đối với bài toán chúng ta... nhau ở các bước khác nhau do nhiều lý do, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm sau Các giá trị ứng với thời điểm t  t n 1 sẽ được gọi là các giá trị của “lớp dưới” và được kí hiệu bằng các chỉ số dưới, còn các giá trị ứng với thời điểm t n  t n 1   — các giá trị của “lớp trên” và được kí hiệu bởi các chỉ số trên Ngoài ra chúng ta cũng có thể xây dựng sơ đồ sai phân cho bài toán ban đầu bằng cách áp dụng các. .. thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính sau: u J ' 1/ 2  1 1 pJ ' 1/ 2  U J '  P ,  0 c0  0c0 J ' u J "1/ 2  1 1 pJ "1/ 2  U J "  P  0 c0  0c0 J " Những điểm lưu ý này sẽ được sử dụng khi chúng ta khảo sát tính ổn định cho các bài toán với miền tính toán giới hạn BÀI 4 CÁC VÍ DỤ Tính không ổn định của sơ đồ khi số Courant Cu  1 Vệt loang của các gián đoạn do sai số của sơ đồ tính toán khi... phương trình vi phân và ổn định thì khi giảm các bước h và  , lời giải tính toán thu được sẽ hội tụ về lời giải phương trình vi phân Ngược lại, trong trường hợp sơ đồ không ổn định sai số làm tròn tăng không giới hạn sẽ dẫn tới tràn bộ nhớ máy tính khi tính toán Để khảo sát tính ổn định của sơ đồ chúng ta có thể sử dụng phương pháp phổ Fourier Biểu diễn nghiệm phương trình (3.1) dưới dạng u j 1/ 2 ... tính toán theo các công thức (2.2), (2.3) với các giá trị Cu  c0 / h khác nhau Kết quả thu được như sau: Trường hợp 1 Khi Cu  1 sơ đồ sai phân cho kết quả chính xác như lời giải bài toán phân rã gián đoạn thu được trong bài một Trường hợp 2 Đối với Cu  2 , bảng 1 và 2 biểu diễn giá trị u j 1 / 2 , p j 1 / 2 thu được tại các nút lưới nằm kế cận điểm x  0 của năm bước tính toán đầu tiên ( n — số. .. sơ đồ sai phân đang xét xấp xỉ hệ phương trình âm học (1.1) Các phần dư có bậc một theo h và  điều này có nghĩa là khi giảm bước  và h bao nhiêu lần thì sai số của lời giải giảm cũng khoảng chừng ấy lần Kết luận: 1 Sơ đồ sai phân mà ta xét ở trên (được gọi là sơ đồ Godunov) xấp xỉ hệ phương trình âm học (1.1) 2 Bậc xấp xỉ của sơ đồ sai phân Godunov là bậc một Từ các phương trình (1.1) ta có thể loại... vệt loang gián đoạn với các dao động trong sơ đồ bậc hai Chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ đơn giản nhằm thấy rõ những điểm cơ bản đã được chỉ ra đối với phương trình âm học (1.1) và sơ đồ sai phân (2.2), (2.3) Khảo sát hệ phương trình (1.1) với các hệ số  0  0.25, c0  2.0 và điều kiện đầu ở dạng “bậc thang”: u  1.0, p  5.0 khi x  0 , u  0, p  2.0 khi x  0 Theo bài hai, khi “phân rã gián... dựng nghiệm “cổ điển” cho bài toán Bây giờ ta cho   0 và xem xét dãy nghiệm của bài toán Dễ thấy rằng, khi  rất bé thì đồ thị của nghiệm sẽ không khác biệt so với đồ thị của nghiệm mở rộng Khái niệm về nghiệm mở rộng được đưa ra bởi S.L.Sobolev BÀI 2 SƠ ĐỒ SAI PHÂN Xấp xỉ điều kiện đầu, xây dựng nghiệm từ kết quả giải tích của bài toán phân rã gián đoạn, giá trị trung bình và các định luật bảo toàn,... với Cu  0.8 , hình 4.1 a, b biểu diễn kết quả tính toán vận tốc u và áp suất p thu được tại các bước 5, 10, 15 và 20 Các gián đoạn bị loang ra xung quanh do đặc tính nhớt của sơ đồ Sự loang ra này có thể được giải thích như sau Như chúng ta đã làm rõ ở bài ba, sơ đồ sai phân được sử dụng để giải phương trình âm học xấp xỉ với độ chính xác bậc một hệ phương trình (3.4): 30 Copyright © 2011-2013 by VnCFD... cận điểm x  0 của năm bước tính toán đầu tiên ( n — số bước) Rõ ràng các giá trị này hoàn toàn khác biệt so với lời giải đúng Cần chú ý đến sự thay đổi dấu của các giá trị thu được Điều này được giải thích như sau Như đã chỉ ra trong bài ba khi khảo sát tính ổn định của sơ đồ bằng phương pháp phổ Fourier, giá trị đặc trưng  của toán tử sai phân, mô tả sự chuyển tiếp từ một lớp thời gian đến lớp tiếp . bày phương pháp số giải các hệ phương trình vi phân dạng hyperbol tựa tuyến tính cùng lời giải cho rất nhiều dạng bài toán thường gặp trong động lực học chất khí, động lực học khí quyển và nhiều. chiều không ổn định Bài 13. Phân rã gián đoạn Bài 14. Sơ đồ sai phân cho các bài toán động lực học khí một chiều Bài 15. Các dạng điều kiện biên cho các bài toán một chiều Bài 16. Xấp xỉ và. toán nhiều chiều Bài 22. Các định luật bảo toàn và các phương trình động lực học khí Bài 23. Lưới chuyển động và các phương pháp đơn giản nhất để tạo lưới chuyển động Bài 24. Các công thức