Đang tải... (xem toàn văn)
facebookhoitoanhoc Nguyễn Xuân Nam Chương I CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ PISA A VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.ân thể yếu ớt thì tâm không sáng, trí không cao Ngày thi tới gần, các em đã rèn luyện cả mấy năm trời nên chỉ cần ôn tập nhẹ nhàng, không nên thức khuya quá. Vì có thức thêm vài tiếng cũng không làm thay đổi được cục diện, nếu ốm thì hỏng cả mấy năm rèn luyện Thầy tư vấn mỗi ngày nên đầu tư 30 phút thể dục rèn luyện thân thể, nếu có thể đi bơi được thì rất tốt cho sức khỏe, xả stress và tư tưởng sảng khoái, sau đó về ôn tập sẽ năng suất hơn. Có sức khỏe và tâm tưởng thoải mái, khi vào phòng thi, các em sẽ thi đấu với 100%, thậm chí trên 100% phong độ. Bên cạnh đó, cần ăn uống đầy đủ, trước và khi đi thi không ăn đồ bẩn, dễ đau bụng. Ôn tập đúng giờ thi để tạo phản xạ làm bài
Chương I CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ PISA A VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI − Bắt đầu từ vấn đề thực tế − Diễn đạt lại nội dung vấn đề đặt theo khái niệm toán học xác định kiến thức tốn học có liên quan − Chuyển tốn thực tế thành tốn đại diện trung thực cho hồn cảnh thực tế thơng qua q trình đặt giả thuyết, tổng qt, hình thức hóa − Giải tốn phương pháp toán học − Làm cho lời giải có ý nghĩa hồn cảnh thực tiễn bao gồm xác định hạn chế lời giải Có thể minh họa phương pháp giải hình vẽ Lời giải thực tế 5 Vấn đề thực tế Lời giải toán học 1,2,3 Vấn đề toán học Thế giới thực Thế giới tốn học Ví dụ (Ván trượt) Eric người thích mơn trượt ván Anh đến cửa hàng có tên SKATER để xem giá loại ván trượt Ở cửa hàng bạn mua ván trượt hồn chỉnh mua phận rời nó: thân ván, phận bánh xe, trục, chi tiết kèm (vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông đai ốc) tự lắp cho ván trượt Sau bảng giá cửa hàng (Hình vẽ) Bảng giá cửa hàng Các mặt hàng Gía (zed) Ván trượt hoàn chỉnh 82 84 Thân ván 40, 60 65 Một bánh xe 14 36 Một gồm trục 16 Một chi tiết 10 20 (vịng bi, miếng đệm cao su, bu-lơng, đai ốc) Câu hỏi Eric có 120 zeds muốn mua ván trượt tốt tỏng khả Eric trả tiền cho phận ván trượt Hãy viết câu trả lời vào bảng đây: Bảng liệt kê số tiền Eric trả mua bô phận ván trượt Bộ phận Số tiền (Zeds) Thân ván Một bánh xe Một gồm trục Một chi tiết (vịng bi, miếng đệm cao su, bu – lơng, đai ốc) Ta có phân tích sau toán: Vấn đề đặt chọn mua ván trượt có chất lượng tốt Đây tình thực tế, thực phản ánh thực tế sống hàng ngày nhiều Học sinh hầu hết có lượng tiền định để chi tiêu muốn mua ván trượt chất lượng tốt với số tiền có Đối với học sinh khơng quen với ván trượt hình ảnh đưa để cung cấp thêm thông tin cần thiết Có thành phần cho ván trượt học sinh phải lựa chọn số thành phần (vì có mức giá cho trục) Học sinh dễ dàng xác định số tiền để mua thay đổi thành phần so sánh với số tiền ban đầu Có thể xây dựng tính ban đầu sau: Thân ván 40 60 65 Một bánh xe 14 36 Một gồm trục 16 Một chi tiết 10 20 Tổng số tiền Eric có 120 Cần tìm số mà tổng tối đa chúng nhỏ 120 Những hạn chế số là: số 40, 60 65; số thứ hai 14 36; số thứ ba 16; số thứ tư 10 20 Bài tốn diễn đạt dạng ngơn ngữ tốn học sau: Tìm số a,b,c số tự nhiên khác biết a + b + 16 + c £ 120 (hay a + b + c £ 104) với điều kiện a ¹ 0,b ¹ 0,c ¹ a Ỵ {40;60;65},b Î {14;36},c Î {10;20} Từ ta có lời giải toán: Cách 1: Học sinh sử dụng phuong pháp liệt kê phương án có thể: 40 60 65 40 60 65 40 60 65 40 60 65 14 14 14 36 36 36 14 14 14 36 36 36 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 10 10 10 10 10 20 20 20 20 20 20 20 Và tính tổng chúng để tìm phương án phù hợp (65,14,16,20) Tuy nhiên cách nhiều thời gian có cách đỡ tốn thời gian khơng? Giáo viên gợi ý học sinh tính số tiền nhiều phải bỏ tìm phương án giảm giá thành Cách 2: Có thể thấy ván trượt tốt có giá: 65 + 36 + 16 + 20 = 137 nhiều so với số tiền ta có nên cần lựa chọn phương án khác Cần giảm giá thành xuống 17 zeds Có khả sau để giảm giá thành: Thân ván: Có thể giảm 25 zeds Một trục bánh xe: giảm 22 zeds Trục: khơng giảm Các chi tiết: giảm 10 zeds Danh sách làm ta thấy phương pháp rõ ràng giảm lượng tiền mua bánh xe tổng số tiền mua 115 zeds phương án tối ưu So sánh hai cách làm ta thấy điều phải liệt kê khả xảy cách giải sau ngắn gọn, giúp ta tìm thấy lời giải tối ưu cách làm áp dụng nhiều tình khác thực tế sống Như giải toán cần suy nghĩ đến tất giải pháp có thể, đánh giá để tìm giải pháp tối ưu ý nghĩa (tiết kiệm thời gian, tiền bạc, công sức, ) Qua bước ta thấy phương án tốt tìm (65,14,16,20) Tuy nhiên toán cho thấy thực tế lý thuyết thực tế có khác biệt định Cụ thể ví dụ với lập luận thích hợp, giải pháp đưa (40, 36,16,20) coi “tốt hơn” ví dụ học sinh lập luận ván trượt có bánh xe chất lượng tốt vấn đề quan trọng Ví dụ (Nhịp tim) Vì lý sức khỏe, người ta nên hạn chế nỗ lực họ, ví dụ thể thao nhịp tim không vượt tần số định Trong nhiều năm qua mối quan hệ tỷ lệ khuyến cáo nhịp tim tối đa độ tuổi người mô tả công thức sau: Nhịp tim tối đa khuyến cáo = 220 - tuoi Nghiên cứu gần thấy cho thấy công thức nên sửa đổi chút Công thức sau: Nhịp tim tối đa khuyến cáo = 208 - (0, 7xtuoi ) Câu hỏi Hoàn thiện bảng sau nhịp tim tối đa khuyến cáo: Bảng nhịp tim tối đa khuyến cáo Tuổi (theo năm) 12 15 18 21 24 Nhịp tim tối đa khuyến 211 208 205 202 199 196 cáo (công thức cũ) Nhịp tim tối đa khuyến 201,7 197, 195, 191, cáo (công thức mới) Câu hỏi Ở tuổi cơng thức cũ cho xác giá trị giá trị bao nhiêu? Câu hỏi Bạn Hoa ý hiệu số hai nhịp tim tối đa khuyến cáo bảng giảm tuổi tăng lên Tìm cơng thức thể hiệu số theo tuổi Câu hỏi Nghiên cứu tập thể dục có hiệu nhịp tim 80% nhịp tim tối đa khuyến cáo theo công thức Hãy viết rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu để tập thể dục theo tuổi Câu hỏi Công thức làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi nào? Hãy giải thích câu trả lời bạn cách rõ ràng Bài toán cung cấp thông tin thực tế sức khỏe người Để làm toán này, học sinh cần phải chuyển thông tin cho đề thành phương trình đại số (hay hàm số), biết vận dụng kỹ đại số để giải vấn đề đặt Cụ thể là: − Câu yêu cầu học sinh kỹ tính toán đơn giản để điền số liệu vào bảng cho trước − Câu đòi hỏi học sinh phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa khuyến cáo theo hai công thức cũ hai hàm số f (x) = 220 - x g(x) = 208 - 0,7x với y thể nhịp tim tối đa phút x đại diện cho tuổi tính theo năm Vì hai hàm số có hệ số góc khác nên đồ thị chúng cắt điểm Học sinh tìm điểm cách giải phương trình 220 - x = 208 - 0,7x Hoặc giải hệ phương trình bậc hai ẩn để suy x = 40 y = 180 − Nội dung câu 3, thực chất ứng với kỹ rút gọn biểu thức Đó rút gọn: 220 - x - (208 - 0,7x) 0, 8(208 - 0,7x) − Câu giải dễ dàng học sinh biểu diễn đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ (Hình vẽ) Kết hợp với câu ta thấy, x > 40 ta có đồ thị hàm f (x) = 220 - x nằm phía đồ thị hàm g(x) = 208 - 0,7x x < 40 đồ thị hàm f (x) = 220 - x nằm phía đồ thị hàm g(x) = 208 - 0,7x Điều có nghĩa độ tuổi 40 nhịp tim khuyến cáo cơng thức cao công thức ban đầu thấp công thức ban đầu với lứa tuổi 40 Đồ thị biểu diễn nhịp tim theo công thức cũ Bài tốn minh họa cho lợi ích tốn học việc giải vấn đề có liên quan đến chất lượng sống người Học sinh phải kết hợp nhiều kỹ học: kỹ xây dựng hàm số, kỹ rút gọn biểu thức, kỹ vẽ đọc hiểu ý nghĩa thực tế đồ thị Ví dụ (Gía sách) Để làm giá sách người thợ mộc cần phận sau: gỗ dài, gỗ ngắn, 12 kẹp nhỏ, kẹp lớn 14 ốc vít Người thợ mộc có 26 gỗ dài, 33 gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 ốc vít Người thợ mộc làm nhiều giá sách? Ta có phân tích sau tốn: Vấn đề đặt tìm số giá sách người thợ mộc làm Câu hỏi đặt bối cảnh giới thực thực tế xác thực nhiên phức tạp so với hầu hết vấn đề thực tế khơng có thơng tin không liên quan dư thừa đưa Một giá sách cần số gỗ dài, gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 14 Chúng ta có theo đề số gỗ dài, gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự 26, 33, 200, 20, 510 Cần chuyển câu hỏi: “Người thợ mộc làm giá sách?” thành vấn đề tốn học Đó tìm bội số lớn tập (4, 6, 12, 14) thỏa mãn tập lại (26, 33, 200, 20, 510) Từ học sinh có mơ hình tốn học tốn thực tế thực chất tìm k số tự nhiên lớn (k ¹ 0) đồng thời thỏa mãn điều kiện 4k £ 26,6k £ 33,12k £ 200,2k £ 20,14k £ 510 (hay nói cách khác k số tự nhiên lớn thỏa mãn đồng thời điều kiện: k £ 26 33 200 20 510 ,k £ ,k £ ,k £ ,k £ , k ¹ ) 12 14 Từ ta có lời giải tốn: Cách Học sinh giải tốn cách liệt kê theo bảng đây: (4 12 14) cho giá (8 12 24 28) cho giá (12 18 36 42) cho giá (16 24 48 56) cho giá (20 30 60 10 70) cho giá (24 36 72 12 84) chi giá Tiếp tục liệt kê đến thấy số vượt ngồi giá trị tập cịn lại Ở tốn trên, học sinh thấy làm giá sách cần có 36 gỗ ngắn theo kiện đề ta có 33 gỗ ngắn Vậy người thợ mộc làm nhiều giá sách Tuy nhiên cách dài dòng số liệu đưa số lớn cách khơng khả thi Vậy cịn cách khác khơng? Cách Học sinh giải tốn nhanh dựa theo ước tính: 26 33 200 20 510 lớn 10 Vậy = + soconlai, = + soconlai , tỉ số ; ; 12 14 câu trả lời Ví dụ Xây dựng hình khối: Susan thích xếp khối hình từ khối lập phương nhỏ hình đây: Hình Susan có nhiều hình khối lập phương nhỏ Bạn sử dụng keo để gắn hình khối với để hình khối khác Bạn gắn khối lập phương để khối hình Hình Câu hỏi Susan cần khối lập phương nhỏ để làm khối hình 3? Hình Câu hỏi Susan cần khối lập phương nhỏ để làm khối hình 4? Hình Câu hỏi Susan nhận bạn sử dụng nhiều khối lập phương nhỏ mức cần thiết để làm hình khối hình Bạn thấy dán khối nhỏ để khối trơng giống hình rỗng bên Em có biết số lượng tối thiểu khối lập phương nhỏ mà bạn cần để làm hình khối hình rỗng bên không? Câu hỏi Bây Susan muốn làm hình khối trơng giống hình khối đặc có độ dài khối lập phương nhỏ, chiều rộng khối lập phương nhỏ chiều cao khối lập phương nhỏ Bạn muốn dùng khối lập phương nhỏ cách để lỗ rỗng lớn bên hình khối Số tối thiểu khối lâp phương nhỏ mà Susan cần dùng để làm hình khối bao nhiêu? Bài tốn gồm loại câu hỏi khai thác kiến thức thể tích hình hộp chữ nhật nhiên kiến thức tốn học khơng đưa cách tường minh mà ẩn giấu loạt tình xảy thực tế mà học sinh quan sát Để giải tập học sinh cần phải hiểu kiến thức toán học ẩn dấu bên tình đưa Nếu chưa thể hiểu thực chất yêu cầu với câu cách tự nhiên học sinh tìm cách để đếm khối lập phương nhỏ Ở hình có lớp khối lập phương lớp có 2x3 = khối lập phương nhỏ Vậy tổng số khối lập phương 6x2 = 12 khối Ở hình với cách tính tương tự ta tính số khối lập phương cần thiết 27 khối GV đưa câu hỏi: Vậy để tính số khối lập phương cần thiết cho khối hình hộp chữ nhật ta làm nào? Dựa việc so sánh cách làm ví dụ, học sinh nhận xét mặt thực chất ta tính số lượng khối lập phương cần có thơng qua tính thể tích hình hộp chữ nhật với khối lập phương nhỏ hiểu hình lập phương đơn vị Đây cách xây dựng cách tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương tự nhiên Câu 3, câu hỏi đòi hỏi vận dụng sâu Với hình vẽ trực quan học sinh tính số khối lập phương tối thiểu câu 26 khối Tuy nhiên mức độ khó tăng lên câu 4, học sinh dựa hình vẽ trực quan GV có gợi ý để giúp học sinh tìm cách làm Cụ thể coi hình cần xây dựng gồm lớp mà lớp gồm có 5x6 = 30 khối lập phương nhỏ Vậy ta bỏ bớt khối lập phương nhỏ lớp mà khơng làm ảnh hưởng đến hình dạng bên ngồi khối? Câu trả lời bỏ khối lập phương nhỏ nằm lớp trừ khối bao quanh Vậy số khối lập phương bỏ bớt lớp thứ bao nhiêu? (12 khối) Từ tính số lượng khối lập phương cần thiết là: 6x5x4 - 12x2 = 96 khối B LỜI BÌNH Pisa xây dựng nhà khoa học có uy tín nước phát triển nên đảm bảo tính xác Nhiều nội dung Pisa hồn tồn áp dụng chương trình Trung học sở nước ta Học sinh thông qua nội dung Pisa thấy mối liên hệ ứng dụng toán học thực tiễn sống Học sinh cảm thấy thích thú hang say học toán nhiều so với việc học kiến thức tốn học trừu tượng, khơ khan Pisa giúp học sinh thấy toán học thật hấp dẫn, thật bổ ích Pisa kích thích lịng ham mê, học tập em học sinh Với câu hỏi đa dạng, phong phú, phù hợp với nhiều mức độ trình độ học sinh khác nhau, Pisa giúp giáo viên đánh giá đầy đủ lực, tư duy, lực ngơn ngữ, lực vận dụng tốn học vào thực tiễn học sinh Pisa tài liệu quan trọng cần thiết cho việc dạy học toán bậc Trung học sở nước ta C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán (Tỉ giá) Mei – Ling từ Singapore chuẩn bị đến Nam Phi theo chương trình trao đổi sinh viên Cô cần đổi số đô la Singapore (SGD) thành đồng rand Nam Phi (ZAR) Câu hỏi Mei – Ling biết tỉ giá đô la Singapore đồng rand Nam Phi là: 1SGD = 4,2ZAR Mei – Ling muốn đổi 3000 đô la Singapore thành đồng rand Nam Phi với tỉ giá Mei – Ling đổi đồng rand Nam Phi? Câu hỏi Quay trở lại Singapore sau tháng, Mei – Ling cịn 3900ZAR Cơ muốn đổi thành đô la Singapore tỉ giá lúc là: 1SGD = 4ZAR Mei – Ling đổi đô la Singapore? Câu hỏi Trong tháng, tỉ giá thay đổi từ 4,2 xuống 4ZAR cho SGD Mei – Ling có lợi khơng cô đổi đồng rand Nam Phi thành đô la Singapore? Hãy đưa lời giải thích cho câu trả lời bạn Bài tốn (Trị chuyện qua Internet) Mark (từ Sydney, Australia) Hans (từ Berlin, Đức) thường xuyên trao đổi với cách sử dụng “Chat” Internet Để trị chuyện, họ phải đăng nhập lúc vào mạng Để tìm thời điểm thích hợp, Mark tìm bảng múi quốc tế (Hình vẽ) thấy sau: Bảng múi quốc tế Greenwich 12 Nửa đêm Berlin 1:00 AM Sydney 10:00 AM Câu hỏi Khi Sydney chiều Berlin giờ? Câu hỏi Mark Hans liên lạc với vào khoảng thời gian từ sang đến 30 phút buổi chiều (giờ địa phương) họ phải học Ngoài ra, từ 11 tối đến 7:00 sáng (giờ địa phương) họ thể trị chuyện ngủ Khi thời gian thuận lợi để Mark Hans trị chuyện với nhau? Hãy viết địa phương vào bảng đây: Địa Thời gian điểm Sydney Berlin Bài toán Bạn Lan nói với bạn Tuấn rằng: “Trái đất xoay quanh mặt trời cách mặt trời 150 triệu km Nếu khoảng cách tăng thêm kilomet thời gian mà trái đất quay quanh mặt trời thêm chưa đầy giây thơi” Bạn Lan nói có khơng ta coi quỹ đạo trái đất xoay quanh mặt trời hình trịn? Hình mơ quỹ đạo trái đất Bài tốn Cước phí bưu điện Zealand dựa vào trọng lượng mặt hàng (tính theo gam), cho bảng đây: Bảng cước phí bưu điện Zealand Trọng lượng (tính Cước phí gam) 0, 46 zeds Dưới 20g 0,69 zeds 21- 50 g 1, 02 zeds 51- 100 g 1, 75 zeds 101- 200 g 2,13 zeds 201- 350 g 2, 44 zeds 351- 500 g 3,20 zeds 501- 1000 g 4,27 zeds 1001- 2000 g 5, 03 zeds 2001- 3000 g Câu hỏi Jan muốn gửi bưu phẩm cho người bạn với trọng lượng 40 gam 80 gam Theo bảng cước phí Jan nên gửi bưu phẩm thành bưu kiện hay gửi tách riêng thành bưu kiện có lợi Vì sao? Bài toán (Sự tăng trưởng) Năm 1998, chiều cao trung bình nam nữ thiếu niên Hà Lan biểu diễn biểu đồ đây: Biểu đồ chiều cao thiếu niên Hà Lan năm 1998 Câu hỏi So với năm, chiều cao trung bình nữ niên 20 tuổi tăng 2, 3cm lên tới 170,6cm Chiều cao trung bình nữ niên 20 tuổi vào năm 1980 bao nhiêu? Câu hỏi Theo biểu đồ này, trung bình thời gian đời nữ giới cao nhanh nam giới độ tuổi? Câu hỏi Giải thích biểu đồ để thấy tốc độ tăng trưởng chiều cao trẻ em gái chậm lại sau 12 tuổi D ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán (Tỉ giá) Câu hỏi Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng Đáp án: 3000x4,2 = 12600(ZAR ) Câ hỏi Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng Đáp án: 975SGD Câu hỏi Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời mở Đáp án: Có thể có nhiều cách lập luận Có lợi nhận 4,2ZAR cho 1SGD phải trả 4ZAR cho 1SGD Có, tỷ giá hối đối thấp hơn, Mei -Ling nhận nhiều đô la Singapore với số tiền có Có, SGD rẻ 0,2ZAR Có, bạn chia cho 4,2 kết nhỏ so với bạn chia cho Có, có lợi cho khơng xuống nhận khoảng 50SGD Nhận xét Hai câu hỏi tập thuộc lực tái Cả hai yêu cầu học sinh liên kết thơng tin cung cấp theo u cầu tính tốn nhiên câu khó u cầu đảo ngược suy nghĩ Câu có mức độ khó cao yêu cầu học sinh trước hết xác định kiện tốn học có liên quan, so sánh hai câu trả lời, kết luận đồng thời giải thích kết luận đưa Ở kì đánh giá 2003 có 79,7% học sinh thuộc khối OECD trả lời câu hỏi Bài toán Câu hỏi Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng Đáp án: 10 sáng Câu hỏi Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời ngắn Đáp án: Học sinh trả lời đưa thời gian phù hợp với điều kiện cho chênh lệch thời gian Đáp án lấy từ khoảng thời gian sau đây: Sydney: 4:30 PM – 6:0 PM; Berlin: 7:30 PM – 9:00 AM Sydney: 7:00 AM – 8:00 AM; Berlin: 10:00 PM – 11:00 PM Nhận xét Mặc dù kiện đưa đơn giản câu hỏi phức tạp Học sinh cần hiểu thời gian ngủ thời gian trường hạn chế thời gian thích hợp hai người trị chuyện với Đầu tiên cần phải Có máy xúc Cho máy xúc hoạt động mình, máy xúc hoạt động mình, hai máy hoạt động để làm cơng việc Ta có thời gian máy xúc hoạt động nhiều trường hợp hai máy hoạt động Thời gian máy xúc hoạt động nhiều trường hợp hai máy hoạt động 30 phút Hỏi máy hoạt động để làm cơng việc nói thời gian bao lâu? Gọi x (h) thời gian máy làm xong việc Gọi y (h) thời gian máy làm xong việc Trong hai máy làm 1 + công việc x y Suy thời gian hai máy làm xong công việc là: 1 + x y = xy x + y (h) ìï ïï x - xy = (1) ï x +y Ta có hệ phương trình: ïíï ïï y - xy = 4,5 (2) ïïỵ x +y Trừ (1) cho (2): x - y = 3,5 Vậy x = y + 3,5 Thay (3) vào (2): y - (3) y(y + 3,5) = 4,5 đưa đến y2 - 9y - 15, 75 = 2y + 3,5 Giải phương trình ta y = 10,5;y = - (loại) Suy x = 10,5 + 3,5 = 14 Vậy máy xúc làm xong cơng việc 14 Máy xúc làm xong cơng việc 10 30 phút Ví dụ Một thùng dung tích 425m3 hai vịi có cơng dụng để bơm nước vào hút nước với lưu lượng không đổi Lần thứ nhất, người ta dùng hai vòi để bơm nước vào đầy thùng khơng chứa nước Thời gian vịi mở lâu vòi Lần thứ hai, thùng rỗng, người ta bơm nước vào thùng vòi thời gian thời gian hoạt động vịi lần trước Sau người ta bơm nước khỏi thùng vòi thời gian thời gian hoạt động vòi lần trước Kết vòi bơm phân nửa thể tích nước mà vịi bơm vào thùng Lần thứ ba, người ta bơm lúc hai vòi vào thùng rỗng 17 thùng đầy nước Tính thời gian hoạt động vịi lần thứ lưu lượng nước bơm mỗi vòi Gọi x (h) thời gian vòi thứ hai hoạt động lần thứ Suy x + (h) thời gian vòi thứ hai hoạt động lần thứ Gọi v1 (m3 / h) lưu lượng nước bơm vòi thứ v2 (m3 / h) lưu lượng nước bơm vịi thứ hai Phương trình xác định hoạt động hai vòi lần thứ nhất: v1(x + 5) + v2x = 425 Lần thứ hai thể tích nước bơm vào: v2(x + 5) (m3) Thể tích nước bơm ra: v1x (m3) Phương trình hoạt động lần thứ hai là: v1x = v2(x + 5) Trong hai vòi bơm nước vào được: v1 + v2 (m3) Phương trình hoạt động lần thứ ba là: 17(v1 + v2) = 425 hay v1 + v2 = 25 ìï v (x + 5) + v x = 425 (1) ïï ï v ( x + 5) v1x = (2) Ta có hệ phương trình: í ïï (3) v1 + v2 = 25 ïï ỵ Nhân hai vế phương trình (1) với 2x , phương trình (2) với (x + 5) cộng lại, ta có: 2x2v2 + (x + 5)2v2 = 850x Vậy v2 = 850x 2x + (x + 5)2 (2) cho ta v1 = v2(x + 5) 2x = 425(x + 5) 2x2 + (x + 5)2 Thay v1 v2 vừa tìm vào (3): 850x + 425(x + 5) = 25 2x2 + (x + 5)2 Đơn giản hai vế cho 25, quy đồng mẫu số: 34x + 17x + 85 = 3x2 + 10x + 25 3x2 - 41x - 60 = Giải phương trình ta được: x = 15; x = - (loại) Thay x = 15 vào ta tính v1 = 10, v2 = 15 Vậy lần một, vòi thứ hai hoạt động 15 Lưu lượng nước bơm vòi thứ 10m3 / h Lưu lượng nước bơm vịi thứ hai 15m3 / h Ví dụ Có ba người thợ A, B,C Để làm cơng việc anh A cần nhiều thời gian hai người B,C làm Thời gian anh B làm thời gian hai anh A C làm Anh B làm một thời gian so với lần thời gian anh A làm Hỏi người thợ A, B,C làm xong cơng việc ấy? Gọi x (h) thời gian anh A làm xong cơng việc Gọi y (h) thời gian anh B làm xong cơng việc Gọi z (h) thời gian anh C làm xong công việc Trong anh A làm công việc x Trong anh B làm công việc y Trong anh C làm công việc z 1 Trong hai anh B,C làm được: + công việc y z Vậy hai anh B,C làm xong công việc trong: 1 + x z Ta có phương trình: yz +3= x y +z = yz y + z (h) (1) Thời gian anh B làm thời gian hai anh A C làm Vậy lượng công việc A C làm lượng công việc B làm Ta có phương trình: 1 + = (2) x z y Theo giả thiết thời gian B làm lần thời gian A làm Vậy ta có phương trình: 2x - = y (3) ìï yz ïï + = x (1) ïï y + z ïï 1 + = Ta có hệ phương trình: ïíï ïï x z y (2) ïï 2x - = y (3) ïï ïỵ Từ (1) ta suy ra: Suy ra: Hay yz = x - y +z y +z = với x > yz x- 1 + = (4) y z x- Từ (2) suy ra: 1 = y z x Cộng (4) (5) ta có: (5) 1 = + y x- x Từ (3) ta có: 2(x - 4) = y Suy Từ (6) (7) ta được: Quy đồng mẫu gốc: (6) = y x- (7) 1 + = x- x x- x(x - 4) + (x - 3)(x - 4) = x(x - 3) x2 - 4x + x2 - 7x + 12 = x2 - 3x x2 - 8x + 12 = Giải ta được: x = 6, x = (loại) Suy ra: = Vậy y = y 6- 1 1 1 = = = Hay z = 12 z y x 12 Trong ba anh thợ A, B,C làm Vậy 1 1 1 2+ 3+1 + + = + + = = (công việc) x y z 12 12 Suy ba anh thợ A, B,C làm xong cơng việc Ví dụ Hai thành phố A, B bên bờ dịng sơng mà dịng nước chảy từ A đến B 24 Một thuyền từ A đến B quay trở khơng 10 Nếu tăng vận tốc thuyền nước đứng n thêm 40% qng đường thuyền khơng nhiều Tìm thời gian cần thiết để thuyền từ B A chưa tăng thêm vận tốc Gọi S (km) chiều dài quãng đường AB Gọi x (km/h) vận tốc thuyền nước đứng yên (chưa tăng lên) Gọi y (km/h) vận tốc dòng nước chảy từ A đến B (x > y) Ta có thời gian nước chảy từ A đến B là: S = 24 (1) y Thời gian thuyền chưa tăng vận tốc lên: S S + ³ 10 x +y x - y (2) Khi tăng vận tốc thêm 40% vận tốc thuyền nước đứng yên 1, 4x Thời gian thuyền lúc là: S S + £7 1, 4x + y 1, 4x - y ìï S (1) ïï = 24 ïï y ïï S S + ³ 10 (2) Ta có hệ: ïíï ïï x + y x - y ïï S S + £ (3) ïï îï 1, 4x + y 1,4x - y S S + ổ ổ (2) cho ta: ỗx x ữ yỗ + 1ữ yỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ốy èy ø ³ 10 x ö Đặt = k > ÷ 1÷ y ÷ ÷ ø 24 24 + ³ 10 k +1 k - 24(k - 1) + 24(k + 1) ³ 10(k + 1)(k - 1) ta có: 10k2 - 48k - 10 £ Vì k - > 0, k + > S (3) Hay S + ỉ x Cho ta: ổ x ữ yỗ yỗ ỗ1, + 1ữ ỗ1, ữ ữ ỗ ỗ y ố y ø è £7 ÷ 1÷ ÷ ÷ ø 24 24 + £7 1, 4k + 1,4k - 24(1, 4k - 1) + 24(1, 4k + 1) £ 7(k - 1)(k + 1) 1,96k2 - 9,6k - ³ Vì 1, 4k - > 0;1, 4k+ > ìï 10k2 - 48k - 10 £ ìï (k - 5)(5k + 1) £ ï ïí Û í Ta có hệ: ï ï ,96 k ,6 k ³ ïïỵ ïỵ (k - 5)(49k + 5) ³ ïìï k - £ Do 5k + > 0;49k + > nên íï Suy k - = ïỵ k - ³ Vậy k = Thời gian thuyền từ B A chưa tăng thêm vận tốc là: S S = ổ x- y x yỗ ỗ ỗ ốy 24 24 = = =6 k- ÷ 1÷ ÷ ÷ ø Vậy thời gian thuyền từ B A chưa tăng vận tốc C LỜI BÌNH Chúng ta vừa có số khám phá xoay quanh việc giải toán thực tế cách đưa hệ phương trình, bất phương trình bậc hai Đây dạng tốn tương đối khó Bài viết cần trao đổi thêm? Mong chia sẻ bạn D BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tốn Hai tơ khởi hành lúc hai điểm A, B ngược chiều để gặp Chúng gặp điểm C sau ngày Nếu xe 1, ngày xe 1,6 ngày xe gần 520 km Nếu xe quãng đường BC quãng đường AC thời gian xe xe ngày Tính quãng đường xe quãng đường AB xe xe Bài tốn Ban giám đốc xí nghiệm định trích quỹ khen thưởng để thưởng đồng cho số cán cơng nhân viên có thành tích cao xí nghiệp Khi thực hiện, có thêm người thưởng ngồi danh sách duyệt Phịng kế hoạch tài nhận thấy số tiền trích chia cho tổng số người khen thưởng người nhận mức dự kiến 400.000 đồng Do ban giám đốc định trích thêm 9.000.000 đồng để bổ sung vào số tiền khen thưởng trích Vì vậy, người khen thưởng nhận 2.500.000 đồng Hỏi số người khen thưởng số tiền phát? Bài tốn Hai miếng đồng thau có tổng khối lượng 60 kg Miếng thứ chứa 10 kg đồng nguyên chất, miếng thứ hai chứa kg đồng nguyên chất Tính khối lượng miếng đồng thau thứ tỉ lệ phần trăm đồng nguyên chất chứa miếng thứ biết tỉ lệ phần trăm đồng nguyên chất chứa miếng thứ hai cao miếng thứ 15% Bài toán Ba máy gặt cũ máy gặt hoạt động ngày gặt xong cánh đồng lúa chín Biết để gặt xong cánh đồng lúa ta dùng máy gặt sớm ngày so với ta dùng máy giặt cũ Hỏi suất gặt máy gấp lần suất gặt máy cũ Bài tốn Hai bến sơng A, B cách 10 km Nước chảy từ A đến B với vận tốc km/h Có hai thuyền chạy sông vận tốc nước yên lặng Thuyền khởi hành lúc từ B chạy A quay đậu trung điểm M AB Thuyền khởi hành lúc 40 phút từ A chạy B quay đậu trung điểm M a) Tìm vận tốc hai thuyền nước yên lặng thuyền đến M lúc b) Tìm vị trí lúc hai thuyền gặp di chuyển sông trước đến M c) Tính thời gian chuyến thuyền E ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán Gọi x (km/ngày) quãng đường ngày xe y (km/ngày) quãng đường ngày xe Object 3030 ìï 1, 8x + 1,6y = 520 ïï x y nghiệm hệ: í 2x 4y ïï =2 ïïỵ y x Giải hệ ta có: x = 200, y = 100 Đáp số: Xe 1: 200 km/h Xe : 100 km/h; AB = 1800 km Bài toán Gọi x (đồng) số tiền trích để khen thưởng lúc đầu y (người) số người khen thưởng lúc đầu có danh sách ( x > 0, y nguyên dương) Theo giả thiết, ta có hệ phương trình: ìï x x ïï = 400000 y y+3 í ïï ïïỵ x + 9000000 = 2500000(y + 3) Giải hệ ta x = 36000000, y = 15 Đáp số: số người khen thưởng 18 người số tiền phát 45000000 đồng Bài toán Gọi x% tỉ lệ đồng nguyên chất miếng đồng thau thứ y (kg) khối lượng miếng đồng thau thứ nhất, y > 0, x > ìï xy ïï = 10 ï 100 x y nghiệm hệ phương trình: í ïï (x + 15)(60 - y) =8 ïï 100 ïỵ Giải hệ ta được: y = 40, x = 25 Bài toán Gọi x (ha/ngày) suất gặt máy gặt y (ha/ngày) suất gặt máy gặt cũ S (ha) diện tích cánh đồng lúa chín xét ìï 6(2x + 3y) = S (1) ïï Dựa vào giải thích ta có hệ: íï S S ïï 9y - 3x = (2) ïỵ Thay (1) vào (2) đưa đến phương trình: ỉ x ỗk = > 0ữ ữ 4k2 - 21k - 18 = ỗ ữ ỗ ữ ỗ y ố ø Giải phương trình ta k = Đáp số: lần Bài toán Gọi v (km/h) vận tốc hai thuyền dòng nước đứng yên; v > Thời gian thuyền chạy từ B đến A quay trở lại M là: 10 + (h) v- v +1 Thời gian thuyền chạy từ A đến B quay trở lại M là: 10 + (h) v +1 v- Thuyền khởi hành sau (h) lại đến M lúc với thuyền nên: 10 + v- v +1 ỉ10 ữ ỗ ữ + = hay - = ỗ ữ ỗ ữ ốv + v - 1ø v- v +1 Giải ta tìm được: v = Gọi C vị trí gặp ( AC = x (km); < x < 10 ) Ta có phương trình: ỉ x x 1ử ữ = xỗ = x = ỗ - ữ ữ ữ ỗ v- v +1 ố3 5ứ ỏp số: v = (km/h) a) b) Gặp M lúc 40 phút c) Thuyền 1: 20 phút, thuyền : 30 phút §10 BÀI TOÁN GAUSS VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TẾ A KIẾN THỨC LIÊN QUAN Truyện kể cịn nhỏ, nhà tốn học Đức Cari Friedrich Gauss (1777 – 1855) thể tài toán học phi thường Năm 10 tuổi (còn học sinh tiểu học) buổi học toán, thầy giáo hỏi học sinh: Tổng 1+ + + + 99 + 100 bao nhiêu? Xem tính nhanh xác Thầy giáo vừa nói xong Gauss giơ tay trả lời tổng 100 số 5050 Khi nghe Gauss cho đáp số nhanh đến vậy, bạn học sinh nhìn Gauss vừa ngạc nhiên, vừa nghi ngờ, có thầy giáo biết đáp số Gauss làm tính nhanh vậy? Gauss nói với người cậu phát dãy số từ đến 100 có điểm cộng hai số đầu số cuối theo thứ dần vào 101 tất có 50 đơi Như 100 số từ đến 100 có 50 đơi 101 Vì tổng 100 số 101.50 = 5050 Chúng ta xem bảng đây: ® ® ® ® 48 ® 49 ® 50 100 ® 99 ® 98 ® ® 53 ® 52 ® 51 101 101 101 101 101 101 Có phải điều mà Gauss phát hiện? Trên giai thoại cách giải độc đáo mà nhà toán học Gauss tìm lời giải tốn mà thầy giáo cho Để ghi nhận tính sáng tạo nhà toán học Gauss nên nhiều người gọi tốn tính tổng 1+ + + 99 + 100 tốn Gauss, Gauss khơng phải người tìm tốn B VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biểu diễn toán toán học toán thực tế tương đương Giải toán thực tế Rút kết luận tốn Ví dụ Tính tổng 1+ + + + (n - 1) + n Ta giải toán thực tế hoá toán toán học sau: “Ban tổ chức cần chọn số n + người để tham gia chương trình “Trị chơi X” kênh truyền hình Y Hỏi có cách chọn?” Ta lập luận theo hai cách: Thứ Người thứ có n + cách chọn Sau cịn n người nên người thứ hai có n cách chọn Vậy có n(n + 1) cách chọn Nhưng cách chọn hai người AB cách chọn hai người BA , số cách chọn n(n + 1) cách chọn Thứ hai Nếu có người thơi có cách chọn Nếu có thêm người thứ ba có thêm cách chọn có người thứ ba Ta phải chọn hai người lúc đầu thi đấu với người thứ ba có thêm cách chọn Nếu có thêm người thứ tư có thêm cách chọn cho người thứ tư Ta phải chọn ba người trước thi đấu với người thứ tư này, có thêm cách chọn, … Nếu có thêm người thứ n + có thêm cách chọn có người thứ n + Ta phải chọn n người có để thi đấu với người thứ n + 1, có thêm n cách chọn Vậy số cách chọn là: 1+ + + + (n - 1) + n cách chọn Vì hai kết cách lập luận thứ thứ hai một, nên: 1+ + + + (n - 1) + n = n(n + 1) Ví dụ Tính tổng 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) + + + + 2 2 Ta thực tế hố ví dụ thành tốn sau “Có (n + 2) người đăng kí tham gia chơi “Trị chơi E” kênh truyền hình F Ban tổ chức muốn chọn người vào vịng chơi Hỏi có cách chọn?” Ta lập luận theo hai cách: Thứ Người thứ có (n + 2) cách chọn Sau cịn (n + 1) người nên người thứ hai có (n + 1) cách chọn Cuối cịn lại n người nên có n cách chọn người thứ ba Vậy có n(n + 1)(n + 2) cách chọn Nhưng cách chọn ba người ABC cách chọn ba người ACB, BCA, BAC ,CAB ,CBA Do số cách chọn n(n + 1)(n + 2) cách chọn Thứ hai Nếu có người thơi có cách chọn Nếu có thêm người thứ tư có thêm cách chọn có người thứ tư Ta phải chọn hai ba người lúc đầu thi đấu với người thứ tư Theo cách lập luận ví dụ 1, có 3.2 cách chọn Nếu thêm người thứ năm có thêm cách chọn cho người thứ năm Ta phải chọn hai 3.4 cách chọn Nếu có thêm người thứ (n + 2) có thêm cách chọn có người thứ (n + 2) bốn người trước thi đấu với người thứ năm này, có thêm Ta phải chọn hai (n + 1) người có để thi đấu với người thứ (n + 2) có thêm n(n + 1) cách chọn Vậy số cách chọn là: 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) cách chọn + + + + 2 2 Vì hai kết cách cách một, nên: 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) + + + + = 2 2 Ví dụ Tính tổng 1.2 (m - 1) 2.3 m 3.4 (m + 1) (n - (m - 1)) (n - 2)(n - 1) + + + + 1.2.3 (m - 1) 1.2.3 (m - 1) 1.2.3 (m - 1) 1.2.3 (m - 1) Trước tiên ta cần thực tế hố ví dụ sau: “Ban tổ chức cần chọn m số n người để tham gia vịng chơi chương trình “Trị chơi X” (m £ n) Hỏi có cách chọn?” Ta có nhận xét, để chọn m số n người tham gia ta có hai khả năng: +) Nếu khơng tính đến thứ tự lựa chọn có cách chọn +) Nếu có tính đến thứ tự người lựa chọn có 1.2.3 (m - 1).m cách chọn khác (chọn người thứ số m người có m cách chọn, chọn người thứ hai số m- người cịn lại có m- cách chọn,…; người thứ m cịn lại nên có cách chọn nhất) Nếu đặt M = 1.2.3 (m - 1) số khả mM Ta lập luận sau: Thứ Chọn người thứ số n người có n cách chọn; chọn người thứ hai số n - người cịn lại có n - cách chọn,…; chọn người thứ m số n - (m - 1) người cịn lại có n - (m - 1) cách chọn Vậy tính đến thứ tự người lựa chọn có tất n(n - 1)(n - 2) (n - (m - 1)) cách chọn m n người Theo nhận xét trên, ta có số cách chọn thực n(n - 1)(n - 2) (n - (m - 1)) mM Thứ hai 1.2.3 (m - 1) Nếu có m người thơi có = cách chọn M Nếu có thêm người thứ (m + 1) có thêm cách chọn có người thứ (m + 1) Ta phải chọn m- người m người lúc đầu thi đấu với người Ta có 2.3 (m - 1).m cách chọn M 3.4 (m + 1) Nếu có thêm người thứ (m + 2) có thêm cách chọn có người thứ M m + Tiếp tục có thêm người thứ n có thêm (n - (m - 1)) (n - 2)(n - 1) cách chọn M Vậy số cách chọn m n người là: 1.2 (m - 1) 2.3 m 3.4 (m + 1) (n - (m - 1)) (n - 2)(n - 1) + + + + M M M M Vì hai kết một, ta có: 1.2 (m - 1) 2.3 m 3.4 (m + 1) (n - (m - 1)) (n - 2)(n - 1) + + + + M M M M n(n - 1)(n - 2) (n - (m - 1)) mM (trong M = 1.2 (m - 1) ) = C LỜI BÌNH Trên ứng dụng việc thực tế hoá toán toán học Để giải toán toán học, ta phát biểu thành tốn thực tế Sau đó, ta giải tốn thực tế Từ ta rút kết toán toán học Mục cho thấy vẻ tuyệt đẹp mối liên hệ toán thực tế toán toán học D BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán Cho (n + 1) điểm phân biệt Có đoạn thẳng nối (n + 1) điểm đó? Bài tốn Trong thi đấu bóng bàn ngày Hội Khoẻ Phù Đổng, đấu thủ đến dự thi bắt tay Người ta đếm tất 120 bắt tay Hỏi có đấu thủ dự thi? E ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DÂN GIẢI Bài toán Số đoạn thẳng tính qua cách sau: Thứ Mỗi điểm tạo với n điểm cịn lại n đoạn thẳng Có (n + 1) điểm, nên có n(n + 1) đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, nên số đoạn thẳng có là: n(n + 1) đoạn thẳng Thứ hai Qua hai điểm có đoạn thẳng nối chúng Điểm thứ nối với n điểm cịn lại, có n đoạn thẳng Điểm thứ hai nối với điểm thứ nên cịn nối (n - 1) điểm cịn lại, có (n - 1) đoạn thẳng Điểm thứ ba nối với điểm thứ điểm thứ hai nên nối (n - 2) điểm lại, có (n - 2) đoạn thẳng… Điểm thứ n nối với điểm thứ (n + 1) nên có đoạn thẳng Điểm thứ (n + 1) nối với n điểm trước Vậy có: n + (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + + 1+ (đoạn thẳng) nối (n + 1) điểm Do hai cách lập luận một, nên 1+ + + + (n - 1) + n = n(n + 1) Bài tốn Ta đánh dấu hình vẽ đấu thủ điểm bắt tay hai đấu thủ đoạn thẳng nối hai điểm Với hai điểm kẻ đoạn thẳng Với điểm kẻ đoạn thẳng (hình a), với điểm kẻ đoạn thẳng Với điểm kẻ 10 đoạn thẳng (hình b) Với điểm kẻ 15 đoạn thẳng Với điểm kẻ 21 đoạn thẳng Với điểm kẻ 28 đoạn thẳng Với điểm kẻ 36 đoạn thẳng Với 10 điểm kẻ 45 đoạn thẳng Với 11 điểm kẻ 55 đoạn thẳng Với 12 điểm kẻ 66 đoạn thẳng Với 13 điểm kẻ 78 đoạn thẳng Với 14 điểm kẻ 91 đoạn thẳng Với 15 điểm kẻ 105 đoạn thẳng Với 16 điểm kẻ 120 đoạn thẳng Vậy có 16 đấu thủ dự thi