Đang tải... (xem toàn văn)
Chương Chuyên đề 23 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC A Một số ví dụ Ví dụ 1 Giải hệ phương trình (Tuyển sinh lớp 10, chuyên Toán, Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội, năm học.Cách làm bài thi toán vào 10 đạt điểm cao: Có sức khỏe là có tất cả Thân thể yếu ớt thì tâm không sáng, trí không cao Ngày thi tới gần, các em đã rèn luyện cả mấy năm trời nên chỉ cần ôn tập nhẹ nhàng, không nên thức khuya quá. Vì có thức thêm vài tiếng cũng không làm thay đổi được cục diện, nếu ốm thì hỏng cả mấy năm rèn luyện Thầy tư vấn mỗi ngày nên đầu tư 30 phút thể dục rèn luyện thân thể, nếu có thể đi bơi được thì rất tốt cho sức khỏe, xả stress và tư tưởng sảng khoái, sau đó về ôn tập sẽ năng suất hơn. Có sức khỏe và tâm tưởng thoải mái, khi vào phòng thi, các em sẽ thi đấu với 100%, thậm chí trên 100% phong độ. Bên cạnh đó, cần ăn uống đầy đủ, trước và khi đi thi không ăn đồ bẩn, dễ đau bụng. Ôn tập đúng giờ thi để tạo phản xạ làm bài Để tạo thói quen và phản xạ làm bài tốt nhất, trước kỳ thi, các em nên tập làm đề vào đúng thời gian thi thực. Chuẩn bị giấy thi, đề thi và các vật dụng phục vụ làm bài thi; bấm giờ làm bài nghiêm túc, bắt đầu đúng giờ. Áp dụng đúng những điều 2Đ, 3K đã được nhắc ở trên. Lưu ý, khi đi thi, cần chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập (thước, compa, máy tính, ít nhất 3 chiếc bút cùng màu và chai nước trong suốt có nắp chặt để uống trong phòng thi). Một thân thể khỏe mạnh, tinh thần thoải mái, kiến thức chắc chắn, kỹ năng thành thạo, các em ắt sẽ đăng khoa Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 tại TP.HCM: 3 thí sinh vi phạm quy chế thi trong ngày thi đầu tiên Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 tại TP.HCM: 3 thí sinh vi phạm quy chế thi trong ngày thi đầu tiên 11062022 16:18 Bộ GDĐT phản hồi sau thông tin khởi tố 2 cá nhân làm lộ đề thi Sinh tốt nghiệp THPT 2021 Bộ GDĐT phản hồi sau thông tin khởi tố 2 cá nhân làm lộ đề thi Sinh tốt nghiệp THPT 2021 11062022 14:52 Kết thúc môn Văn nhẹ nhàng, thí sinh tự tin vào phòng thi môn Tiếng Anh Kết thúc môn Văn nhẹ nhàng, thí sinh tự tin vào phòng thi môn Tiếng Anh 11062022 14:26 Theo Nguyễn Liên (dantri.com.vn) Từ khóa: đạt điểm cao môn Toán lớp 10 cách làm bài thi toán vào 10 đạt điểm cao Mời các bạn đồng hành cùng báo Dân Việt trên mạng xã hội Facebook để nhanh chóng cập nhật những tin tức mới và chính xác nhất. Tin Cùng Chuyên Mục Xem Theo Ngày 5 Tháng 5 2023 XEM Loạt trường đại học xét học bạ 2023 ở miền Bắc, thí sinh nên cập nhật ngay Loạt trường đại học xét học bạ 2023 ở miền Bắc, thí sinh nên cập nhật ngay Thi đánh giá năng lực ĐH Sư phạm Hà Nội 2023: Cách tô phiếu trắc nghiệm chính xác nhất Thi đánh giá năng lực ĐH Sư phạm Hà Nội 2023: Cách tô phiếu trắc nghiệm chính xác nhất Đề thi môn Văn lớp 7 gây choáng, giáo viên phải thốt lên quá khó: Trưởng phòng GDĐT nói gì? Đề thi môn Văn lớp 7 gây choáng, giáo viên phải thốt lên quá khó: Trưởng phòng GDĐT nói gì? Lần đầu tiên tại TP.HCM, lãnh đạo các trường học tham gia tập huấn kỹ năng truyền thông, xử lý khủng hoảng Lần đầu tiên tại TP.HCM, lãnh đạo các trường học tham gia tập huấn kỹ năng truyền thông, xử lý khủng hoảng HUTECH công bố điểm chuẩn xét tuyển sớm: Vào ngành Dược có dễ? HUTECH công bố điểm chuẩn xét tuyển sớm: Vào ngành Dược có dễ? Thi vào lớp 10: Nhiều phụ huynh chủ động “phân luồng” cho con Thi vào lớp 10: Nhiều phụ huynh chủ động “phân luồng” cho con Tin Nổi Bật Nữ sinh tốt nghiệp xuất sắc cùng lúc hai trường đại học, là “chiến thần ngoại khóa” cừ khôi Nữ sinh tốt nghiệp xuất sắc cùng lúc hai trường đại học, là “chiến thần ngoại khóa” cừ khôi Thí sinh trượt tốt nghiệp THPT năm trước, muốn dự thi năm nay thì đăng ký ở đâu? Bỏ cả kỳ nghỉ lễ, học sinh vẫn không chọn nổi nguyện vọng vào lớp 10 Học phí đại học chạm trần, các trường loay hoay tự chủ 26 Xem thêm Quảng Cáo >
Chương Chuyên đề 23 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC A Một số ví dụ 2x2 − 3y2 + xy = 12( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 6x + x y = 12+ 6y + y x ( 2) (Tuyển sinh lớp 10, chuyên Toán, Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội, năm học 20142015) Giải 2x2 − 3y2 + xy = 12( 1) 2 6x + x y = 12+ 6y + y x ( 2) 2x2 − 2xy + 3xy − 3y2 = 12 ( x − y) ( 2x + 3y) = 12 ⇔ 2 6x − 6y + x y − y x = 12 ( x − y) ( + xy) = 12 Vì vế phải phương trình số khác 0, nên x − y ≠ x− = Suy 2x + 3y = + xy ⇔ ( x − 3) ( y − 2) = ⇔ y− = * Trường hợp Xét x − = ⇒ x = thay vào phương trình (1) ta được: 18 − 3y2 + 3y = 12 ⇔ y2 − y − = Giải ta y1 = −1; y2 = * Trường hợp Xét y − = ⇒ y = thay vào phương trình (1) ta được: 2x2 − 12+ 2x = 12 ⇔ x2 + x − 12 = Giải ta x1 = 3; x2 = −4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y) là: ( 3; −1) ; ( 3;2) ; ( −4;2) x − + y − = 3( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 xy + x + y = x − 2y ( 2) Giải Tìm cách giải Ta nhận thấy bình phương vế phương trình (1) thu kết khơng khả quan Vì ta tập trung vào phân tích phương trình (2) thành nhân tử Sau biểu thị x theo y, vào phương trình (1) ta phương trình ẩn y Giải phương trình vừa nhận Trình bày lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình (2) ⇔ ( x + y) ( x − 2y − 1) = ⇔ x − 2y − = ( x + y > 0) ⇔ x = 2y + 1, thay vào phương trình (1) ta được: 2y + y − = ⇔ ( ) ( 2y − + ) y− 1− = = ⇔ ( y − 2) + ÷= ⇔ y = 2y + y− 1+ y − + 1÷ 2y + ⇔ x = 2y + = ⇔ 2y − + y − 1− Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y) là: ( 5;2) x2 + xy = 3( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình: y + y x + 3x − 6y = 0( 2) Giải Tìm cách giải Các phương trình (1), (2) khơng thể đưa phương trình tích Quan sát phương trình (2) thấy hạng tử đơn thức bậc bậc ba, cịn phương trình (1) hạng tử chứa bậc hai bậc Do phương trình (1) vào phương trình (2) để hạng tử bậc ba Phương trình ln phân tích đa thức thành nhân tử được, cách giải gọi cân bậc Trình bày lời giải x = y = khơng nghiệm phương trình Từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) thu gọn ta được: ( ) y3 + y2x + ( x − 2y) x2 + xy = ⇔ y3 + x3 − x2y − xy2 = x+ y = ⇔ ( x + y) ( x − y) = ⇔ x− y = * Trường hợp Xét x + y = ⇔ x = − y thay vào phương trình (1): y2 − y2 = vô nghiệm * Trường 2y2 = ⇔ y = hợp Xét x− y = ⇔ x = y thay 3 ⇔ y= x= 2 3 ; ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) ÷ 2 x3 + 2xy2 + 12y = ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x + 8y = 12 ( 2) Giải Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta được: vào phương trình (1): ( ) x3 + 2xy2 + y x2 + 8y2 = ( ) ( ) ( ) ⇔ x3 + 8y3 + x2y + 2xy2 = ⇔ ( x + 2y) x2 − xy + 4y2 = x + 2y = ⇔ 2 x − xy + 4y = * Trường hợp x + 2y = ⇔ x = −2y thay vào phương trình (2) ta được: ⇔ 4y2 + 8y2 = 12 ⇔ y2 = ⇔ y = ± Suy x = m * Trường hợp x2 − xy + 4y2 = ⇔ x = y = thay vào phương trình (2) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm ( x; y) là: ( −2;1) ; ( 2; −1) x2 + y2 + xy + = 4y( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình x + ( x + y − 2) = y( 2) ( ) (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Giang, năm học 2013-2014) Giải Tìm cách giải Bài tốn khó phát cách giải Quan sát kỹ cấu tạo phương trình, nhận thấy từ phương trình (1) x2 + = 4y − y2 − xy vào phương trình (2) hai vế có nhân tử y chung, nên có khả giải dễ dàng, cách giải Ngồi ra, phương trình (1) làm xuất x2 + x + y − nên ta nghĩ tới đặt ẩn phụ, cách giải Trình bày lời giải Cách Từ phương trình (1) suy ra: x + = y( − x − y) Thay vào phương trình (2) ta được: y( − x − y) ( x + y − 2) = y ⇔ y ( − x − y) ( x + y − 2) − 1 = * Trường hợp Xét y = thay vào phương trình (1) ta được: x2 + = vô nghiệm * Trưởng hợp Xét ( − x − y) ( x + y − 2) − = Đặt x + y = t , ta được: ( − t) ( t − 2) − = ⇔ t − 6t + = ⇔ t = Suy x + y = ⇒ x = 3− y thay vào phương trình (1) ta được: ( 3− y) + y2 + ( − y) y + 1= 4y ⇔ y2 − 7y + 10 = Giải ta được: y1 = 2; y2 = * Với y = ta x = – = * Với y = ta x = – = -2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y) là: ( 1; 2) ; ( −2; 5) Cách * Xét y = thay vào phương trình (1) ta được: x2 + = Phương trình vơ nghiệm * Xét y ≠ hệ phương trình có dạng: ( ( x2 + x + + y( x + y − 2) = 2y y + ( y + x − 2) = ⇔ x2 + ( x + y − 2) = y x + x + y − = ) y ( ) ) u + v = x2 + = u,x + y − = v hệ phương trình có dạng: Đặt y u.v = Suy u, v nghiệm phương trình x2 − 2x + = ⇔ x1 = x2 = x2 + x2 + = y x2 + = − x x2 + x − = =1 ⇔ ⇔ ⇔ Do u = 1, v = ⇒ y y = 3− x y = 3− x x + y− = y = 3− x Giải hệ phương trình ta nghiệm hệ phương trình ( x; y) là: ( 1; 2) ; ( −2; 5) 2x y + y x = 4y − Ví dụ Giải hệ phương trình 2y x + x y = 4x − Giải Tìm cách giải Bài tốn có dạng đối xứng loại Suy luận tự nhiên ta có hai cách giải: - Cách Đánh giá ẩn, để chứng tỏ x = y - Cách Vế trừ vế, chứng tỏ x = y Trình bày lời giải Cách Điều kiện x ≥ 3 ; y≥ 4 ( ( ) ) xy x + y = 4y − 2x y + y x = 4y − ⇔ 2y x + x y = 4x − xy y + x = 4x − 4x − > 4y − dẫn đến: * Nếu x > y suy ( ) ( ) xy y + x > xy x + y ⇒ y > x mâu thuẫn * Nếu x < y tương tự dẫn đến mâu thuẫn Do x = y suy ra: 2x x + x x = 4x − ⇔ 3x x = 4x − ⇔ x3 − 4x + = Giải ra, ta được: x1 = 1; x2 = −1− 13 −1+ 13 ; x3 = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) là: −1 − 13 −1 − 13 −1 + 13 −1 + 13 (1;1), ; ; ÷ ÷ ÷; ÷ 2 2 Cách Từ phương trình (1) (2), vế trừ vế ta được: x y − y x + 4x − − 4y − = ) 3( 4x − − 4y + 3) ) 12 ⇔ xy ( x− y + ⇔ xy ( x− y + ⇔ ( 4x − + 4y − ( x− y )( =0 x+ y 4x − + 4y − ) =0 12 x − y xy + ÷= ÷ 4x − + 4y − ) ⇔ x− y = 0⇔ x= y Suy ra: 2x x + x x = 4x − ⇔ 3x x = 4x − ⇔ x3 − 4x + = Giải ra, ta được: x1 = 1; x2 = −1− 13 −1+ 13 ; x3 = 2 −1− 13 −1− 13 −1+ 13 −1+ 13 ; ; ÷; ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: ( 1;1) ; ÷ ÷ 2 2 xz = x + 4(1) Ví dụ Giải hệ phương trình: 2y = 7xz − 3x − 14 (2) x2 + z2 = 35 − y2 ( ) Giải Từ phương trình (1) x = xz − thay vào phương trình (2) ta được: 2y2 = 7xz − 3( xz − 4) − 14 ⇔ y2 = 2xz − Thay vào phương trình (3) ta được: x+ z = x2 + z2 = 35 − ( 2xz − 1) ⇔ ( x + z) = 36 ⇔ x + z = −6 • Trường hợp Xét x + z = ⇔ z = − x thay vào phương trình (1) ta được: x.( − x) = x + ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x1 = 1; x2 = Với x = 1⇒ z = − 1= ; thay vào phương trình (3): 1+ 25 = 35 − y2 ⇔ y = ±3 Vói x = ⇒ z = − = 2; thay vào phương trình (3): 16 + = 35 − y2 ⇔ y = ± 15 Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z) là: ( 1; 3;5) ; ( 1; −3; 5) ; ( 4; )( ) 15;2 ; 4; − 15;2 • Trường hợp Xét x + z = −6 ta có: x ( −6 − x) = x + ⇔ x2 + 7x + = ⇔ x = −7 ± 33 Với x = −7 − 33 −5 + 33 thay vào (3) ta phương trình vơ nghiệm ⇒z= 2 Với x = −7 + 33 −5 − 33 thay vào (3) tìm y = ± 33 ⇒z= 2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z) là: −7 + 33 −5 − 33 −7 − 33 −5 + 33 ; 33; ; − 33; ÷; ÷ ÷ ÷ 2 2 x2 + xy + y2 = 1(1) 2 Ví dụ Giải hệ phương trình y + yz + z = 4(2) z2 + zx + x2 = 7(3) Giải Tìm cách giải Vế trái phương trình, biến có vai trị nhau, vế phải ba số 1; 4; cách Do tự nhiên nghĩ tới việc vế trừ vế hai phương trình để hai phương trình có vế phải - 3, từ so sánh vế trái Chúng ta biểu diễn hai ẩn theo ẩn lại, từ giải phương trình Trình bày lời giải Trừ vế phương trình (1); (2) trừ vế phương trình (2); (3) ta được: x2 − z2 + xy − yz = −3 ( x − z) ( x + y + z) = −3 ⇔ 2 y − x + yz − zx = −3 ( y − x) ( x + y + z) = −3 Suy ra: x − z = y − x ⇔ 2x = y + z (4) 2 Từ phương trình (1) (3) vế trừ vế ta được: y − z + xy − zx = −6 ⇔ ( y − z) ( x + y + z) = −6 kết hợp với (4): ( y − z) 3x = −6 ⇔ y − z = − x Mặt khác y + z = 2x 1 Suy ra: y = x − ; z = x + thay vào phương trình (2) ta được: x x 2 1 1 1 x + ÷ + x + ÷ x − ÷+ x − ÷ = ⇔ 3x − 4x + = x x x x Giải ta được: x1 = 1; x2 = −1; x3 = 3 ; x4 = − 3 • Với x = suy ra: y = − = 0; z = + = • Với x = - suy ra: y = + = 2; z = − = • Với x = 3 −2 3 3 − = ; z= + = suy ra: y = 3 3 3 • Với x = − 3 − 3 −4 3 + = ; z= − = suy ra: y = 3 3 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z) −2 − 3 −4 ; ; ; ; ÷; ÷ ÷ ÷ 3 3 ( 1;0; ) ;( −1; 2;0 ) ; x2 − 2x y + 2y = x Ví dụ Giải hệ phương trình y − 2y z + 2z = y z − 2z x + 2x = z (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Ninh, năm học 2009-2010) Giải Tìm lời giải: Bài tốn dạng hốn vị vịng quanh nên dùng kỹ thuật đánh giá ẩn Vế trái phương trình có bóng dáng đẳng thức nên dựa vào để đánh giá ẩn Trình bày lời giải Điều kiện: x ≥ 0;y ≥ 0;z ≥ ( ( ( ) ) ) x − y = x − y(1) Hệ phương trình tương đương với y − z = y − z(2) z − x = z − x(3) Từ phương trình (1);(2);(3) ta có: x − y ≥ y − z ≥ ⇒ x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z z − x ≥ x = y = z ≥ ⇔ x = y = z = x = y = z = Suy x − x = Thử lại thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( x; y; z) ( 0; 0; ) ;( 1;1;1) B Bài tập vận dụng x − 2xy + x − y + = 1.1 Giải hệ phương trình: 2 y − x + 2xy + 2x − = Hướng dẫn giải – Đáp số x − 2xy + x − y + = ( ) 2x − 4xy + 2x − y + = ⇔ Ta có: 2 y − x + 2xy + 2x − = ( ) y − x + 2xy + 2x − = ⇒ x + y − 2xy + 4x − y + = ⇔ ( x − y + 2) = ⇔ y = x + 2 Thay vào phương trình (1) ta được: x + 5x + = ⇔ x = −5 ± 21 −5 − 21 −1 − 21 −5 + 21 −1 + 21 ; ; Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) ÷ ÷ ÷; ÷ 2 2 x − y + = 0( ) 1.2 Giải hệ phương trình y + x − y + = ( ) (Thi học sinh Giỏi Toán 9, tỉnh Đồng Nai, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) (2) vế trừ vế ta x − y = x − y − x + y = ⇔ ( x − y ) ( x + y − 1) = ⇔ x + y −1 = Trường hợp Xét x − y = ⇔ x = y thay vào phương trình (1) ta được: x − 2x + = ⇔ x = suy y = Trường hợp Xét x + y − = ⇔ y = − x thay vào phương trình (1) ta được: x − ( − x ) + = ⇔ x + 2x − = ( ) Giải ta được: x1 = −1 + ⇒ y1 = − −1 + = − ; ( ) x2 = −1 − ⇒ y2 = − −1 − = + ( )( Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ( 1;1) ; −1 + 2;2 − ; −1 − 2;2 + + 3x = y ( ) 1.3 Giải hệ phương trình: x3 − = ( ) y (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Thanh Hóa, Năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – Đáp số ) Từ phương trình (1) (2) cộng vế với vế ta 8 2 2x + ⇔ x − + 3x − = ⇔ x − ÷. x + + + ÷= y y y y y y y x + 3x = 2 2x 1 Ta có x + thay vào phương trình (1) + + = x + ÷ + + > nên x − = ⇔ x = y y y y y y ta được: 2+ y −1 = y = = ⇔ y + y − = ⇔ ( y − 1) ( y + ) = ⇔ ⇔ y y y + = y = −2 - Với y = ⇒ x = =2 - Với y = −2 ⇒ x = = −1 −2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ( 2;1) ; ( −1; −2 ) y = x2 ( ) 1.4 Giải hệ phương trình: z = xy ( ) 1 − = (3) x y z (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) (2) thay vào phương trình (3) ta được: 1 − = ⇒ x2 − x = ⇔ x2 − x − = x x x Giải ta x1 = −2; x2 = - Với x1 = −2 thay vào phương trình (1); (2) ta y = 4; z = −8 - Với x2 = thay vào phương trình (1); (2) ta y = 9; z = 27 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y; z ) ( −2;4; −8 ) ; ( 3;9;27 ) x + y − = x ( ) 1.5 Giải hệ phương trình: ( x + y ) + = ( ) x2 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) suy x + y = + thay vào phương trình (2) ta được: x 2 4 + ÷ + = ⇔ + + + = ⇔ 3x + 4x + = x x x x x Giải ta x1 = −1; x2 = − - Với x1 = −1 thay vào phương trình (1) ta −1 + y − = −2 ⇔ y = - Với x2 = − 1 −14 thay vào phương trình (2) ta + y − = −6 ⇔ y = 3 −1 −14 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( −1;0 ) ; ; ÷ 3 x − x y + x y = 1( ) 1.6 Giải hệ phương trình: x y − x + xy = 1( ) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) (2) vế trừ vế ta được: x − 2x y + x y + x − xy = ⇔ ( x − xy ) + ( x − xy ) = x = ⇔ x ( x − y ) ( x − xy + 1) = ⇔ x − y = x − xy + = - Với x = thay vào phương trình (1), phương trình vơ nghiệm - Với x − y = ⇔ x = y thay vào phương trình (1) ta x − x + x = ⇔ x = ±1 ⇔ y = ±1 - Với x − xy + = ⇔ x − xy = −1 hệ phương trình viết dạng: x − xy ( x − xy ) = x + xy = ⇔ x y = x y − ( x − xy ) = - Nếu x = ⇒ phương trình vơ nghiệm - Nếu x ≠ y = thay vào phương trình (2) suy x = −1 (loại) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 1;1) ; ( −1; −1) x ( y + 1) ( x + y + 1) = x − 4x + 1.7 Giải hệ phương trình: xy + x + = x Hướng dẫn giải – Đáp số x ( y + 1) ( x + y + 1) = x − 4x + ( xy + x ) ( x + xy + x ) = x − 4x + 1( ) ⇔ 2 xy + x = x − 1( ) xy + x + = x Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta được: (x − 1) ( x + x − 1) = x − 4x + ⇔ 2x − x + 4x = ⇔ 2x ( x − 1) ( x − 2x − ) = - Với x = thay vào phương trình (2) ta 0.y + = − ⇒ vô nghiệm - Với x = thay vào phương trình (2) ta 1.y + = − ⇔ y = −1 - Xét x − 2x − = giải ta x1 = + 3; x2 = − + Với x = + thay vào phương trình (2) ta tính y = 2+ 1+ + Với x = − thay vào phương trình (2) ta tính y = 2− 1− 1+ 1− ; − 3; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 1; −1) ; + 3; ÷ ÷ ÷ 2+ 2− ÷ x + 2x y + x y = 2x + 9( ) 1.8 Giải hệ phương trình: x + 2xy = x + ( ) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (2) ta có: xy = x + − x2 thay vào phương trình (1) ta được: 2 x + − x2 ⇔ ( x + xy ) = 2x + ⇔ x + ÷ = 2x + x = x = ⇔ x + 12x + 48x + 64x = ⇔ x.( x + ) = ⇔ ⇔ x + = x = −4 2 - Với x = thay vào phương trình (1) ta phương trình vơ nghiệm - Với x = -4 thay vào phương trình (2) ta y = 4,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( −4;4,25 ) x − 8x = y + y 1.9 Giải hệ phương trình: 2 x − = ( y + 1) Hướng dẫn giải – Đáp số 3 x − 8x = y + y x − y = ( 4x + y ) ( ) ⇔ Ta có: 2 x − = ( y + 1) x − y = ( ) Từ phương trình (2) ta có: = x2 − y thay vào phương trình (1) ta được: 3 ( x − y ) = ( x − y ) ( 4x + y ) ⇔ x + x y − 12xy = x = ⇔ x ( x − y ) ( x + y ) = ⇔ x − y = x + y = - Trường hợp Xét x = thay vào phương trình (2) ta được: −3 y = ⇒ Vô nghiệm - Trường hợp Xét x − 3y = ⇔ x = 3y thay vào phương trình (2) ta được: y − y = ⇔ y = ±1 - Trường hợp Xét x + y = ⇔ x = −4 y thay vào phương trình (2) ta được: 16 y − y = ⇔ y = ± 6 ⇔ x = m4 13 13 6 6 ;− ; − ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 3;1) ; ( −3; −1) ; ÷ ÷ 13 ÷ 13 13 ÷ 13 x + y − xy = 3( ) 1.10 Giải hệ phương trình: x + + y + = 4( ) Hướng dẫn giải – Đáp số * Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: x + y = + xy ≤ + x+ y ⇔ x+ y ≤ 6(3) *Áp dụng bất đẳng thức ax + by ≤ a + b x + y ta có: x + + y + ≤ x + + y + 1 + ⇔ ≤ x + y + 2 ⇔ x + y ≥ ( ) Từ (3) (4) suy x + y = Đẳng thức xảy x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 3;3 ) x y + y x = 3x 2x − 1.11 Giải hệ phương trình: y x + 2x y = y y − Hướng dẫn giải – Đáp số Điều kiện x ≥ 1 ;y ≥ 2 xy Hệ phương trình có dạng: xy ( ( ) x ) = 3y x + y = 3x 2x − y +2 2y −1 - Nếu x > y suy 3x 2x − > y y − dẫn đến: xy ( ) x + y > xy mâu thuẫn - Nếu x < y tương tự dẫn đến mâu thuẫn Do x = y suy ra: x x + 2x x = 3x 2x − ⇔ x = 2x − ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 1;1) x + y = z 1.12 Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau: 3xy + z = z ( ) y +2 x ⇒ y > x Hướng dẫn giải – Đáp số 3 3 3 x + y = z x + y = z x + y = z ( ) ⇔ ⇔ Ta có: 2 3 3 3xy + z = z 3xyz + z = z 3xyz + x + y = z ( ) 3 2 Từ phương trình (2): x + y − z + 3xyz = ⇔ ( x + y − z ) ( x + y + z − xy + yz + zx ) = * Mà x + y + z − xy + yz + zx = 0,5 ( x − y ) + 0,5 ( y + z ) + 0,5 ( z + x ) > 2 Suy x + y − z = ⇔ x + y = z Vậy với x; y; z thỏa mãn x + y = z hệ phương trình có nghiệm Thay x + y = z vào phương trình (1) ta được: x + y = ( x + y ) ⇔ x − xy + y = x + y ( x + y > 0) ⇔ y − ( x + 1) y + x − x = Phương trình bậc hai (ẩn y) có nghiệm khi: ∆ = ( x + 1) − ( x − x ) ≥ ⇔ ( x − 1) ≤ 2 Do x nguyên dương nên x = x = Với x = suy y = 2; z = Với x = suy y1 = 1; z1 = y2 = 2; z2 = Vậy hệ phương trình có nghiệm ngun dương ( x; y; z ) ( 1;2;3 ) ; ( 2;1;3 ) ; ( 2;2;4 ) x + y = 1.13 Giải hệ phương trình: x − 20 + y + = (Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Bình Định, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – Đáp số Điều kiện x ≥ 20; y ≥ Đặt u = x − 20 ;v = y + ( u ≥ 0;v ≥ ) Suy x = u + 20; y = v − u + 20 + v − = 7( ) Hệ phương trình cho có dạng u ≤ 6;v ≤ u + v = 6( ) Từ phương trình (1) bình phương hai vế ta được: u + 20 + v − + (u + 20 ) ( v − ) = 49 (3) Từ phương trình (2): v = − thay vào phương trình (3) ta được: u + 20 + (6 − u ) − + (u + 20)(u − 12 u + 33) = 49 (u ⇔ + 20 ) (u − 12u + 33 = −u + 6u − ⇔ ( u + 20 ) ( u − 12u + 33) = ( −u + 6u − ) ⇔ 13u − 216u + 656 = Giải ta u1 = 4;u2 = 164 > (loại) 13 x − 20 = x = 36 ⇔ Với u = v = suy y = y + = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 36;1) x + y = 4( ) 1.14 Cho hệ phương trình với ẩn x: 2 x + ( y + ) x + y + y < 0( ) Tìm y cho hệ có nghiệm x (Thi học sinh giỏi tốn 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 1992 – 1993 – Vòng 2) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ (1) có y = − x ≤ −2 ≤ y ≤ Ta có x = ± − y với −2 ≤ y ≤ Hệ có nghiệm ( ( ) − y + ( y + 2) − y2 + y2 + y < ⇔ − − y2 + ( y + 2) − − y2 + y2 + y < ) ) ( ( y + ) − y < −3 y − y − ⇔ ( y + ) − y > y + y + ⇔ y + − y2 > y2 + y + ⇔ ( y + 2) ( − y ) > ( 3y 2 + y + 4) ⇔ 34 y + 32 y − 68 y − 64 y < ⇔ y ( y − ) ( 17 y + 16 ) < ⇔− 16 < y < − < y < Do giá trị y để hệ có nghiệm x < y < − 16 < y