Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 15 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ A Kiến thức cần nhớ Trong quá trình giải hệ phương trình chứa tham số, để thỏa Ôn tập đúng giờ thi để tạo phản xạ làm bài Để tạo thói quen và phản xạ làm bài tốt nhất, trước kỳ thi, các em nên tập làm đề vào đúng thời gian thi thực. Chuẩn bị giấy thi, đề thi và các vật dụng phục vụ làm bài thi; bấm giờ làm bài nghiêm túc, bắt đầu đúng giờ. Áp dụng đúng những điều 2Đ, 3K đã được nhắc ở trên. Lưu ý, khi đi thi, cần chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập (thước, compa, máy tính, ít nhất 3 chiếc bút cùng màu và chai nước trong suốt có nắp chặt để uống trong phòng thi). Một thân thể khỏe mạnh, tinh thần thoải mái, kiến thức chắc chắn, kỹ năng thành thạo, các em ắt sẽ đăng khoamãn điều kiện nào đó về nghiệm số của hệ phương trình, chúng ta cần nhớ một số.
Chuyên đề 15 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ A Kiến thức cần nhớ Trong trình giải hệ phương trình chứa tham số, để thỏa mãn điều kiện nghiệm số hệ phương trình, cần nhớ số kiến thức sau: Phương trình ax b (1) Phương trình (1) có nghiệm a Phương trình (1) vơ nghiệm a 0, b Phương trình (1) vơ số nghiệm a , b ax by c Đối với hệ phương trình: ax by c Với điều kiện a, b, c khác Cần lưu ý đến tỉ số a b c , để rút kết luận số a b c nghiệm hệ phương trình Cụ thể là: Nếu a b hệ phương trình có nghiệm a b Nếu a b c hệ phương trình có vơ nghiệm a b c Nếu a b c hệ phương trình có vơ số nghiệm a b c B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình hai ẩn x y sau theo tham số m mx y m (1) (2) x my (Thi học sinh giỏi tốn 9, TP Hồ Chí Minh năm học 1991 – 1992 Vịng 1) Giải Tìm cách giải Giải biện luận hệ phương trình xét tất trường hợp theo giá trị tham số m kết tốn ứng với giá trị Bài tốn thường có nhiều cách giải Trong nên dùng phương pháp đưa phương trình ẩn Chẳng hạn từ phương trình (1) biểu thị y theo x, vào phương trình (2) ta phương trình ẩn (ẩn x), số nghiệm hệ phương trình phụ thuộc vào phương trình Trình bày lời giải m x m2 m mx m 2x 3 mx y m y 2 x my 2 x my y mx m m2 x m m 4 x m x m m (*) mx m mx m y y Nếu m 0.x x R Ta có (*) 2 x 2 x y y Nếu m 2 0.x x Ta có (*) 2x 1 2x 1 y y Nếu m 2 m 3 m m m m x x x 2 m m m2 m Ta có (*) mx m y mx m y y m2 Kết luận: x R m hệ phương trình có vơ số nghiệm Cơng thức nghiệm tổng qt là: 2 x y m 2 hệ phương trình vơ số nghiệm m3 x m2 m 2 hệ phương trình có nghiệm y m2 m 1 x my 3m (1) Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: (2) x y m a) Giải phương trình với m b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm cho x y Giải a) Với m = vào hệ phương trình x y x Hệ phương trình nghiệm hệ phương trình 2 x y y 1 b) Tìm cách giải Bước đầu tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm phương pháp tỉ số hệ số (trong câu dùng phương pháp thế) Sau thay nghiệm vào x y ta bất phương trình chứa m Giải bất phương trình ẩn m xong, ta kết hợp với điều kiện đề kết luận Trình bày lời giải Từ phương trình (2) y x m Thế vào phương trình (1): m 1 x m x m 5 3m m 1 x m 1 Điều kiện để hệ có nghiệm m 1 x m y m x y m2 2m m2 6m 8m 8m 12 m 1,5 Vậy m 1,5 m 1 x y Ví dụ 3: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: x 2my 3m 1 x my Giải Tìm cách giải Với điều kiện a, b, c khác Cần lưu ý đến tỉ số kết luận hệ phương trình vơ nghiệm Cụ thể là: Nếu a b c ; để rút a b c a b c hệ phương trình a b c vơ nghiệm Tuy nhiên trước xét tỉ số, cần xác định trường hợp riêng a 0, b 0, c Trình bày lời giải x 1 Xét m hệ phương trình có dạng: hệ phương trình vơ nghiệm x x y 1 Xét m , hệ phương trình có dạng: hệ phương trình có nghiệm y 2m 1 1 Xét m 0; Hệ phương trình vơ nghiệm 3m m 3 1 2 6m m 3m 1 Vậy với m 0; hệ phương trình vơ nghiệm 6 m 1 x y Ví dụ 4: Cho hệ phương trình mx y m a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm thỏa mãn x y Giải x y x y 1 a) Với m = 2, hệ phương trình 2 x y 2 y m 1 x y x m 1 x m 1 b) nghiệm mx y m mx y m y m 2m Xét x y 2m m 2m m Điều phải chứng minh Ví dụ 5: Tìm giá trị ngun n để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên nx y n (1) x ny n (2) (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải Giải hệ phương trình để hệ có nghiệm nguyên tìm nghiệm x; y mà x, y số nguyên Trong này, tìm nghiệm x; y theo n Sau tìm số ngun n cho x, y nhận giá trị nguyên Trình bày lời giải Từ (1) suy ra: y 2x n nx thay vào (2) ta được: n(n nx ) 2n x n n n x 4n n x n 3n n n x n 1 n (*) Hệ phương trình có nghiệm Phương trình (*) có nghiệm n n n 2 Với n 2, từ phương trình (*) ta có: x n 1 n n n 1 n n 2n n n n Khi y n n 2 n2 n2 y 2n n2 n 1 n2 n 1 x n n Nghiệm n y 2 n2 n2 x, y nguyên n Ư(3) Mà Ư(3) 1;3; 1; 3 nên n 1;3; 1; 3 n 1;1; 3; 5 C Bài tập vận dụng m 1 x m 1 y m 37 15.1 Cho hệ phương trình (m tham số) x y 3m a) Với m hệ phương trình có nghiệm b) Tìm m ngun để hệ phương trình có nghiệm ngun x; y nguyên x y bé (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (2) ta có: x 3m y, vào phương trình (1) ta có: m 1 3m y m 1 y m 37 m 1 y m m 12 (*) Hệ phương trình có nghiệm phương trình (*) có nghiệm m m b) Với m 1, từ phương trình (*) ta có: y m m 12 12 m m 1 m 1 12 24 Suy ra: x 3m m m m 1 m 1 24 x m m nghiệm hệ phương trình y m 12 m 1 x, y Z mà m Z m 1 Ư(12) Suy ra: m-1 m -1 Mà x y 2m -2 -1 -3 -2 -4 -3 -6 -5 -12 -11 2 3 4 12 13 12 m 1 Thử trực tiếp ta được: m 11 x y 20 đạt giá trị nhỏ mx y (1) 15.2 Tìm tất số thực m để hệ phương trình có nghiệm x; y 3 x my (2) thỏa mãn x y (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh ĐakLac, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) hệ suy ra: y mx 2, thay vào phương trình (2) ta được: 3x m mx 3x m x 2m x m 2m x 2m 2m 5m ; y 2 2 3 m 3 m m2 x 2m m 5 y 5m m Vậy m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x 0; y x y 1 15.3 Cho hệ phương trình (m tham số) 3 x my a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Tìm nghiệm b) Xác định giá trị nhỏ P x y 1 x my 1 2 (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số 3x y 3 my y a) Hệ phương trình 3x my m2 x m y m m hệ phương trình có nghiệm: y m6 b) Nếu m P x y 1 3x y 1 2 8 10 x 20 y 10 5 Nếu m P x y 1 3x my 1 2 Giá trị nhỏ P x m2 ;y 6m m6 x my (1) 15.4 Cho hệ phương trình mx y (2) a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m b) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm x; y với x; y số nguyên Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) ta có: x my, thay vào phương trình (2) ta được: m my y 2m m y y y m 1 2m y m 1 m 1 m Xét m y phương trình vơ số nghiệm hệ phương trình vô số nghiệm, x y nghiệm tổng quát hệ phương trình là: y R m 1 y phương trình vơ nghiệm hệ phương trình vơ nghiệm m 1 y m 1 2 y 2 ;x m 1 m 1 Kết luận: Với m hệ phương trình vơ số nghiệm, nghiệm tổng qt hệ phương trình x y là: y R m 1 hệ phương trình vô nghiệm x m m 1 phương trình có nghiệm y 2 m 1 b) Ta có x, y Z m Ư(2) m 1 m 0; 2; 3 hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn x; y Z a 1 x y (I) 15.5 Cho phương trình 3 x ay a) Giải hệ (1) với a b) Tìm giá trị a để hệ (I) vô nghiệm Hướng dẫn giải – đáp số 3.x y a) Với a hệ (I) trở thành 3 x y 3.x y 1 y 1 y 3x y 3.x y x b) Ta có x Ta có: ay vào phương trình (1) a 1 ay y a a a 1 y y a a 1 y y a a a 3 y a (3) Hệ (I) vơ nghiệm phương trình (3) vô nghiệm a a a a 2; a x 2my 15.6 Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: 3m 1 x my Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình x 2my Thế vào phương trình dưới, ta được: m 6m y 3m (*) Hệ phương trình vơ nghiệm phương trình (*) vơ nghiệm m 6m 1 m 0; 6 2 3m 1 Vậy với m 0; hệ phương trình vơ nghiệm 6 mx y 10 m 15.7 Cho hệ phương trình x my a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm x; y cho x 0; y c) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm x; y với x; y số nguyên dương d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm cho S x y đạt giá trị nhỏ e) Chứng minh hệ có nghiệm x; y điểm M x; y nằm đường thẳng cố định Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình x my Thế vào phương trình trên: m my y 10 m m m y m (*) 2 x y x y Xét m 2, hệ phương trình có dạng: x y y R Xét m 2, phương trình (*) có dạng: y 20 vơ nghiệm hệ phương trình vơ nghiệm Xét m 2; 2 từ (*) suy ra: y 8m x m2 m2 Kết luận: x y Với m 2, hệ phương trình có vơ số nghiệm, nghiệm tổng quát là: y R Với m 2, hệ phương trình vơ nghiệm 8m x m Với m 2; 2 hệ phương trình có nghiệm nhất: y m2 b) Để hệ phương trình có nghiệm m 2; 2 8 m 0 x m m 2 m m y 0 m Vậy 2 m hệ phương trình có hai nghiệm dương c) Hệ phương trình có nghiệm m 2; 2 nghiệm là: 8m 10 x m m y m2 Để hệ phương trình có nghiệm nguyên dương m Ư(5) m 0, , suy ra: m+2 m -1 8m x m d) Với m 2; 2 , hệ phương trình có nghiệm nhất: y m2 m 25 2 m 2 m 2 Xét S x y 2 Vậy giá trị nhỏ S m 16m 89 m 2 2m 21 m 2 1 5 21 m e) Hệ phương trình có nghiệm m 2; 2 nghiệm là: 8m 10 x m m suy ra: x y 1 y m2 Vậy điểm M x; y nằm đường thẳng cố định x y 1 m 1 x y 15.8 Cho hệ phương trình: (với m tham số) mx y m Xác định tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x y (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – dáp số y m x (1) m 1 x y y m x Ta có: mx y m m 1 x m x 2m 1 x m (2) Khi m , phương trình (2) trở thành 0.x (vơ lý) Hệ phương trình vơ nghiệm 2 m3 x 2m 1 Khi m , hệ phương trình có nghiệm nhất: y m m 2 2m Suy ra: x y m2 m 2m 1 11 Do m m m nên x y 2m m 2 Vậy với m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x y