Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 3 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 11 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI t điểm cũng quý bởi đôi khi nó quyết định đến việc trượt đỗ của ta. Cách làm bài thi toán vào 10 đạt điểm cao: Có sức khỏe là có tất cả Thân thể yếu ớt thì tâm không sáng, trí không cao Ngày thi tới gần, các em đã rèn luyện cả mấy năm trời nên chỉ cần ôn tập nhẹ nhàng, không nên thức khuya quá. Vì có thức thêm vài tiếng cũng không làm thay đổi được cục diện, nếu ốm thì hỏng cả mấy năm rèn luyện Thầy tư vấn mỗi ngày nên đầu tư 30 phút thể dục rèn luyện thân thể, nếu có thể đi bơi được thì rất tốt cho sức khỏe, xả stress và tư tưởng sảng khoái, sau đó về ôn tập sẽ năng suất hơn. Có sức khỏe và tâm tưởng thoải mái, khi vào phòng thi, các em sẽ thi đấu với 100%, thậm chí trên 100% phong độ. Bên cạnh đó, cần ăn uống đầy đủ, trước và khi đi thi không ăn đồ bẩn, dễ đẨN A Kiến thức cần nhớ 1 Quy tắc thế Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một.
Chương HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 11 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Kiến thức cần nhớ Quy tắc Quy tắc dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc gồm hai bước sau: ● Bước 1: Từ phương trình hệ cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) ● Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp ● Dùng quy tắc để biến đổi hệ phương trình cho để hệ phương trình mới, có phương trình ẩn ● Giải phương trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ cho Quy tắc cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc cộng đại số gồm bước sau: ● Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình ● Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ ngun phương trình kia) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số ● Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối ● Áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức phương trình ẩn) ● Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho Phương pháp đổi biến B Một số ví dụ 1 x − y− = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình − = 11 x − y (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2012 -2013) Giải Tìm cách giải Bài tốn quy đồng mẫu khử mẫu phương trình tạo phương trình bậc hai có hai ẩn nên khó giải Quan sát kỹ đề bài, thấy, hai phương trình có phần mẫu giống Do nên dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đơn giản Trình bày lời giải Điều kiện x ≠ 0; y ≠ Đặt 1 =b = a; y− x a − 3b = a − 3b = a = ⇔ ⇔ Hệ phương trình có dạng 2a + b = 11 6a + 3b = 33 b = 1 x = x = x = ⇔ Suy ⇔ (TMĐK) = y − = y = y − 2 + 2y + x + y − + x + 2y = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x+ y − =1 x + y − x + 2y (Tuyển sinh lớp 10, Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh, 2012 - 2013) Giải Tìm cách giải Quan sát đề bài, thấy cần dùng phương pháp đổi biến Tuy nhiên tử thức cịn chứa ẩn, cần biến đổi tách phần nguyên trước đổi biến Trình bày lời giải Điều kiện: x + y ≠ x + 2y ≠ x + 2y + x + y − + x + 2y = x+ y − =1 x + y − x + 2y 4 x + y − + 1+ x + 2y = x + y − + x + 2y = ⇔ ⇔ 8 1+ − =1 − =0 x + y − x + 2y x + y − x + 2y Đặt 1 = u; =v x + y− x + 2y u = u + 4v = u + 4v = ⇔ ⇔ Hệ phương trình có dạng: 2u − 8v = u − 4v = v = x + y− = x + y− = x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ Suy ra: (TMĐK) x + 2y = x + 2y = y = =1 x + 2y Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y) = ( 2;1) 1 Ví dụ 3: Xác định hàm số f ( x) biết f ( x) + f ÷ = x với x ≠ x Giải Tìm cách giải Bài tốn gọi giải phương trình hàm Ta cần chuyển dạng 1 giải hệ phương trình Từ đề coi f ( x) f ÷là ẩn ta có x phương trình Để xuất phương trình thứ hai, nên đổi vai trò biến cách thay x Từ ta có lời giải sau x Trình bày lời giải Thay x 1 ta ff ÷ + x x ( x) = x Từ ta có hệ phương trình: 1 1 f ( x) + f x ÷ = x f ( x) + f x ÷ = x ⇔ ⇒ 3f ( x) = − x x ff + ( x) = f ( x) + f = ÷ ÷ x x x x ⇒ f ( x) = − x2 3x Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( −1;3) ; B( 3;−1) ; C ( −3;5) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giải Tìm cách giải Trong mặt phẳng tọa độ, để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta thực hiện: - Bước Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm - Bước Chứng tỏ tọa độ điểm thứ ba thỏa mãn phương trình vừa tìm Trình bày lời giải Đặt phương trình đường thẳng ( d) qua hai điểm phân biệt A( −1;3) vµ B ( 3;−1) −a + b = −4a = a = −1 y = ax + b Ta có: ⇔ ⇔ 3a + b = −1 3a + b = −1 b = Suy phương trình đường thẳng ( d) là: y = − x + Xét x = −3 ⇒ y = ( −3) + = ⇒ C ( −3;5) thuộc đường thẳng ( d) ⇒ A, B, C thẳng hàng C Bài tập vận dụng 2x − y+ + =2 2x − 11.1 Giải hệ phương trình: y + (Với x > ; y > −5) 3x + 2y = 19 (Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Kiên Giang, năm học 2012 - 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho vế trái phương trình thứ nhất: 2x − y+5 + ≥ dấu xảy khi: y+5 2x − 2x − = y+5 y+5 ⇔ 2x − = y + 2x − 2 x − = y + 2 x − y = x = ⇔ ⇔ Hệ có dạng: 3x + y = 19 3x + y = y = 11.2 Giải hệ phương trình: x + y − + y − 2x − = a) − = x + y − y − 2x − y 5x x + + y − = 27 b) 2x − 3y = x + y − y x + − y + = −1 c) x + = −5 x + y + Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện: x + y ≠ 1; y − x ≠ Đặt 1 = u; = v x + y −1 y − 2x − 19 u= 19u = 4u + 5v = u + v = 2 ⇔ ⇔ ⇔ Hệ phương trình có dạng: 3u − v = 15u − 5v = 4u + 5v = v = 10 10 x=− x + y −1 = x + y − = x + y = ⇔ ⇔ ⇔ Suy ra: (TMĐK) 1 y − x − = 10 −2 x + y = 13 19 = y= y − x − 10 10 x = − x = −2 Vậy nghiệm hệ phương trình là: y = 19 y = b) Điều Kiện: x ≠ −1; y ≠ Đặt x y = u; = v x +1 y −3 5u + v = 27 15u + 3v = 81 17u = 85 u = ⇔ ⇔ ⇔ Hệ phương trình có dạng: 2u − 3v = 2u − 3v = 5u + v = 27 v = x −5 x + = x = 5x + x = ⇔ ⇔ Suy ra: (TMĐK) y = 2y − y =2 y = y − −5 x = Vậy nghiệm hệ phương trình là: y = c) Điều kiện: x ≠ −2; y ≠ −1 y + =0 − 1 − ÷ = −1 x + − y + = −1 y +1 x+ x + y +1 ⇔ ⇔ x 2 1 − − + = − + =− + =− x + y + x + y + x + y + 3 Đặt 1 = u; = v x+2 y +1 3u + v = 3u + v = u = Hệ phương trình có dạng: 8⇔ ⇔ −2u + 2v = − u − v = v = −1 x + = x + = x = ⇔ ⇔ Suy ra: (TMĐK) y + = − y = − = −1 y + x + − y + = −3 11.3 Giải hệ phương trình 3x + 4y = x + y + (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Đồng Nai, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện: x ≠ −1; y ≠ −2 2 x + − y + = −3 x + − y + = −3 x + − y + = −3 ⇔ ⇔ x y 3 − + =5 + =2 +4− =2 x +1 y+2 x + y + x + y + Đặt = u; = v x +1 y+2 u − v = −3 4u − 8v = −12 u = −1 ⇔ ⇔ Hệ phương trình có dạng: 3u + 8v = 3u + 8v = v = x + = −1 x + = −1 x = −2 ⇔ ⇔ Suy ra: (TMĐK) nghiệm phương trình y + = y = −1 =1 y + 11.4 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng: ( d1 ) : 2x − y + = ( d2 ) :15x + 3y + = ( d3 ) : 3mx − 3y + 4m+ 15 = a) Tìm m để đường thẳng có điểm chung b) Với giá trị m vừa tìm tính diện tích chu vi tam giác tạo trục Ox;Oy Hướng dẫn giải – đáp số 2 x − y + = a) Tọa độ giao điểm ( d1 ) ; ( d ) nghiệm hệ phương trình 15 x + y + = x=− x − y = −3 x − y = −9 ⇔ ⇔ ⇔ 15 x + y = −5 15 x + y = −5 y = 5 Suy giao điểm ( d1 ) ; ( d ) M − ; ÷ 3 Ba đường thẳng ( d1 ) ; ( d ) ; ( d ) có điểm chung 2 ⇔ M ∈ ( d ) hay 3m − ÷ − + 4m + 15 = ⇔ m = −5 3 b) Do đường thẳng ( d ) có phương trình là: 3.( −5) x − y + 4.( −5) + 15 = ⇔ 15 x + y + = ( d3 ) với 5 ⇒ A 0; − ÷ 3 ( d3 ) cắt trục tung điểm x = ⇒ y = − ( d3 ) cắt trục hoành điểm y = ⇒ x = − Độ dài AB là: AB = OA2 + OB = Suy diện tích ∆AOB là: S = ⇒ B − ; ÷ 26 1 5 OA.OB = = (đvdt) 2 3 18 Chu vi ∆AOB là: C = OA + OB + AB = 26 + 26 (đvđd) + + = 3 3 11.5 Xác định hàm số f ( x) biết: f ( x) + x f ( − x) = x + Hướng dẫn giải – đáp số Thay x −x ta : f ( − x ) − x f ( x ) = − x + f ( x ) + x f ( − x ) = x + Từ ta có hệ phương trình : f ( − x ) − x f ( x ) = − x + f ( x ) + x f ( − x ) = x + ⇒ ⇒ x2 + f ( x ) = x2 + x f ( x ) + x f ( − x ) = x − x ( ) ⇒ f ( x) = ( a − 1) x − by = 2a − b − 11.6 Cho hệ phương trình ( c + 4) x + cy = 12b − 4a + 44 Tìm số a, b, c để hệ phương trình có vơ số nghiệm, có nghiệm x = y = (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Hải Dương, năm học 2006 - 2007) Hướng dẫn giải – đáp số x = 1; y = nghiệm hệ phương trình nên ta có : ( a − 1) − 3b = 2a − b − ( c + ) + 3c = 12b − 4a + 44 a = − 2b a = − 2b ⇔ ⇔ c = 3b − a + 10 c = 5b + Thay vào hệ phương trình ban đầu ta : ( − 2b − 1) x − by = ( − 2b ) − b − ( 5b + + ) x + ( 5b + ) y = 12b − ( − 2b ) + 44 2bx + by = 5b ⇔ ( 5b + 13) x + ( 5b + ) y = 20b + 40 • (1) Trường hợp Xét b = a = 1; c = 0 x − y = Hệ phương trình có dạng : 13 x + y = 40 Hệ phương trình có vô số nghiệm x ∈ R Tập nghiệm hệ phương trình : 40 − 13 x y = • Trường hợp Xét b ≠ hệ phương trình ( 1) tương đương với : x + y = ( 5b + 13) x + ( 5b + ) y = 20b + 40 y = − x ⇔ ( 5b + 13) x + ( 5b + ) ( − x ) = 20b + 40 y = − x ⇔ ( 5b + ) x = 5b + Hệ phương trình có vơ số nghiệm b = −1 Suy a = 3; c = Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm, có nghiệm x = 1; y = ( a; b; c ) ∈ { ( 1;0;9 ) ; ( 3; −1;4 ) } 11.7 Cho f ( x) = x − ax + b Tìm a b để f ( x) chia hết cho x2 − 3x + Hướng dẫn giải – đáp số Đặt thương f ( x) x − 3x + g( x) suy : f ( x ) = ( x − 3x + ) g ( x ) ⇔ x − ax + b = ( x − 1) ( x − ) g ( x ) với x • Chọn x = ta : − a + b = ⇒ a − b = • Chọn x = ta : 16 − 4a + b = ⇒ 4a − b = 16 a − b = 3a = 15 a = ⇔ ⇔ Từ ta có hệ phương trình : 4a − b = 16 a − b = b = 11.8 Viết phương trình đường thẳng (d ) biết (d ) qua hai điểm: a) A( 2;3) vµ B( 1;4) b) A( 3;−6) vµ B( −2;4) c) A( 4;−2) vµ B( −1;3) Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt phương trình đường thẳng ( d) : y = ax + b Đường thẳng ( d) qua hai điểm A ( 2;3) B ( 1;4 ) nên ta có : 2a + b = a = −1 a = −1 ⇔ ⇔ a + b = a + b = b = Vậy phương trình đường thẳng ( d) : y = − x + b) Đặt phương trình đường thẳng ( d) : y = ax + b Đường thẳng (d) qua hai điểm A ( 3; −6 ) B ( −2; ) nên ta có : 3a + b = −6 5a = −10 a = −2 ⇔ ⇔ −2 a + b = −2a + b = b = Vậy phương trình đường thẳng ( d) : y = −2 x c) Đặt phương trình đường thẳng ( d) : y = ax + b Đường thẳng ( d) qua hai điểm A ( 4; −2 ) B ( −1;3) nên ta có : a + b = −2 5a = −5 a = −1 ⇔ ⇔ −a + b = −a + b = b = Vậy phương trình đường thẳng (d) : y = − x + 11.9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng trường hợp sau: b) A( 1;1) ; B( 0;−1) ;C ( 2;3) c) A( 2;0) ; B( 4;−1) ;C ( −2;2) Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt phương trình đường thẳng ( d) qua hai điểm phân biệt A ( 1;1) B ( 0; −1) : a + b = a = ⇔ 0.a + b = −1 b = −1 y = ax + b Ta có Suy phương trình đường thẳng ( d) : y = x − Xét x = ⇒ y = 2.2 − = ⇒ C ( 2;3) thuộc đường thẳng ( d) ⇒ A,B,C thẳng hàng b) Đặt phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm phân biệt A ( 2;0 ) B ( 4; −1) : 2a + b = 2a = −1 a = − ⇔ ⇔ y = ax + b Ta có a + b = −1 a + b = b = Suy phương trình đường thẳng ( d) : y = − x + Xét x = −2 ⇒ y = + = ⇒ C ( −2; ) thuộc đường thẳng ( d) ⇒ A,B,C thẳng hàng